Youngの畳み込み不等式

$a=\infty$ なら $\int|uvw|\le\|u\|_\infty\int|vw|$ で、$\frac1b+\frac1c=1$ だから通常の Hölder の不等式に帰着する。$a<\infty$ とし、$s:=a'$ と置くと $\frac1b+\frac1c=\frac1s$ である。通常の Hölder の不等式から $\int|uvw|\le\|u\|_a\|vw\|_s$ である。$s=\infty$ なら $b=c=\infty$ で $\|vw\|_\infty\le\|v\|_\infty\|w\|_\infty$ である。$s<\infty$ なら $\frac{s}{b}+\frac{s}{c}=1$ なので、指数 $b/s$ と $c/s$（どちらも $1$ 以上で、一方が $\infty$ でもよい）の Hölder の不等式を $|v|^s,|w|^s$ に使って
$$ \int|v|^s|w|^s\le\Bigl(\int|v|^b\Bigr)^{s/b}\Bigl(\int|w|^c\Bigr)^{s/c} $$
（$b=\infty$ なら左辺 $\le\|v\|_\infty^s\int|w|^s$）を得る。$\frac1s$ 乗すれば $\|vw\|_s\le\|v\|_b\|w\|_c$ である。$\square$

$r=\infty$ の場合。このとき $q=p'$ である。$x$ を固定すると、Lebesgue 測度の平行移動と反転についての不変性から $\|f(x-\cdot)\|_p=\|f\|_p$ であり、Hölder の不等式により
$$ \int|f(x-y)g(y)|\,dy\le\|f\|_p\|g\|_{p'} $$
がすべての $x$ で成り立つ。よって $f*g$ はいたるところ定義され、$|(f*g)(x)|\le\|f\|_p\|g\|_q$ である。
$r<\infty$ の場合。$p=\infty$ なら $\frac1q=1+\frac1r>1$ となって $q\ge1$ に反するので $p<\infty$ であり、同様に $q<\infty$ である。
$$ H(x):=\int_{\mathbb{R}^N}|f(x-y)|^p|g(y)|^q\,dy\in[0,\infty] $$
と置く。非負関数なので Tonelli の定理で積分の順序を交換でき、平行移動不変性から
$$ \int_{\mathbb{R}^N}H(x)\,dx=\int|g(y)|^q\Bigl(\int|f(x-y)|^p\,dx\Bigr)dy=\|f\|_p^p\,\|g\|_q^q<\infty $$
である。とくにほとんどすべての $x$ で $H(x)<\infty$ である。
指数を $\frac1b:=\frac1p-\frac1r$、$\frac1c:=\frac1q-\frac1r$ で定める。どちらも $0$ 以上 $1$ 以下で、$\frac1r+\frac1b+\frac1c=\frac1p+\frac1q-\frac1r=1$ である。$x$ を固定し、$y$ の関数として
$$ |f(x-y)g(y)|=\underbrace{\bigl(|f(x-y)|^p|g(y)|^q\bigr)^{1/r}}_{u(y)}\cdot\underbrace{|f(x-y)|^{p/b}}_{v(y)}\cdot\underbrace{|g(y)|^{q/c}}_{w(y)} $$
と分ける（$\frac pr+\frac pb=1$、$\frac qr+\frac qc=1$ による。$\frac1b=0$ のときは $v=1$、$\frac1c=0$ のときは $w=1$ と読む）。$\|u\|_r=H(x)^{1/r}$、$\|v\|_b=\|f\|_p^{p/b}$、$\|w\|_c=\|g\|_q^{q/c}$ なので、lem-yci-holder3 により
$$ \int|f(x-y)g(y)|\,dy\le H(x)^{1/r}\,\|f\|_p^{p/b}\,\|g\|_q^{q/c} $$
である（$b=\infty$ なら $\|v\|_\infty=1=\|f\|_p^0$、$c=\infty$ でも同様）。右辺は $H(x)<\infty$ なら有限なので、ほとんどすべての $x$ で $y\mapsto f(x-y)g(y)$ は可積分である。両辺を $r$ 乗して $x$ で積分すると
$$ \int|(f*g)(x)|^r\,dx\le\|f\|_p^{pr/b}\|g\|_q^{qr/c}\int H(x)\,dx=\|f\|_p^{p+pr/b}\,\|g\|_q^{q+qr/c} $$
である。$p+\frac{pr}b=pr\bigl(\frac1r+\frac1p-\frac1r\bigr)=r$、同様に $q+\frac{qr}c=r$ なので、右辺は $(\|f\|_p\|g\|_q)^r$ である。$f*g$ の可測性は、$f(x-y)g(y)$ を実部・虚部の正の部分と負の部分に分け、それぞれの $y$ についての積分が $x$ の可測関数になること（Tonelli の定理）からわかる。$\square$

