レベル2多重ゼータ値

すべての項が非負なので、絶対収束は通常の収束と同じである。$2n_i-1\ge n_i$ より
$$ 0\le t(\boldsymbol{k}) \le \sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}, $$
また合同条件を外せば
$$ 0\le T(\boldsymbol{k}) \le 2^r\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}. $$
右辺の共通の級数を調べる。$n_r=N$ を固定すると、$k_i\ge1$ だから内側の和は
$$ \sum_{0< n_1<\cdots< n_{r-1}< N}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_{r-1}^{k_{r-1}}} \le \frac{1}{(r-1)!}\left(\sum_{n=1}^{N-1}\frac1n\right)^{r-1}. $$
調和和は $1+\log N$ 以下なので、全体は
$$ \frac{1}{(r-1)!}\sum_{N=1}^{\infty}\frac{(1+\log N)^{r-1}}{N^{k_r}} $$
で抑えられる。$k_r\ge2$ のときこの級数は積分判定法で収束する。比較判定法により二つの級数も収束する。$\square$

正整数を奇数と偶数に分けると
$$ \zeta(k)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^k} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^k} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n)^k} =t(k)+2^{-k}\zeta(k). $$
よって $t(k)=(1-2^{-k})\zeta(k)$ である。深さ1の合同条件は $n_1\equiv1\pmod2$ だから、定義より $T(k)=2t(k)$ であり、第2式も従う。$\square$

絶対収束するので二重級数の項を並べ替えられる。したがって
$$ t(a)t(b)=\sum_{m,n\ge1}\frac{1}{(2m-1)^a(2n-1)^b} $$
の和の領域を $m< n$、$n< m$、$m=n$ の三つに分割できる。最初の領域の和は $t(a,b)$、二つ目は添字を交換して $t(b,a)$、対角部分は
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{a+b}}=t(a+b) $$
である。三つを足せば主張を得る。$\square$

整数 $n$ と $\varepsilon\in\{0,1\}$ に対し、合同条件の指示関数は
$$ \boldsymbol{1}_{n\equiv\varepsilon\ (\mathrm{mod}\ 2)} =\frac12\left(1+(-1)^{n-\varepsilon}\right) =\frac12\sum_{\delta\in\{0,1\}}(-1)^{\delta(n-\varepsilon)} $$
である。各 $i$ についてこの式を掛け、絶対収束する級数へ代入すると
$$ \zeta_2(\boldsymbol{k};\boldsymbol{\varepsilon}) =2^{-r}\sum_{\boldsymbol{\delta}\in\{0,1\}^r} (-1)^{\delta_1\varepsilon_1+\cdots+\delta_r\varepsilon_r} \sum_{0< n_1<\cdots< n_r} \frac{(-1)^{\delta_1n_1+\cdots+\delta_rn_r}} {n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}. $$
ここで $-\delta_i\varepsilon_i$ と $\delta_i\varepsilon_i$ は $2$ を法として同じなので、表示した符号でよい。右辺の内側が交代多重ゼータ値であり、主張が従う。$\square$