単項イデアル

同義語：principal ideal主イデアル

概要

定義

本記事では、とくに断らない限り環とは単位元 $1$ をもつ可換環を指す。

単項イデアル

環 $A$ の元 $a$ に対し、$a$ の倍元全体
$$ (a):=aA=\{ax\mid x\in A\} $$
を $a$ が生成する単項イデアル（principal ideal）という。$A$ のイデアル $I$ が単項イデアルであるとは、ある $a\in A$ によって $I=(a)$ と書けることをいい、このとき $a$ を $I$ の生成元という。

$aA$ はイデアルである。$ax+ay=a(x+y)$、$r(ax)=a(rx)$ だからである。$a=a\cdot1\in aA$ であり、$a$ を含むイデアルは $a$ の倍元をすべて含むので、$aA$ は $a$ を含む最小のイデアル、すなわちイデアルの記事の定義「生成されるイデアル」で $S=\{a\}$ とした $(a)$ に一致する。零イデアル $(0)=\{0\}$ と $A$ 自身 $(1)=A$ はつねに単項イデアルである。すべてのイデアルが単項である環を単項イデアル環、そのような整域を単項イデアル整域という。
可換でない環 $R$ では、元 $a$ の生成する左イデアル・右イデアル・両側イデアルを区別する。

非可換環の単項イデアル

単位元をもつ環 $R$ と $a\in R$ に対し、
$$ Ra:=\{ra\mid r\in R\},\qquad aR:=\{ar\mid r\in R\},\qquad RaR:=\Bigl\{\sum_{i=1}^mr_ias_i\Bigm|m\ge0,\ r_i,s_i\in R\Bigr\} $$
をそれぞれ $a$ が生成する単項な左イデアル・右イデアル・両側イデアルという。

$RaR$ は $a$ を含む最小の両側イデアルである。両側イデアルは和で閉じている必要があるので、$ras$ の形の元だけでは一般に足りない（ex-principal-ideal-matrix-ring）。$R$ が可換なら 3 つとも $(a)$ に一致する。以下、可換環の場合を扱う。

直感

単項イデアル $(a)$ は「$a$ の倍数全体」であり、整数の $n\mathbb{Z}$ の一般化である。元 $a$ そのものの代わりに $(a)$ を考えると、単元倍の違いが消える。整数では $n$ と $-n$ が同じイデアル $n\mathbb{Z}$ を生成する。さらに、割り算の関係「$b$ が $a$ を割り切る」はイデアルの包含「$(a)\subset(b)$」に、共通の約数・倍数の問題はイデアルの和・共通部分の問題に翻訳される。単項でないイデアルは「1 つの元では表せない共通の約数」とみなせる。単項イデアルばかりの環（単項イデアル整域）では整数と同じ算術が成り立ち、単項イデアル整域は一意分解整域である。逆は成り立たない。$k[x,y]$ は一意分解整域だが、そのイデアル $(x,y)$ は単項でない（ex-principal-ideal-non-principal の 2）。したがって単項でないイデアルがあっても、素因数分解の一意性が破れるとは限らない。両者が結びつくのは Dedekind 整域のような特別な場合で、そこでは一意分解整域であることと単項イデアル整域であることが同値になる。たとえば $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ では $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ と分解の一意性が破れ、単項でないイデアル $(2,1+\sqrt{-5})$ がある。

例と反例

整数環と多項式環

$\mathbb{Z}$ で $(n)=n\mathbb{Z}$ である。$\mathbb{Z}$ のイデアルはすべてこの形であり（イデアルの記事の例「整数環のイデアル」）、$(n)=(m)$ は $m=\pm n$ と同値である（prop-principal-ideal-divisibility の 3、$\mathbb{Z}^\times=\{\pm1\}$）。
体 $k$ 上の $k[x]$ では、イデアルはすべて単項であり、$0$ でないイデアルはその中の次数最小の多項式で生成される（多項式環の記事の定理「体上の多項式環は単項イデアル整域」）。
2 変数の $k[x,y]$ の単項イデアル $(x)$ は $x$ で割り切れる多項式、すなわち $y$ だけからなる項（定数項を含む）をもたない多項式の全体であり、$f\in(x)$ は $f(0,y)=0$ と同値である。
体 $K$ の単項イデアルは $(0)$ と $(1)=K$ だけであり、これが $K$ のイデアルのすべてである。

