Frobenius元

1。$\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ が条件を満たすことは定義である。逆に $\sigma$ が条件を満たすとする。$x\in\mathfrak{P}$ なら $\sigma(x)\equiv x^q\equiv0\pmod{\mathfrak{P}}$ なので $\sigma(\mathfrak{P})\subset\mathfrak{P}$ であり、$\sigma(\mathfrak{P})$ は極大イデアルだから $\sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}$、すなわち $\sigma\in D_{\mathfrak{P}}$ である。条件は $r(\sigma)=\phi_q$ を意味し、$r$ は単射なので $\sigma=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ である。
2。$x\in\mathcal{O}_L$ を $x=y+z$（$y\in R$、$z\in\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$）と書く。$\sigma(\mathfrak{p}\mathcal{O}_L)=\mathfrak{p}\mathcal{O}_L\subset\mathfrak{P}$ なので $\sigma(z)\in\mathfrak{P}$ である。また $\kappa(\mathfrak{P})$ の標数を $p_0$ とすると $q$ は $p_0$ の冪であり、標数 $p_0$ の体では $(a+b)^q=a^q+b^q$ なので（有限体 の記事の命題「Frobenius写像の性質」）、$x^q\equiv y^q+z^q\equiv y^q\pmod{\mathfrak{P}}$ である。よって $\sigma(x)-x^q\equiv\sigma(y)-y^q\pmod{\mathfrak{P}}$ であり、$R$ の元で条件が成り立てば $\mathcal{O}_L$ 全体で成り立つ。$\square$

1。$r\colon D_{\mathfrak{P}}\to\operatorname{Gal}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p}))=\langle\phi_q\rangle$ は同型で、$\phi_q$ の位数は $f$ である。
2。$\sigma:=\tau\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}\tau^{-1}$ とおく。$x\in\mathcal{O}_L$ について $y:=\tau^{-1}(x)\in\mathcal{O}_L$ は $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(y)-y^q\in\mathfrak{P}$ を満たし、$\tau$ を施すと $\sigma(x)-x^q\in\tau(\mathfrak{P})$ である。$\tau(\mathfrak{P})$ も $\mathfrak{p}$ の上の不分岐な素イデアルなので、prop-frob-characterization の 1 を $\tau(\mathfrak{P})$ に当てて $\sigma=\operatorname{Frob}_{\tau(\mathfrak{P})}$ を得る。$\mathfrak{p}$ の上の素イデアルはすべて $\tau(\mathfrak{P})$ の形なので（分解群と惰性群 の記事の定理「Galois 群は素イデアルに推移的に作用する」）、$\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}=\{\tau\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}\tau^{-1}\mid\tau\in G\}$ である。
3。$e=1$ なので、完全分解は $f=1$ かつ $g=n$、惰性は $f=n$ と同値である（$efg=n$）。1 により、前者は $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}=1$、後者は $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ の位数が $n=\lvert G\rvert$ であることと同値である。$\square$

分岐指数の乗法性（代数体における素イデアルの分解 の記事の命題「分岐指数と剰余次数の乗法性」）により、$\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{P}_M$ 上で、$\mathfrak{P}_M$ は $\mathfrak{p}$ 上で不分岐であり、両方の Frobenius 元が定義される。$\varphi:=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(L/K)$ とおく。
1。$\lvert\kappa(\mathfrak{P}_M)\rvert=q^{f_M}$ である。$L/M$ の分解群は $D_{\mathfrak{P}}\cap H$ であり（分解群と惰性群 の記事の命題「分解群と惰性群の基本性質」の 4）、不分岐なので $r$ はこれを $\operatorname{Gal}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{P}_M))$ に同型に写す。$\operatorname{Gal}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{P}_M))$ は $\phi_q^{f_M}=\phi_{q^{f_M}}$ で生成される。$r$ は $D_{\mathfrak{P}}$ 上で単射で $r(\varphi^{f_M})=\phi_q^{f_M}$ なので、$\varphi^{f_M}$ は $r$ で $\phi_q^{f_M}$ に写る $D_{\mathfrak{P}}\cap H$ の元にほかならない。したがって $\varphi^{f_M}\in H$ であり、すべての $x\in\mathcal{O}_L$ で $\varphi^{f_M}(x)\equiv x^{q^{f_M}}\pmod{\mathfrak{P}}$ を満たす。prop-frob-characterization の 1 を $L/M$ に当てて $\varphi^{f_M}=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(L/M)$ を得る。
2。$M/K$ が Galois 拡大なら $\varphi(M)=M$ なので、制限 $\rho:=\varphi|_M$ は $\operatorname{Gal}(M/K)$ の元である。$x\in\mathcal{O}_M$ について $\varphi(x)-x^q\in\mathfrak{P}$ であり、左辺は $\mathcal{O}_M$ に属するので $\rho(x)-x^q\in\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_M=\mathfrak{P}_M$ である。prop-frob-characterization の 1 を $M/K$ に当てて $\rho=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}_M}(M/K)$ を得る。$\square$

