偏角の原理

$S$ を $f$ の零点と極の集合とする（有限集合）。$U\setminus S$ の上で $f$ は正則で $0$ にならないので、$hf'/f$ は $U\setminus S$ 上で正則である。
各 $a\in S$ での留数を求める。$k:=\operatorname{ord}_af\neq0$ とおく。$a$ が零点なら 零点の位数 の記事の命題「因数分解による特徴づけ」により、$a$ が極なら 極(複素解析) の記事の命題「極の位数の存在と一意性」により、$a$ のある近傍 $B(a,r)$ 上の正則関数 $u$ で $u$ が $B(a,r)$ 上で $0$ にならず、$0<|z-a|< r$ で $f(z)=(z-a)^ku(z)$ となるものがとれる（$u(a)\neq0$ と連続性から $r$ を小さくとればよい）。このとき
$$ \frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{k(z-a)^{k-1}u(z)+(z-a)^ku'(z)}{(z-a)^ku(z)}=\frac{k}{z-a}+\frac{u'(z)}{u(z)} $$
であり、$(z-a)h(z)f'(z)/f(z)=k\,h(z)+(z-a)h(z)u'(z)/u(z)$ は $B(a,r)$ 上の正則関数に延長され、$a$ での値は $k\,h(a)$ である。留数定理 の記事の命題「極における留数の公式」の 1（$m=1$）により
$$ \operatorname{Res}\Bigl(h\frac{f'}{f},a\Bigr)=k\,h(a)=\operatorname{ord}_a(f)\,h(a) $$
である（$h(a)=0$ なら $a$ は除去可能特異点で留数は $0$ であり、式はそのまま正しい）。
留数定理 の記事の定理「単連結領域における留数定理」を $U$、有限集合 $S$、$U\setminus S$ 上の正則関数 $hf'/f$、閉曲線 $\gamma$ に適用すると
$$ \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma h\frac{f'}{f}\,dz=\sum_{a\in S}n(\gamma,a)\operatorname{Res}\Bigl(h\frac{f'}{f},a\Bigr)=\sum_{a\in S}n(\gamma,a)\operatorname{ord}_a(f)\,h(a) $$
を得る。これが 2 つ目の等式である。$h=1$ とおけば、右辺は零点の項 $N_\gamma(f)$ と極の項 $-P_\gamma(f)$ に分かれ、1 つ目の等式の左側を得る。
最後に $n(f\circ\gamma,0)$ との一致を示す。$\gamma\colon[\alpha,\beta]\to U$ とすると、$f$ は $\gamma^*$ の近くで正則なので $f\circ\gamma$ は区分的に滑らかな閉曲線で、$0$ を通らない。$\gamma$ が $C^1$ 級である各小区間で $(f\circ\gamma)'(t)=f'(\gamma(t))\gamma'(t)$ だから、回転数 の記事の命題「積分による表示」により
$$ n(f\circ\gamma,0)=\frac{1}{2\pi i}\int_\alpha^\beta\frac{(f\circ\gamma)'(t)}{f(\gamma(t))}\,dt=\frac{1}{2\pi i}\int_\alpha^\beta\frac{f'(\gamma(t))}{f(\gamma(t))}\gamma'(t)\,dt=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz $$
である。

$\overline{D}$ はコンパクトで、閉集合 $\mathbb{C}\setminus W$ と交わらないので両者の距離は正であり、$R>r$ を閉円板 $\{|z-c|\le R\}$ が $W$ に含まれるようにとれる。$f$ の零点と極の集合 $S$ は $W$ の中に集積点をもたないので、コンパクト集合 $\{|z-c|\le R\}$ との共通部分は有限集合である（無限なら集積点をもつ）。$U:=B(c,R)$ は 凸集合 だから単連結な領域で、$f|_U$ は $U$ の中に有限個の零点と極しかもたない。thm-ap-main を $U$、$C$ に適用する。Cauchyの積分公式 の記事の命題「回転数の性質」の 3 により、$|a-c|< r$ なら $n(C,a)=1$、$r<|a-c|< R$ なら $n(C,a)=0$ である。$C$ の上には零点も極もないので、右辺は $D$ の中の零点と極だけの和になる。

$z\in C$ で $f(z)=0$ なら仮定は $|g(z)|<|g(z)|$ となって成り立たないので、$f$ は $C$ の上で $0$ にならない。$g$ についても同様である。とくに $f,g$ はどちらも恒等的に $0$ ではない。
$C$ を反時計回りに 1 周する閉曲線を $\gamma(t):=c+re^{it}$（$0\le t\le2\pi$）とし、$\varphi(t):=g(\gamma(t))/f(\gamma(t))$ とおく。$\varphi$ は $0$ を通らない閉曲線である。仮定を $|f(\gamma(t))|$ で割ると
$$ |\varphi(t)-1|<|\varphi(t)|+1 $$
である。もし $\varphi(t)$ が $0$ 以下の実数 $-x$（$x\ge0$）なら $|\varphi(t)-1|=x+1=|\varphi(t)|+1$ となって不等式に反するので、$\varphi(t)$ は半直線 $(-\infty,0]$ に属さない。$1$ と $\varphi(t)$ を結ぶ線分が $0$ を通るのは $\varphi(t)\in(-\infty,0]$ のときだけだから、回転数 の記事の系「ホモトピー不変性の帰結」の 3（$\gamma_0=\varphi$、$\gamma_1$ を値 $1$ の定数の曲線とする）により $n(\varphi,0)=0$ である。$g\circ\gamma=(f\circ\gamma)\,\varphi$ だから、回転数 の記事の命題「回転数の基本性質」の 4 により
$$ n(g\circ\gamma,0)=n(f\circ\gamma,0)+n(\varphi,0)=n(f\circ\gamma,0) $$
である。$f,g$ は極をもたないので、cor-ap-circle により左辺は $D$ の中の $g$ の零点の個数、右辺は $f$ の零点の個数に等しい。
最後の主張は、$|g-f|<|f|\le|f|+|g|$ からしたがう。