整域でない環の単項イデアル

$A=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ で、$(\bar2)=\{\bar0,\bar2,\bar4\}$、$(\bar3)=\{\bar0,\bar3\}$ である。$\bar4=\bar2\cdot\bar2$、$\bar2=\bar4\cdot\bar2$ なので $(\bar2)=(\bar4)$ であり、実際 $\bar4=\bar5\cdot\bar2$ で $\bar5$ は単元である。$(\bar2)+(\bar3)=A$、$(\bar2)\cap(\bar3)=(\bar0)$、$(\bar2)(\bar3)=(\bar6)=(\bar0)$ である。$A$ のイデアルは $(\bar0),(\bar2),(\bar3),(\bar1)$ ですべて単項であり、$A$ は整域でない単項イデアル環である（単項イデアル整域の記事の注意「呼称と流儀」）。

反例：行列環の両側イデアル

$k$ を体、$R=M_2(k)$（行列環）とし、$E_{ij}$ を $(i,j)$ 成分だけが $1$ で他が $0$ の行列とする。$a=E_{11}$ の生成する両側イデアルは $R$ 全体である。実際 $E_{21}E_{11}E_{12}=E_{22}$ なので $E_{11}+E_{22}=1\in RaR$ である。しかし $1$ は $XE_{11}Y$ の形に書けない。$XE_{11}Y$ の階数は $1$ 以下で、単位行列の階数は $2$ だからである。したがって $\{ras\mid r,s\in R\}$ は両側イデアルにならず、def-principal-ideal-noncommutative の和は省けない。この例は「可換環のように単項イデアルの元は 1 つの積で書ける」という含意を、可換性を外すと破る。なお左イデアル $RE_{11}=\{XE_{11}\}$ は第 2 列が $0$ の行列の全体であり、$E_{11}E_{12}=E_{12}$ を含まないので両側イデアルでない。

反例：単項でないイデアル

$k$ を体とし、$B:=k[x^2,x^3]\subset k[x]$ を $x^2$ と $x^3$ で生成される部分環とする。$B$ は $x$ の 1 次の係数が $0$ の多項式の全体である（2 つのそのような多項式の積の 1 次の係数は $a_0b_1+a_1b_0=0$ であり、$m\ge2$ の $x^m$ は $x^2$ と $x^3$ の積で書ける）。$B$ のイデアル $I=(x^2,x^3)=x^2B+x^3B$ は単項でない。$0$ でない多項式 $f$ の最低次の項の次数を $\operatorname{ord}f$ と書くと、$k[x]$ で $\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g+\operatorname{ord}h$ であり、$B$ の元の $\operatorname{ord}$ は $1$ にならない。$I=fB$ とすると、$f\in I$ から $\operatorname{ord}f\ge2$ であり、$x^2=fg$（$g\in B$）から $\operatorname{ord}f\le2$、よって $\operatorname{ord}f=2$ である。$x^3=fh$（$h\in B$）から $\operatorname{ord}h=1$ となり矛盾する。一方、$k[x]$ の中では $x^2,x^3$ が生成するイデアルは $(x^2)$ で単項である。単項かどうかはイデアルを考える環による。この例は「$B\subset C$ で、元 $x^2,x^3$ が $C$ の中で単項なイデアルを生成すれば、$B$ の中でも単項なイデアルを生成する」という含意を破り、また $B$ は単項イデアル整域 $k[x]$ の部分環である整域だが単項イデアル整域でないので、「単項イデアル整域の部分環は単項イデアル整域である」という含意も破る。
$\mathbb{Z}[x]$ の $(2,x)$（イデアルの記事の命題「整数係数多項式環の単項でないイデアル」）、$k[x,y]$ の $(x,y)$（多項式環の記事の例「反例：単項イデアル整域でない多項式環」）、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の $(2,1+\sqrt{-5})$（単項イデアル整域の記事の注意「反例：単項イデアル整域でない整域」）も単項でない。

性質

単項イデアルの包含と整除

$A$ を環、$a,b\in A$ とする。

$(a)\subset(b)$ であることと、$b$ が $a$ を割り切る（$a=bc$ となる $c\in A$ がある）ことは同値である。
$(a)=A$ であることと、$a$ が単元であることは同値である。
$A$ が整域なら、$(a)=(b)$ であることと、$a$ と $b$ が同伴である（$a=ub$ となる単元 $u$ がある）ことは同値である。
$(a)(b)=(ab)$、$(a)^m=(a^m)$（$m\ge1$）である。

