左単位元

$\langle\mathbb{Z},+\rangle$ の $0$ は $0+a=a$ を満たすので左単位元である。$\langle\mathbb{R},\times\rangle$ の $1$ は $1\times a=a$ を満たすので左単位元である。集合 $X$ からそれ自身への写像全体 $X^X$ に合成を入れたマグマでは、恒等写像 $\mathrm{id}_X$ が任意の $f\colon X\to X$ と $x\in X$ に対して $(\mathrm{id}_X\circ f)(x)=f(x)$ を満たすので左単位元である。一般に、定義から単位元はつねに左単位元である。群やモノイドの単位元がその例であり、これらのマグマでは補足節で述べるように左単位元はこの一つに限る。これらの元が右からの条件も満たすことは 単位元 で扱う。

$X=\{1,2,3\}$ とし、$M:=\{f\colon X\to X\mid f(X)\subset\{1,2\}\}$ とおく。$f,g\in M$ に対し $f\cdot g:=f\circ g$ と定めると $(f\circ g)(X)\subset f(X)\subset\{1,2\}$ なので $M$ はこの演算で閉じており、マグマである。$e_1,e_2\in M$ を
$$ e_1(1)=1,\quad e_1(2)=2,\quad e_1(3)=1,\qquad e_2(1)=1,\quad e_2(2)=2,\quad e_2(3)=2 $$
で定める。$e_1$ と $e_2$ はどちらも $M$ の左単位元である。実際、$f\in M$ と $x\in X$ に対し $f(x)\in\{1,2\}$ であり、$e_i$ は $1$ と $2$ を動かさないので $(e_i\circ f)(x)=e_i(f(x))=f(x)$ となる。$e_1(3)=1\neq2=e_2(3)$ なので $e_1\neq e_2$ であり、左単位元は一つではない。
さらに $M$ は右単位元を持たない。$e\in M$ が右単位元であるとすると、$y:=e(3)\in\{1,2\}$ について、$f=e_1$ を取れば $e_1(3)=(e_1\circ e)(3)=e_1(y)=y$ から $y=1$ となり、$f=e_2$ を取れば同様に $y=e_2(3)=2$ となって矛盾する。

実数を成分とする $2$ 次正方行列のうち第 $2$ 行が $0$ であるもの全体
$$ S:=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}\;\middle|\;a,b\in\mathbb{R}\right\} $$
は、行列の積について
$$ \begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&d\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac&ad\\0&0\end{pmatrix} $$
と計算されるので閉じており、マグマである。この計算で $a=1$ とすると右辺は右側の行列に一致するから、$b\in\mathbb{R}$ ごとに定まる
$$ E_b:=\begin{pmatrix}1&b\\0&0\end{pmatrix} $$
はすべて $S$ の左単位元である。$b\neq b'$ なら $E_b\neq E_{b'}$ なので、$S$ の左単位元は無限に多い。一方 $S$ は右単位元を持たない。$A\in S$ が右単位元なら、$B:=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\in S$ に対し、上の積の計算で左側の行列を $B$（$a=0$、$b=1$）とすると $BA$ は零行列になる。$B$ は零行列でないので、右単位元の条件 $BA=B$ に反する。