1．定義と上界は thm-yci-main の $r=\infty$ の場合である。$p<\infty$ とする。$x,h\in\mathbb{R}^N$ について
$$ |(f*g)(x+h)-(f*g)(x)|\le\int|f(x+h-y)-f(x-y)|\,|g(y)|\,dy\le\|f(\cdot+h)-f\|_p\,\|g\|_{p'} $$
である（Hölder の不等式と、$y\mapsto x-y$ による平行移動・反転の不変性）。右辺は $x$ によらず、$h\to0$ で $0$ に近づくので、$f*g$ は一様連続である。$p=\infty$ なら $p'=1<\infty$ なので、$f*g=g*f$ として $f$ と $g$ の役割を入れ替えればよい。
2．$1< p<\infty$ なら $p,p'$ はどちらも有限なので、連続でコンパクトな台をもつ関数は $L^p$ でも $L^{p'}$ でも稠密である（軟化子 の命題「連続でコンパクトな台をもつ関数の稠密性」。Bre11 Theorem 4.12、p. 97）。$\|f-f_k\|_p\to0$、$\|g-g_k\|_{p'}\to0$ となるそのような $f_k,g_k$ をとる。$(f_k*g_k)(x)\ne0$ なら $x-y\in\operatorname{supp}f_k$ かつ $y\in\operatorname{supp}g_k$ となる $y$ があるので、$f_k*g_k$ はコンパクト集合 $\operatorname{supp}f_k+\operatorname{supp}g_k$ の外で $0$ である。1 の上界を使うと、すべての $x$ で
$$ |(f*g)(x)-(f_k*g_k)(x)|\le\|f-f_k\|_p\|g\|_{p'}+\|f_k\|_p\|g-g_k\|_{p'} $$
であり、右辺は $k\to\infty$ で $0$ に近づく（$\|f_k\|_p$ は有界）。$\varepsilon>0$ に対し右辺が $\varepsilon$ より小さい $k$ を 1 つ固定すれば、コンパクト集合 $\operatorname{supp}f_k+\operatorname{supp}g_k$ の外で $|(f*g)(x)|<\varepsilon$ である。$\square$

$\varphi:=\mathbf 1_{B(0,1)}$、$\lambda>0$ について $\varphi_\lambda(x):=\varphi(x/\lambda)=\mathbf 1_{B(0,\lambda)}(x)$ と置く。変数変換 $x=\lambda u$ により $\|\varphi_\lambda\|_p=\lambda^{N/p}\|\varphi\|_p$ である（$p=\infty$ でも $\lambda^0=1$ として正しい）。また $y=\lambda v$ と置換すると
$$ (\varphi_\lambda*\varphi_\lambda)(x)=\int\varphi\Bigl(\frac{x-y}\lambda\Bigr)\varphi\Bigl(\frac y\lambda\Bigr)dy=\lambda^N(\varphi*\varphi)(x/\lambda) $$
なので、$\|\varphi_\lambda*\varphi_\lambda\|_r=\lambda^{N+N/r}\|\varphi*\varphi\|_r$ である。$\varphi*\varphi$ は有界で台が $\overline B(0,2)$ に入り、$(\varphi*\varphi)(0)$ は単位球の体積で正、しかも連続（prop-yci-conjugate の 1）なので、$0<\|\varphi*\varphi\|_r<\infty$ である。仮定から、すべての $\lambda>0$ で
$$ \lambda^{N+N/r}\|\varphi*\varphi\|_r\le C\lambda^{N/p+N/q}\|\varphi\|_p\|\varphi\|_q $$
である。$\alpha:=N+\frac Nr-\frac Np-\frac Nq$ と置くと $\lambda^{\alpha}$ が $\lambda>0$ について有界となる。$\alpha>0$ なら $\lambda\to\infty$、$\alpha<0$ なら $\lambda\to0$ で矛盾するので、$\alpha=0$ である。$\square$