Newton法（高校数学）

$f(x)=x^2-2$ とする。$f'(x)=2x$ である。
1 回目。$x_0=2$ から始める。点 $(2,f(2))=(2,2)$ での接線は、傾きが $f'(2)=4$ なので
$$ y=2+4(x-2)=4x-6 $$
である。$y=0$ とおくと $x=\dfrac32$ なので、$x_1=1.5$ とする。
2 回目。点 $\left(\dfrac32,\dfrac14\right)$ での接線は、傾きが $f'\left(\dfrac32\right)=3$ なので $y=\dfrac14+3\left(x-\dfrac32\right)=3x-\dfrac{17}4$ である。$y=0$ とおくと $x=\dfrac{17}{12}$ なので、$x_2=\dfrac{17}{12}=1.41666\ldots$ とする。
3 回目以降も同じ計算を続けると、次のようになる。

$x_4$ は $\sqrt2$ と小数第 11 位まで一致する。

1. $c>0$ とし、$f(x)=x^2-c$ とする。$f'(x)=2x$ なので
   $$ x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-c}{2x_n}=\frac{2x_n^2-x_n^2+c}{2x_n}=\frac12\left(x_n+\frac{c}{x_n}\right) $$
   である。$x_n$ と $\dfrac c{x_n}$ の積はいつも $c$ なので、一方が $\sqrt c$ より大きければ他方は小さい。その 2 つの平均を次の近似値にしている。$c=2$、$x_0=2$ とすると $x_1=\dfrac12(2+1)=\dfrac32$、$x_2=\dfrac12\left(\dfrac32+\dfrac43\right)=\dfrac{17}{12}$ で、ex-nwh-start と一致する。
2. $f(x)=x^3-2$ とする。$f'(x)=3x^2$ なので
   $$ x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-2}{3x_n^2}=\frac{2x_n^3+2}{3x_n^2}=\frac13\left(2x_n+\frac{2}{x_n^2}\right) $$
   である。$x_0=2$ から始めると
   $$ x_1=\frac13\left(4+\frac24\right)=\frac32,\qquad x_2=\frac13\left(3+\frac89\right)=\frac{35}{27}=1.2962\ldots $$
   で、続けると $x_3=1.26093\ldots$、$x_4=1.2599218\ldots$、$x_5=1.259921049895\ldots$ となる。$\sqrt[3]2=1.259921049894\ldots$ との誤差は $x_3$ で $1.0\times10^{-3}$、$x_4$ で $8.1\times10^{-7}$、$x_5$ で $5.2\times10^{-13}$ である。

$f(x)=x^2-2$ では $f''(x)=2$ なので、1 の式の $c$ がどこでも $\dfrac{f''(c)}2(x-a)^2=(x-a)^2$ である。実際、$a=2$ での接線 $4x-6$ との差は
$$ (x^2-2)-(4x-6)=x^2-4x+4=(x-2)^2 $$
で、どの $x$ でも $0$ 以上である。$x=\sqrt2$ を代入すると、左辺は $0-(4\sqrt2-6)=6-4\sqrt2$ で、右辺は $(\sqrt2-2)^2=6-4\sqrt2$ と一致する。

$f(x)=x^2-2$、区間 $[\sqrt2,2]$ で考える。$f'(x)=2x>0$、$f''(x)=2\ge0$ で、thm-nwh-main の条件を満たす。$m=f'(\sqrt2)=2\sqrt2$、$M=2$ なので
$$ \frac{M}{2m}=\frac{2}{4\sqrt2}=\frac{1}{2\sqrt2}=0.35355\ldots $$
である。ex-nwh-start の誤差 $e_n=x_n-\sqrt2$ で (3) を確かめる。

どの行でも $e_{n+1}$ は上界以下である。比は $\dfrac{f''(\sqrt2)}{2f'(\sqrt2)}=\dfrac{1}{2\sqrt2}$ に近づき、上界はほとんど等号になっていく。

ex-nwh-bound で $K=\dfrac1{2\sqrt2}$、$x_0=2$ とすると $d_0=\dfrac{2-\sqrt2}{2\sqrt2}=0.2071\ldots$ である。cor-nwh-digits により
$$ x_4-\sqrt2\le2\sqrt2\,(0.2071\ldots)^{16}=3.2\ldots\times10^{-11} $$
で、実際の $1.6\times10^{-12}$ はこの範囲に入っている。$n=5$ では上界は $2\sqrt2\,(0.2071\ldots)^{32}=3.7\ldots\times10^{-22}$ になる。

二分法は区間 $[1,2]$ から始める（$1^2<2<2^2$）。$n$ 回の操作の後、$\sqrt2$ は幅 $2^{-n}$ の区間に閉じ込められる。Newton 法は ex-nwh-start のとおり $x_0=2$ から始める。