生成元の行き先を見る

1：$(a)\subset(b)$ なら $a\in(b)$、すなわち $a=bc$ となる $c$ がある。逆に $a=bc$ なら $ax=b(cx)\in(b)$ である。
2：$(a)=A$ は $1\in(a)$、すなわち $ax=1$ となる $x$ があることと同値である。
3：$a=ub$ なら $(a)\subset(b)$、$b=u^{-1}a$ から $(b)\subset(a)$ である（ここは整域でなくてよい）。逆に $(a)=(b)$ とすると、1 により $a=bc$、$b=ad$ となる $c,d$ がある。$a=0$ なら $b=ad=0$ で $a=1\cdot b$ である。$a\ne0$ なら $a=adc$ から $a(1-dc)=0$ であり、整域なので $dc=1$、$c$ は単元で $a=cb$ である。
4：イデアルの記事の定義「イデアルの和・積・共通部分」により $(a)(b)$ は $ax\cdot by$ の形の元の有限和の全体であり、それは $ab(xy)$ の和なので $(ab)$ に含まれる。逆に $ab\cdot z=(a\cdot1)(b\cdot z)\in(a)(b)$ である。$(a)^m=(a^m)$ は $m$ についての帰納法で従う。$\square$

3 の「$(a)=(b)$ ならば同伴」の証明では、$a(1-dc)=0$ から $dc=1$ を導くところで整域の仮定を使っている。1 により、整除の関係は単項イデアルの包含の関係にちょうど翻訳され、単元倍の違いは単項イデアルに現れない。とくに整域 $A$ の $0$ でも単元でもない元 $a$ が既約元である（$a=bc$ なら $b$ か $c$ が単元）ことは、$(a)$ が $A$ と異なる単項イデアルの中で包含について極大であることと同値である。実際 1 により $(a)\subset(b)$ は $a=bc$ と書けることであり、3 の証明と同じ約分により、$(b)=A$ は $b$ が単元であること、$(b)=(a)$ は $c$ が単元であることと同値だからである。また $a$ が素元であることは、定義により $(a)$ が素イデアルであることと同じである（既約多項式の記事の定義「整域の既約元・素元と一般の係数環上の既約多項式」）。

和・共通部分と最大公約元

環 $A$ の元 $a,b$ について、$d$ が $a,b$ の最大公約元（最大公約元）であるとは、$d$ が $a$ と $b$ を割り切り、$a$ と $b$ を割り切る任意の元 $c$ が $d$ を割り切ることをいう。$m$ が最小公倍元であるとは、$a$ と $b$ が $m$ を割り切り、$a$ と $b$ が割り切る任意の元 $n$ を $m$ が割り切ることをいう。

イデアルの和・共通部分が単項である場合

$A$ を環、$a,b\in A$ とする。

$(a)+(b)=(d)$ なら、$d$ は $a,b$ の最大公約元であり、$d=ax+by$ となる $x,y\in A$ がある。
$(a)\cap(b)=(m)$ なら、$m$ は $a,b$ の最小公倍元である。

包含を整除に読み替える

1：$a,b\in(a)+(b)=(d)$ なので、prop-principal-ideal-divisibility の 1 により $d$ は $a$ と $b$ を割り切る。$d\in(a)+(b)$ なので $d=ax+by$ と書ける。$c$ が $a$ と $b$ を割り切れば $c$ は $ax+by=d$ を割り切る。
2：$m\in(a)\cap(b)$ なので $a$ と $b$ は $m$ を割り切る。$a$ と $b$ が $n$ を割り切れば $n\in(a)\cap(b)=(m)$ なので $m$ は $n$ を割り切る。$\square$

1 の逆は成り立たない。$\mathbb{Z}[x]$ で $2$ と $x$ の公約元は $\pm1$ だけであり（$2$ の約元は次数 $0$ なので $\pm1,\pm2$ で、$2$ は $x$ を割り切らない）、$1$ は最大公約元であるが、$(2)+(x)=(2,x)$ は $\mathbb{Z}[x]$ と異なり（ex-principal-ideal-non-principal の 2）、$1=2x'+xy'$ とは書けない。最大公約元が線形結合で書けること（Bezoutの等式）は、$(a)+(b)$ が単項であることに相当する。有限生成なイデアルがすべて単項である環を Bezout環という。

加群としての単項イデアル

元 $a$ の零化イデアルを $\operatorname{Ann}(a):=\{x\in A\mid ax=0\}$ と書く（零化イデアル）。$a$ が非零因子であるとは $\operatorname{Ann}(a)=(0)$、すなわち $ax=0$ ならば $x=0$ であることをいう（非零因子）。

加群としての単項イデアル

$A$ を環、$a\in A$ とする。

$x\mapsto ax$ は $A$ 加群の同型 $A/\operatorname{Ann}(a)\cong(a)$ を誘導する。
$(a)$ が $A$ 加群として $A$ と同型であることと、$a$ が非零因子であることは同値である。このとき $\{a\}$ は $(a)$ の基底であり、$(a)$ は階数 $1$ の自由加群である。

