区分求積と積分の定義

$a_n:=\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\cdots+\dfrac1{2n}$ とする。$\dfrac1{n+k}=\dfrac1n\cdot\dfrac1{1+k/n}$ なので、$f(x)=\dfrac1{1+x}$ として $a_n=\dfrac1n\sum_{k=1}^nf\bigl(\frac kn\bigr)$ であり、区分求積法から
$$ \lim_{n\to\infty}a_n=\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\bigl[\log(1+x)\bigr]_0^1=\log2=0.6931\ldots $$
である。実際、$a_{10}=0.6687\ldots$、$a_{100}=0.6906\ldots$ で、$\log2$ に近づいていく。

$f(x)=x^2$ を $[0,1]$ で考える。$f$ は増加関数なので、$n$ 等分 $P_n$ の第 $k$ 小区間では $M_k=(\frac kn)^2$、$m_k=(\frac{k-1}n)^2$ である。$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ から
$$ U(f;P_n)=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2},\qquad L(f;P_n)=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} $$
である（$n=10$ でそれぞれ $0.385$、$0.285$）。両者の差は $\frac1n$ である。

ex-rsdi-square では $U(f;P_n)-L(f;P_n)=\frac1n$ がいくらでも小さくなるので、$x^2$ は $[0,1]$ で積分可能で、$\int_0^1x^2\,dx$ はすべての $n$ について $\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$ と $\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$ の間にある。$n\to\infty$ で両端は $\frac13$ に収束するので、$\int_0^1x^2\,dx=\frac13$ である。高校の定義 $\bigl[\frac{x^3}3\bigr]_0^1=\frac13$ と一致するが、ここでは原始関数を使っていない。

$f(x)=\frac1x$ は $(0,1]$ で連続だが一様連続でない。$x=\frac1n$、$y=\frac1{n+1}$ は $|x-y|=\frac1{n(n+1)}$ がいくらでも小さいのに $|f(x)-f(y)|=1$ だからである。$(0,1]$ は閉区間でないので、「連続ならば一様連続」という含意がここで破れる。

$f(0)=0$、$\frac1{j+1}< x\le\frac1j$ で $f(x)=\frac1j$（$j=1,2,\dots$）とすると、$f$ は $[0,1]$ で増加し、$x=\frac12,\frac13,\dots$ のすべてで不連続である。prop-rsdi-monotone により、$n$ 等分 $P_n$ では $U(f;P_n)-L(f;P_n)\le\frac1n$ である。このように単調関数は不連続点を無限個もちうるので、prop-rsdi-monotone は thm-rsdi-continuous に含まれない。

ex-rsdi-log2 の $f(x)=\frac1{1+x}$ は減少関数なので、cor-rsdi-kubun により誤差は $\frac{|f(1)-f(0)|}n=\frac1{2n}$ 以下である。実際 $\log2-a_{10}=0.0243\ldots\le0.05$、$\log2-a_{100}=0.00249\ldots\le0.005$ である。

$b_n:=\dfrac1n\sum_{k=1}^n\sin\dfrac{k\pi}n$ は、$f(x)=\sin\pi x$ の $[0,1]$ での右端の Riemann 和である。$f$ は連続なので cor-rsdi-kubun により
$$ \lim_{n\to\infty}b_n=\int_0^1\sin\pi x\,dx=\Bigl[-\frac{\cos\pi x}\pi\Bigr]_0^1=\frac2\pi=0.6366\ldots $$
である（積分の値の計算には、後の thm-rsdi-ftc を使う）。$f$ は単調でないが連続なので cor-rsdi-kubun が使える。$b_{10}=0.6313\ldots$、$b_{100}=0.63656\ldots$ である。

$c>1$ とし、$[1,c]$ を分点 $x_k:=c^{k/n}$（$k=0,\dots,n$）で分ける。$f(x)=\frac1x$ の左端の Riemann 和は
$$ \sum_{k=1}^n\frac{x_k-x_{k-1}}{x_{k-1}}=\sum_{k=1}^n\bigl(c^{1/n}-1\bigr)=n\bigl(c^{1/n}-1\bigr) $$
であり、各項が等しくなる。最大の幅は最後の小区間の $c-c^{(n-1)/n}=c(1-c^{-1/n})$ で、$n\to\infty$ で $0$ に近づく。$\frac1x$ は $[1,c]$ で連続なので、thm-rsdi-continuous により
$$ \lim_{n\to\infty}n\bigl(c^{1/n}-1\bigr)=\int_1^c\frac{dx}x=\log c $$
である（右辺の値は後の thm-rsdi-ftc による）。$c=2$ では $n=10$ で $0.7177\ldots$、$n=100$ で $0.6955\ldots$ となり、$\log2=0.6931\ldots$ に近づく。等分割では和 $\sum\frac1{1+k(c-1)/n}$ を扱う必要があり、この極限はすぐには見えない。