二分法で区間の幅を $10^{-10}$ 以下にするには、$2^{-n}\le10^{-10}$、つまり $n\ge10\log_210=33.2\ldots$ から $34$ 回の操作が要る（$2^{-34}=5.8\times10^{-11}$）。Newton 法は $4$ 回で誤差が $1.6\times10^{-12}$ になる。

$f(x)=x-\cos x$ とする。$f(0)=-1<0$、$f(1)=1-\cos1>0$ なので、解 $\alpha$ は $0$ と $1$ の間にある（関数の連続性と中間値の定理（高校数学） の例「方程式 $\cos x=x$ の解」）。$f'(x)=1+\sin x$、$f''(x)=\cos x$ で、$0\le x\le1$ では $\sin x\ge0$、$\cos x>0$（$1<\dfrac\pi2$）なので、区間 $[\alpha,1]$ で thm-nwh-main の条件を満たす。漸化式は
$$ x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-\cos x_n}{1+\sin x_n} $$
で、$x_0=1$ から始めると次のようになる。

$\alpha=0.7390851332\ldots$ である。この区間では $f'$ は増加するので最小値は $m=f'(\alpha)=1+\sin\alpha=1.6736\ldots$、$f''=\cos x$ は減少するので最大値は $M=\cos\alpha=0.7390\ldots$ で、$\dfrac M{2m}=0.2208\ldots$ である。たとえば $n=2$ から $3$ では、$0.2208\times(2.78\times10^{-5})^2=1.70\times10^{-10}$ と実際の誤差 $1.7\times10^{-10}$ がほぼ一致する。

$f(x)=x^3-2x+2$ とする。$f'(x)=3x^2-2$ である。$x_0=0$ から始めると
$$ x_1=0-\frac{f(0)}{f'(0)}=0-\frac{2}{-2}=1,\qquad x_2=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{1}{1}=0 $$
で、$x_2=x_0$ に戻る。以後 $0,1,0,1,\ldots$ と巡回し、実数の解 $\alpha=-1.7692\ldots$ には近づかない。$0$ と $\alpha$ の間には $f'(x)=0$ となる点 $x=-\sqrt{\dfrac23}$ があり、$x<0$ では $f''(x)=6x<0$ なので、解と初期値の間で条件 (iii) が成り立っていない。解の左側の $x_0=-2$ から始めると、$[-2,\alpha]$ では $f'>0$、$f''<0$ で $f(-2)=-2<0$（$f(x_0)$ と $f''$ が同じ符号）なので、rem-nwh-shapes のとおり $-2$、$-1.8$、$-1.76994\ldots$、$-1.769292\ldots$ と単調に近づく。

$f(x)=\arctan x$ の解は $\alpha=0$ である。$f'(x)=\dfrac1{1+x^2}>0$ だが、$f''(x)=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$ は $x>0$ で負なので、$[0,b]$ で $f''\ge0$ は成り立たない。漸化式は $x_{n+1}=x_n-(1+x_n^2)\arctan x_n$ で、$x_0=2$ から始めると
$$ x_1=2-5\arctan2=-3.5357\ldots,\quad x_2=13.9509\ldots,\quad x_3=-279.344\ldots,\quad x_4=122016.99\ldots $$
と、符号を変えながら $0$ から離れていく。$\lvert x\rvert$ が大きいところではグラフがほとんど水平で、接線の傾き $\dfrac1{1+x^2}$ が小さいため、接線と $x$ 軸の交点が遠くに飛ぶ（図 4）。

$f(x)=x^2$ の解 $\alpha=0$ では $f'(0)=0$ である。$x_n\ne0$ なら
$$ x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2}{2x_n}=\frac{x_n}{2} $$
なので、$x_0=1$ から $1,\dfrac12,\dfrac14,\dfrac18,\ldots$ となる。$0$ には近づくが、誤差は 1 回ごとに半分になるだけで、二分法と同じ速さである。$\dfrac{e_{n+1}}{e_n^2}=\dfrac{1}{2e_n}$ は限りなく大きくなるので、$e_{n+1}\le Ke_n^2$ を満たす定数 $K$ はない。thm-nwh-main では、区間 $[0,b]$ での $f'$ の最小値が $m=f'(0)=0$ となり、$\dfrac{M}{2m}$ が定まらない。

$f(x)=x^2-2$ を $x_0=0$ から始めると、点 $(0,-2)$ での接線は $y=-2$ で $x$ 軸と交わらない。式でも $f'(0)=0$ で割ることになり、$x_1$ は定義されない。$x_0$ が $\alpha=\sqrt2$ より右（thm-nwh-main）か、$f'>0$ の範囲で左（prop-nwh-left）にあれば、このことは起こらない。