形式関数の定理

$\mathcal{F}':=\bigoplus_{m\ge0}I^m\mathcal{F}$ は準連接層であり、$a\in I^k$ が $I^m\mathcal{F}\to I^{m+k}\mathcal{F}$ として作用することにより $\mathcal{O}_X\otimes_AS$ 加群の層になる。$p\colon X_S:=X\times_{\operatorname{Spec}A}\operatorname{Spec}S\to X$ を射影とすると、$p$ はアフィン射で $p_*\mathcal{O}_{X_S}=\mathcal{O}_X\otimes_AS$ である（アフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}B$ 上で $p^{-1}(U)=\operatorname{Spec}(B\otimes_AS)$）。アフィン射に対しては、$X_S$ 上の準連接層と $X$ 上の準連接な $p_*\mathcal{O}_{X_S}$ 加群とが $p_*$ により対応する（Har77 II 演習 5.17）ので、$p_*\mathcal{G}=\mathcal{F}'$ をみたす $X_S$ 上の準連接層 $\mathcal{G}$ がある。$\mathcal{G}$ は連接である。実際 $U=\operatorname{Spec}B$、$\mathcal{F}|_U=\widetilde{M}$（$M$ は有限生成 $B$ 加群）とすると、$\mathcal{G}|_{p^{-1}(U)}$ は $B\otimes_AS$ 加群 $\bigoplus_mI^mM$ に対応し、$I^mM=S_m\cdot M$ だから $\bigoplus_mI^mM=S\cdot M$ は $M$ の $B$ 上の有限個の生成元で $B\otimes_AS$ 上生成される。
$X_S\to\operatorname{Spec}S$ は射影射の底変換なので射影射であり、$S$ は Noether 環だから、Serre の有限性定理（Har77 III.5.2）により $H^j(X_S,\mathcal{G})$ は有限生成 $S$ 加群である。$p$ はアフィン射なので $H^j(X_S,\mathcal{G})\cong H^j(X,p_*\mathcal{G})=H^j(X,\mathcal{F}')$ であり（Har77 III 演習 4.1）、$X$ はNoether位相空間なのでコホモロジーは直和と交換して（Har77 III.2.9）$H^j(X,\mathcal{F}')=\bigoplus_mH^j(X,I^m\mathcal{F})$ である。これらの同型は、いずれも層の射に関する関手性から $S$ の作用と両立する。したがって $\bigoplus_mH^j(X,I^m\mathcal{F})$ は有限生成 $S$ 加群である。

有限個の斉次な生成元をとり、その次数の最大値を $m_0$ とする。$m\ge m_0$ に対し、$M_m$ の元は次数 $j\le m_0$ の生成元 $x_j\in M_j$ に $S_{m-j}=I^{m-j}$ の元を掛けたものの和なので $M_m\subset\sum_{j\le m_0}I^{m-j}M_j$ であり、逆の包含は $IM_l\subset M_{l+1}$ を繰り返して得られる。よって $m\ge m_0$ で $M_m=\sum_{j\le m_0}I^{m-j}M_j$ であり、
$$ M_{m+1}=\sum_{j\le m_0}I^{m+1-j}M_j=I\sum_{j\le m_0}I^{m-j}M_j=IM_m $$
となる。