Cauchyの積分公式 の記事の系「Weierstrass の定理」により $f$ は $W$ 上で正則である。$C$ はコンパクトで $|f|$ は $C$ 上の正の連続関数だから、正の最小値 $\delta$ をもつ。$C$ の各点のまわりで $f_n\to f$ は一様なので、$C$ を有限個のそのような近傍で覆えば、$C$ 上で $f_n\to f$ は一様である。よって $N$ を、$n\ge N$ なら $C$ 上で $|f_n(z)-f(z)|<\delta\le|f(z)|$ となるようにとれる。thm-ap-rouche の最後の主張（$g=f_n$）により、$f_n$ と $f$ は $D$ の中に同じ個数の零点をもつ。

1：$f$ が恒等的に $0$ でなく、$f(a)=0$ となる $a\in W$ があるとする。$W$ は連結なので、$f$ の零点は $W$ に集積点をもたない（一致の定理 の記事の系「零点集合の離散性」）。よって $r>0$ を、閉円板 $\{|z-a|\le r\}$ が $W$ に含まれ、その上で $f$ の零点が $a$ だけになるようにとれる。$f$ は円周 $|z-a|=r$ 上に零点をもたず、$|z-a|< r$ に $1$ 個以上の零点をもつので、thm-ap-hurwitz により十分大きな $n$ で $f_n$ も $|z-a|< r$ に零点をもつ。これは仮定に反する。
2：$f$ が定数でなく、$f(z_1)=f(z_2)$、$z_1\neq z_2$ となる点があるとする。$W':=W\setminus\{z_1\}$ は領域である（平面の領域から 1 点を除いても、その点を小さな円弧で迂回する折れ線でつなげるので連結のままである）。$W'$ 上の関数 $g_n(z):=f_n(z)-f_n(z_1)$ は、$f_n$ が単射だから $W'$ で零点をもたず、$W'$ 上で $g(z):=f(z)-f(z_1)$ に局所一様収束する。$g(z_2)=0$ なので、1 により $g$ は $W'$ 上で恒等的に $0$ であり、$f$ は $W'$ 上で、したがって連続性により $W$ 上で定数 $f(z_1)$ になる。これは仮定に反する。

1：$f-w_0$ は $a$ の近くで恒等的に $0$ でないので、$f'$ も $a$ の近くで恒等的に $0$ ではない（そうなら $f$ は $a$ の近くで定数 $w_0$ になる）。零点の孤立性（零点の位数 の記事の命題「零点の孤立性」）により、$r>0$ を、閉円板 $\{|z-a|\le r\}$ が $f$ の定義域に含まれ、その上で $f-w_0$ と $f'$ がともに $a$ 以外で $0$ にならないようにとれる。円周 $|z-a|=r$ 上の $|f-w_0|$ の最小値を $\varepsilon>0$ とする。$0<|w-w_0|<\varepsilon$ なら、円周上で
$$ |(f(z)-w)-(f(z)-w_0)|=|w-w_0|<\varepsilon\le|f(z)-w_0| $$
なので、thm-ap-rouche の最後の主張により、$f-w$ は $|z-a|< r$ に $f-w_0$ と同じ $m$ 個の零点（重複を込めて）をもつ。$f(a)-w=w_0-w\neq0$ なので、これらの零点は $a$ と異なり、そこでは $f'\neq0$ だから位数は $1$ である（$f-w$ の導関数は $f'$）。よって $m$ 個の零点は相異なる。
2：極(複素解析) の記事のとおり、$a$ の近くで $f$ は零点をもたず、$1/f$ は $a$ で値 $0$ をとり位数 $m$ の零点をもつ正則関数 $g$ に延長される。1 を $g$、$w_0=0$ に適用して $r,\varepsilon$ をとり、$M:=1/\varepsilon$ とする。$|w|>M$ なら $0<|1/w|<\varepsilon$ なので、$g(z)=1/w$ は $|z-a|< r$ にちょうど $m$ 個の相異なる解をもち、どれも $a$ と異なる（$g(a)=0$）。$z\neq a$ では $g(z)=1/w$ と $f(z)=w$ は同値である。また $g'(z)\neq0$ と $f'=-g'/g^2$ から $f'(z)\neq0$ である。