$D:=D_{\mathfrak{P}}=\langle\varphi\rangle$ とおく（prop-frob-basic の 1）。
段 1（素イデアルと両側剰余類）。$\mathfrak{p}$ の上の $\mathcal{O}_M$ の素イデアルは、$\mathfrak{p}$ の上の $\mathcal{O}_L$ の素イデアル $\sigma(\mathfrak{P})$（$\sigma\in G$）の下にあるものである（代数体における素イデアルの分解 の記事の命題「上にある素イデアルの存在と有限性」を $L/M$ に当てる）。拡大 $L/M$ に推移性を当てると、$\sigma(\mathfrak{P})\cap\mathcal{O}_M=\sigma'(\mathfrak{P})\cap\mathcal{O}_M$ は $\sigma'(\mathfrak{P})=h\sigma(\mathfrak{P})$ となる $h\in H$ があることと同値であり、これは $\sigma'\in H\sigma D$ と同値である。よって $\mathfrak{p}$ の上の $\mathcal{O}_M$ の素イデアルは両側剰余類 $H\backslash G/D$ と、$H\sigma D\mapsto\sigma(\mathfrak{P})\cap\mathcal{O}_M$ により一対一に対応する。
段 2（軌道との対応）。逆元を取る写像 $\sigma\mapsto\sigma^{-1}$ は両側剰余類 $H\sigma D$ を $D\sigma^{-1}H$ に移し、全単射 $H\backslash G/D\to D\backslash G/H$ を与える。$D\backslash G/H$ の元 $D\tau H$ は、$D$ の $G/H$ への作用の軌道 $\{d\tau H\mid d\in D\}$ と同じものである。以上を合わせて、軌道 $D\tau H$ に素イデアル $\mathfrak{Q}=\tau^{-1}(\mathfrak{P})\cap\mathcal{O}_M$ を対応させる全単射を得る。
段 3（剰余次数）。$\mathfrak{P}':=\tau^{-1}(\mathfrak{P})$ とおくと $D_{\mathfrak{P}'}=\tau^{-1}D\tau$ で、拡大 $L/M$ における $\mathfrak{P}'$ の分解群は $\tau^{-1}D\tau\cap H$ である。$\mathfrak{P}'$ は不分岐なので $\lvert\tau^{-1}D\tau\cap H\rvert=f(\mathfrak{P}'\mid\mathfrak{Q})$、また $\lvert D\rvert=f(\mathfrak{P}'\mid\mathfrak{p})$ であり、剰余次数の乗法性から
$$ f(\mathfrak{Q}\mid\mathfrak{p})=\frac{f(\mathfrak{P}'\mid\mathfrak{p})}{f(\mathfrak{P}'\mid\mathfrak{Q})}=\frac{\lvert D\rvert}{\lvert\tau^{-1}D\tau\cap H\rvert}=\frac{\lvert D\rvert}{\lvert D\cap\tau H\tau^{-1}\rvert} $$
である。一方、軌道 $D\tau H$ の元の個数は、$\tau H$ の固定部分群 $\{d\in D\mid d\tau H=\tau H\}=D\cap\tau H\tau^{-1}$ の指数 $[D:D\cap\tau H\tau^{-1}]$ に等しい（群作用 の記事の定理「軌道・安定化群定理」）。よって両者は一致する。$e(\mathfrak{Q}\mid\mathfrak{p})$ は $e(\mathfrak{P}'\mid\mathfrak{p})=1$ を割るので $1$ である。
最後の主張：完全分解はすべての軌道の長さが $1$ であることで、$d\tau H=\tau H$（すべての $\tau$）は $d\in\bigcap_\tau\tau H\tau^{-1}$ と同値であり、$D=\langle\varphi\rangle$ なので $\varphi$ について確かめればよい。$\square$

$\tau H\mapsto\tau(\alpha)$ は $G/H$ から $h$ の根の集合への全単射で（$\tau(\alpha)=\tau'(\alpha)$ は $\tau^{-1}\tau'$ が $M=K(\alpha)$ を固定すること、すなわち $\tau H=\tau'H$ と同値であり、$h$ の根はすべて $\alpha$ の $G$ による像である）、$\varphi\tau H\mapsto\varphi(\tau(\alpha))$ なので $\langle\varphi\rangle$ の作用と両立する。よって $\varphi$ の根への作用の巡回型は、thm-frob-cycle-type により $\mathfrak{p}\mathcal{O}_M$ の剰余次数の組に等しい。一方 $\Delta(h)\notin\mathfrak{p}$ なので、代数体における素イデアルの分解 の記事の補題「判別式を掛けると $\mathcal{O}_K[\alpha]$ に入る」と定理「Kummer–Dedekindの定理」により、剰余次数の組は $h$ の $\kappa(\mathfrak{p})$ 上の既約因子の次数の組である。$\square$