$H:=H^i(X,\mathcal{F})$ とおく。$H$ は Serre の有限性定理（Har77 III.5.2）により有限生成 $A$ 加群であり、$\hat{H}=\varprojlim_mH/I^mH\cong H\otimes_A\hat{A}$ である（AM69 第 10 章）。$m\ge0$ に対し、層の完全列 $0\to I^m\mathcal{F}\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}/I^m\mathcal{F}\to0$ のコホモロジー長完全列
$$ H^i(X,I^m\mathcal{F})\xrightarrow{\ \alpha_m\ }H\xrightarrow{\ \beta_m\ }H^i(X,\mathcal{F}/I^m\mathcal{F})\xrightarrow{\ \delta_m\ }H^{i+1}(X,I^m\mathcal{F})\xrightarrow{\ \alpha'_m\ }H^{i+1}(X,\mathcal{F}) $$
をとり、$R_m:=\operatorname{im}\alpha_m\subset H$、$Q_m:=\operatorname{im}\delta_m=\ker\alpha'_m\subset H^{i+1}(X,I^m\mathcal{F})$ とおく。完全性から、各 $m$ について短完全列
$$ 0\longrightarrow H/R_m\longrightarrow H^i(X,\mathcal{F}/I^m\mathcal{F})\longrightarrow Q_m\longrightarrow0 $$
を得る。$m'\ge m$ に対し、包含 $I^{m'}\mathcal{F}\subset I^m\mathcal{F}$ は 2 つの短完全列の間の層の射を与え、長完全列の射を誘導するので、$R_{m'}\subset R_m$ であり、上の短完全列は $m$ に関する射影系をなす（$H/R_{m'}\to H/R_m$ は自然な全射、$Q_{m'}\to Q_m$ は $\rho_{m,m'}$ の制限）。射影極限は左完全なので（射影極限の記事を参照）、完全列
$$ 0\longrightarrow\varprojlim_mH/R_m\longrightarrow\varprojlim_mH^i(X,\mathcal{F}/I^m\mathcal{F})\longrightarrow\varprojlim_mQ_m $$
を得る。以下、$\varprojlim_mH/R_m\cong\hat{H}$ と $\varprojlim_mQ_m=0$ を示せば、中央の項が $\hat{H}$ に同型であることが従い、$\beta_m$ が $H\to H/R_m\hookrightarrow H^i(X,\mathcal{F}/I^m\mathcal{F})$ と分解することから、この同型が定理の自然な写像であることもわかる。
まず $\varprojlim_mH/R_m\cong\hat{H}$ を示す。節の冒頭の注意により $\alpha:=\bigoplus_m\alpha_m\colon\bigoplus_mH^i(X,I^m\mathcal{F})\to\bigoplus_mH$ は $S$ 線型である（右辺では $a\in I^k$ が $m$ 次成分から $m+k$ 次成分へ $a$ 倍として作用する）。よって $\bigoplus_mR_m$ はその像であり、lem-formal-function-theorem-rees により有限生成な次数付き $S$ 加群である。また $S$ 線型性から $a\in I$、$\xi\in H^i(X,I^m\mathcal{F})$ に対し $a\,\alpha_m(\xi)=\alpha_{m+1}(a\cdot\xi)\in R_{m+1}$ なので $IR_m\subset R_{m+1}$ が成り立ち、$a\in I^m$ に対し $\mathcal{F}$ 上の $a$ 倍写像は $\mathcal{F}\xrightarrow{a}I^m\mathcal{F}\hookrightarrow\mathcal{F}$ と分解するので $I^mH\subset R_m$ である。lem-formal-function-theorem-stable により $m_0$ があって $R_{m_0+k}=I^kR_{m_0}\subset I^kH$ となるから、$m\ge m_0$ に対し
$$ I^mH\subset R_m\subset I^{m-m_0}H $$
が成り立つ。したがって自然な全射 $H/I^mH\to H/R_m\to H/I^{m-m_0}H$ があり、それぞれの合成は 2 つの射影系 $(H/I^mH)_m$、$(H/R_m)_m$ の推移写像に一致する。ゆえに射影極限の間に互いに逆な写像が誘導され、$\varprojlim_mH/R_m\cong\varprojlim_mH/I^mH=\hat{H}$ である。
次に $\varprojlim_mQ_m=0$ を示す。$\alpha':=\bigoplus_m\alpha'_m$ も $S$ 線型なので、$\bigoplus_mQ_m=\ker\alpha'$ は有限生成 $S$ 加群 $\bigoplus_mH^{i+1}(X,I^m\mathcal{F})$（lem-formal-function-theorem-rees）の次数付き部分 $S$ 加群であり、$S$ が Noether 環なので有限生成である。斉次な生成元の次数の最大値を $d$ とすると、$m\ge d$ に対し $Q_m=\sum_{j\le d}S_{m-j}\cdot Q_j$ であり、$S_{m+k-j}=S_k\cdot S_{m-j}$ だから
$$ Q_{m+k}=S_k\cdot Q_m\qquad(m\ge d,\ k\ge0) $$
が成り立つ（ここで $S_k\cdot Q_m$ は $S$ の作用による像の生成する部分群）。節の冒頭の注意により、推移写像 $\rho_{m,m+k}$ は $S_k\cdot Q_m$ を $A$ 加群 $H^{i+1}(X,I^m\mathcal{F})$ の中の $I^kQ_m$ に写す。一方 $Q_m$ は $H^i(X,\mathcal{F}/I^m\mathcal{F})$ の商であり、$\mathcal{F}/I^m\mathcal{F}$ は $I^m$ で消えるので $I^mQ_m=0$ である。ゆえに $k\ge m\ge d$ のとき $\rho_{m,m+k}(Q_{m+k})=I^kQ_m=0$、すなわち推移写像 $Q_{m+k}\to Q_m$ は零写像である。$(q_m)_m\in\varprojlim_mQ_m$ をとると、$m\ge d$ に対し $q_m=\rho_{m,2m}(q_{2m})=0$ であり、$m< d$ に対しても $q_m=\rho_{m,2d}(q_{2d})=0$ である。よって $\varprojlim_mQ_m=0$ である。