$[-1,1]$ で、$x<0$ なら $f(x)=0$、$x\ge0$ なら $f(x)=1$ とする。$f$ は増加関数なので積分可能である（prop-rsdi-monotone）。$0<\delta<1$ として分割 $\{-1,-\delta,0,1\}$ をとると、小区間での (下限, 上限) は $(0,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$ なので、下限和は $1$、上限和は $1+\delta$ である。よって $1\le\int_{-1}^1f\le1+\delta$ がすべての $\delta$ で成り立ち、$\int_{-1}^1f=1$ である。
一方、$[-1,1]$ で $F'=f$ となる $F$ は存在しない。仮にあるとすると、$(-1,0)$ で $F'=0$ なので平均値の定理から $F$ はそこで定数 $c_1$、$(0,1)$ で $F'=1$ なので $F(x)=x+c_2$ である。$F$ は微分可能なので連続であり、$x\to0$ として $c_1=F(0)=c_2$ である。すると $\frac{F(h)-F(0)}h$ は $h<0$ で $0$、$h>0$ で $1$ となり、$F'(0)$ が存在しない。これは矛盾である。
この反例は「積分可能な関数は原始関数をもつ」という含意を破る。高校の定義では $\int_{-1}^1f$ は意味をもたないが、Riemann 積分では値 $1$（図形の面積）が定まる。

$[0,1]$ で、$x$ が有理数なら $D(x)=1$、無理数なら $D(x)=0$ とする（Dirichlet 関数）。長さが正のどの区間にも有理数と無理数の両方がある（有理数については Leb26 Theorem 1.2.4、無理数については、区間 $(s-\sqrt2,t-\sqrt2)$ の有理数 $q$ をとれば $q+\sqrt2$ が $(s,t)$ の無理数になる）。したがって、どの分割のどの小区間でも $m_k=0$、$M_k=1$ であり、$L(D;P)=0$、$U(D;P)=1$ である。下積分は $0$、上積分は $1$ で、$D$ は積分可能でない（Leb26 Example 5.1.4）。
$D$ は有界であるという性質を満たすが、積分可能であるという性質を満たさない。「有界ならば積分可能」という含意は成り立たない。

(a) Dirichlet 関数 $D$ では、$\frac kn$ は有理数なので
$$ \frac1n\sum_{k=1}^nD\Bigl(\frac kn\Bigr)=1\qquad(n=1,2,\dots) $$
であり、区分求積の和は $1$ に収束する。しかし $D$ は積分可能でない（ex-rsdi-dirichlet）。代表点を無理数 $\xi_k:=\frac{k-1+\sqrt2/2}n\in[\frac{k-1}n,\frac kn]$ に選び直すと、同じ等分割でも Riemann 和はすべて $0$ である。
(b) $g(x)=\frac1{\sqrt x}$（$0< x\le1$）、$g(0)=0$ とする。$\frac1{\sqrt x}$ は減少関数なので、$k\ge1$ について $\int_k^{k+1}\frac{dx}{\sqrt x}\le\frac1{\sqrt k}$、$k\ge2$ について $\frac1{\sqrt k}\le\int_{k-1}^k\frac{dx}{\sqrt x}$ である。足し合わせると
$$ 2\sqrt{n+1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\le1+2\bigl(\sqrt n-1\bigr) $$
となり、$\sqrt n$ で割ると
$$ \frac1n\sum_{k=1}^ng\Bigl(\frac kn\Bigr)=\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\longrightarrow2\qquad(n\to\infty) $$
である。しかし $g$ は有界でないので、定義により積分可能でない。実際、同じ $n$ 等分でも第 1 小区間の代表点を $\xi_1=\frac1{n^3}$ にすると、その項だけで $\frac1n\cdot n^{3/2}=\sqrt n$ となり、Riemann 和は $n\to\infty$ で限りなく大きくなる。
どちらの関数も「等分点（右端）での和が収束するならば積分可能である」という含意を破る。(a) では代表点の選び方に依存しないという条件が、(b) では有界性が崩れている。区分求積法は「連続（または単調）ならば」の定理であり、逆向きには使えない。なお (b) の値 $2$ は、$\lim_{\varepsilon\to+0}\int_\varepsilon^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim(2-2\sqrt\varepsilon)=2$ という広義積分の値と一致する。広義積分は Riemann 積分とは別に、極限を使って定義される。

$[0,1]$ の有理数を $r_1,r_2,\dots$ と 1 列に並べ、$f_j$ を $\{r_1,\dots,r_j\}$ 上で $1$、それ以外で $0$ とする。$f_j$ は $0$ でない点が $j$ 個しかないので、幅 $\delta$ 未満の分割では $f_j=1$ となる点を含む小区間が高々 $2j$ 個で $U(f_j;P)\le2j\delta$、$L(f_j;P)=0$ である。よって $f_j$ は積分可能で $\int_0^1f_j=0$ である。$f_j$ は $j$ について増加し、各点で $D$ に収束する。しかし極限 $D$ は積分可能でない。「積分できる関数の極限は積分できる」が成り立たないのである。

$[0,1]$ の有理数全体は測度 $0$ である。$r_j$ を長さ $\frac\varepsilon{2^{j+1}}$ の開区間で覆えば、長さの合計は $\sum_j\frac\varepsilon{2^{j+1}}=\frac\varepsilon2<\varepsilon$ だからである。