高次順像は $Y$ の開集合への制限と交換する（Har77 III.8.2）ので、$y$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ に $Y$ を取り替えてよい。$y$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とし、$A':=A_{\mathfrak{p}}=\mathcal{O}_{Y,y}$、$\mathfrak{m}:=\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{m}_y$ とおく。$A'$ は Noether 局所環である。$X':=X\times_{\operatorname{Spec}A}\operatorname{Spec}A'$ は $A'$ 上射影的で、$\mathcal{F}$ の引き戻し $\mathcal{F}'$ は連接層である。$A\to A'$ は局所化なので平坦加群であり、平坦底変換（Har77 III.9.3）により $H^i(X',\mathcal{F}')\cong H^i(X,\mathcal{F})\otimes_AA'$ である。他方 $R^if_*\mathcal{F}=\widetilde{H^i(X,\mathcal{F})}$（Har77 III.8.5）だから、茎は $(R^if_*\mathcal{F})_y=H^i(X,\mathcal{F})_{\mathfrak{p}}=H^i(X,\mathcal{F})\otimes_AA'\cong H^i(X',\mathcal{F}')$ である。thm-formal-function-theorem-projective を $X'\to\operatorname{Spec}A'$ とイデアル $\mathfrak{m}$ に適用すると $\widehat{H^i(X',\mathcal{F}')}\cong\varprojlim_mH^i(X',\mathcal{F}'/\mathfrak{m}^m\mathcal{F}')$ であり、$X'\times_{A'}\operatorname{Spec}A'/\mathfrak{m}^{n+1}=X\times_Y\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{m}_y^{n+1}=X_n$、$\mathcal{F}'/\mathfrak{m}^{n+1}\mathcal{F}'=\mathcal{F}_n$（$X_n$ 上の層として）なので、右辺は $\varprojlim_nH^i(X_n,\mathcal{F}_n)$ に等しい。

$R^if_*\mathcal{F}$ は連接層（rem-formal-function-theorem-source）だから、すべての $y\in Y$ で茎 $M:=(R^if_*\mathcal{F})_y$ が $0$ であることを示せばよい。$M$ は Noether 局所環 $\mathcal{O}_{Y,y}$ 上の有限生成加群なので、Krullの交叉定理（AM69 第 10 章）により $\bigcap_n\mathfrak{m}_y^nM=0$、すなわち $M\to\hat{M}$ は単射である。よって $\hat{M}=0$ を示せばよい。thm-formal-function-theorem-main の 3 により $\hat{M}\cong\varprojlim_nH^i(X_n,\mathcal{F}_n)$ であり、各 $X_n$ の台となる位相空間はファイバー $X_y$ で、その次元は $r$ 以下である。Noether 位相空間上の層のコホモロジーは次元を超える次数で消える（Grothendieckの消滅定理、Har77 III.2.7）ので、$i>r$ に対し $H^i(X_n,\mathcal{F}_n)=0$ であり、$\hat{M}=0$ である。

$y\in Y$ を固定し、$X_n=X\times_Y\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{m}_y^{n+1}$ とおく。thm-formal-function-theorem-main の 3 を $i=0$、$\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$ に適用すると、$f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ により
$$ \widehat{\mathcal{O}_{Y,y}}\;\cong\;\varprojlim_n\Gamma(X_n,\mathcal{O}_{X_n}) $$
である（自然な写像は環準同型なので環の同型である）。左辺は Noether 局所環の完備化なので局所環であり（AM69 第 10 章）、とくに $0$ でない。
まず $X_y\ne\emptyset$ を示す。$X_y=\emptyset$ なら各 $X_n$ は空スキームで $\Gamma(X_n,\mathcal{O}_{X_n})=0$、よって右辺は $0$ となり矛盾する。
次に $X_y$ が連結であることを示す。$X_y$ が連結でないとし、$X_y=U'\sqcup U''$ を空でない 2 つの開かつ閉な部分集合（開かつ閉集合）への分解とする。各 $X_n$ の台は $X_y$ なので $\Gamma(X_n,\mathcal{O}_{X_n})=\mathcal{O}_{X_n}(U')\times\mathcal{O}_{X_n}(U'')$ であり、この分解は推移写像と両立する。射影極限は直積と交換するので
$$ \varprojlim_n\Gamma(X_n,\mathcal{O}_{X_n})\;=\;\varprojlim_n\mathcal{O}_{X_n}(U')\times\varprojlim_n\mathcal{O}_{X_n}(U'') $$
である。$U'$ の点 $x$ における茎 $\mathcal{O}_{X_n,x}$ は局所環で $1\ne0$ をみたすので環 $\mathcal{O}_{X_n}(U')$ でも $1\ne0$ であり、単位元を保つ環準同型からなる射影系の極限では元 $(1)_n$ が $0$ でないから $\varprojlim_n\mathcal{O}_{X_n}(U')\ne0$、同様に $\varprojlim_n\mathcal{O}_{X_n}(U'')\ne0$ である。よって $\widehat{\mathcal{O}_{Y,y}}$ は 2 つの $0$ でない環の直積であり、$e=(1,0)$ は $0$ でも $1$ でもない冪等元である。しかし局所環に $0,1$ 以外の冪等元はない（$e^2=e$ なら $e(1-e)=0$ で、$e$ と $1-e$ のいずれかは単元だから他方は $0$ である）。これは矛盾である。

thm-formal-function-theorem-connectedness により $f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ を示せば十分である。これは $Y$ について局所的なので、$Y$ のアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}B$ をとる。$Y$ が正規な整スキームなので $B$ は整閉整域である（すべての極大イデアル $\mathfrak{n}$ について $B_{\mathfrak{n}}$ が整閉で、$B=\bigcap_{\mathfrak{n}}B_{\mathfrak{n}}$ だから。AM69 第 5 章）。$f$ は固有射なので $f_*\mathcal{O}_X$ は連接な $\mathcal{O}_Y$ 加群であり（rem-formal-function-theorem-source）、$C:=\Gamma(f^{-1}(U),\mathcal{O}_X)$ は有限生成 $B$ 加群、$f_*\mathcal{O}_X|_U=\widetilde{C}$ である。$f$ は双有理で $Y$ 上優越的、かつ固有なので全射であり、$f^{-1}(U)$ は整スキーム $X$ の空でない開集合、したがって整スキームである。整スキームの上では大域切断を生成点における茎（関数体 $K(X)$）へ送る写像は単射なので $C\subset K(X)$ であり、$f$ が双有理なので $K(X)=K(Y)=\operatorname{Frac}(B)$ である。こうして $B\subset C\subset\operatorname{Frac}(B)$ で、$C$ は $B$ 上有限生成な加群だから $B$ 上整拡大であり（AM69 第 5 章）、$B$ が整閉なので $C=B$ である。ゆえに $f_*\mathcal{O}_X|_U=\widetilde{B}=\mathcal{O}_U$ である。

$\mathcal{O}_{X_n}=\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^{n+1}\to\mathcal{O}_{X_{n-1}}=\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n$ は環の層の全射で、核は $\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n+1}$ である。$a,b$ を $\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n+1}$ の局所切断とすると、$n\ge1$ なので $ab\in\mathcal{I}^{2n}\subset\mathcal{I}^{n+1}$、すなわち $ab=0$ であり、$(1+a)(1+b)=1+a+b$ となる。よって $a\mapsto1+a$ は加法群から乗法群への準同型で、$1+a$ は逆元 $1-a$ をもつ単元であり、写像は単射である。その像は $\mathcal{O}_{X_n}^{\times}\to\mathcal{O}_{X_{n-1}}^{\times}$ の核（$1$ に写る単元）に一致する。全射性は層として局所的に確かめればよい。$\bar{u}$ を $\mathcal{O}_{X_{n-1}}^{\times}$ の局所切断、$\bar{v}$ をその逆元とすると、$\mathcal{O}_{X_n}\to\mathcal{O}_{X_{n-1}}$ は層の全射なので局所的に持上げ $u,v$ がとれ、$uv=1-c$、$c\in\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n+1}$ と書ける。$c^2=0$ だから $uv$ は逆元 $1+c$ をもつ単元であり、したがって $u$ は単元である。この議論は局所的な持上げの存在しか使わないので、エタール位相の層としての完全性も同じ議論で従う（$X_{n-1}$ 上のエタール射は $X_n$ 上のエタール射に一意に持ち上がり、アフィンなエタール近傍の上で $\mathcal{O}_{X_n}\to\mathcal{O}_{X_{n-1}}$ は全射である）。最後に、$\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n+1}$ は Noether スキーム $X$ 上の連接層で $\mathcal{I}$ で消えるので、$X_0$ 上の連接層である。