掛け算写像の核

1：$\mu\colon A\to(a)$、$x\mapsto ax$ は $A$ 線形な全射であり、核は $\operatorname{Ann}(a)$ である。加群の準同型定理により $A/\operatorname{Ann}(a)\cong(a)$ である。
2：$a$ が非零因子なら $\mu$ は単射なので同型 $A\cong(a)$ であり、$\{a\}=\{\mu(1)\}$ は基底である。逆に $A$ 加群の同型 $\theta\colon A\to(a)$ があるとする。$x\in\operatorname{Ann}(a)$ なら、$(a)$ のすべての元 $ay$ について $x\cdot ay=0$ である。とくに $x\theta(1)=0$ なので $\theta(x)=0$、$\theta$ の単射性から $x=0$ である。よって $\operatorname{Ann}(a)=(0)$ である。$\square$

整域では $0$ でない元はすべて非零因子なので、$0$ でない単項イデアルはすべて $A$ と同型である。整域でない環ではそうとは限らない。ex-principal-ideal-z6 の $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ で $\operatorname{Ann}(\bar2)=(\bar3)$ なので $(\bar2)\cong(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})/(\bar3)\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ であり、元の個数が違うので $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ と同型でない。$A=k[x,y]/(xy)$ では、$xf\in(xy)$ は $y\mid f$ と同値なので $\operatorname{Ann}(\bar x)=(\bar y)$ であり、$(\bar x)\cong A/(\bar y)\cong k[x]$ である。幾何学的には、$\bar x$ は 2 本の座標軸のうち $y$ 軸の上で $0$ になる関数であり、$(\bar x)$ は $x$ 軸の上の関数の環のように振る舞う。

環準同型との関係

$\varphi\colon A\to B$ を全射な環準同型とすると、$\varphi((a))=(\varphi(a))$ である。$\varphi(ax)=\varphi(a)\varphi(x)$ であり、$\varphi$ が全射なので $\varphi(x)$ は $B$ のすべての元を動くからである。さらに $B$ のイデアル $J$ について、逆像 $\varphi^{-1}(J)$ は $A$ のイデアルであり、$\varphi$ が全射なので $J=\varphi(\varphi^{-1}(J))$ である。したがって $\varphi^{-1}(J)=(a)$ なら $J=(\varphi(a))$ である。とくに、単項イデアル環 $A$ とイデアル $I$ について、商写像 $A\to A/I$ に適用すると、剰余環 $A/I$ は単項イデアル環である（$A$ が単項イデアル整域の場合は単項イデアル整域の記事の命題「局所化と剰余環」にもある）。逆像についてはこれが成り立たない。$\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$f\mapsto f(0)\bmod2$ による単項イデアル $(0)$ の逆像は、単項でないイデアル $(2,x)$ である（イデアルの記事の命題「整数係数多項式環の単項でないイデアル」の後の説明）。

単項イデアルと素イデアルの高さ

単項イデアルを含む素イデアルは「高さ」が小さい。素イデアル $\mathfrak{p}$ の高さ $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ は、$\mathfrak{p}$ で終わる素イデアルの真の鎖 $\mathfrak{p}_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak{p}_r=\mathfrak{p}$ の長さ $r$ の上限である（Krull次元の記事の定義「素イデアルの高さ」）。

単項イデアルの上の極小素イデアルの高さ

$A$ をNoether環、$a\in A$ を単元でない元とし、$\mathfrak{p}$ を $(a)$ を含む素イデアルのうち包含について極小なものとする。このとき $\operatorname{ht}\mathfrak{p}\le1$ である。さらに $a$ が非零因子なら $\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1$ である。

定理の名称と出典

これは Krullの単項イデアル定理と呼ばれ、証明は AM69 Chapter 11、Mat86 §13、Eis95 Chapter 10 に譲る。$a$ が単元でなければ $(a)$ を含む極大イデアルがあり、その中に $(a)$ 上の極小な素イデアルがとれる（AM69 Chapter 1 の演習）。後半は、非零因子 $a$ が $A$ の極小素イデアルに含まれないこと（Noether 環の極小素イデアルの元は零因子である：Mat86 §6）から $\operatorname{ht}\mathfrak{p}\ge1$ となることによる。$r$ 個の元で生成されるイデアルの上の極小素イデアルの高さは $r$ 以下である、という一般化（Krull の標高定理）も同じ文献にある。

高さによる単項性の判定

$k$ を体とし、$A=k[x,y]$ とする。$(xy)$ を含む素イデアルのうち極小なものは $(x)$ と $(y)$ であり、$(0)\subsetneq(x)$、$(0)\subsetneq(y)$ は素イデアルの鎖なので高さはどちらも $1$ 以上である。また $(x)$ は単項イデアル $(x)$ の上の極小素イデアルなので、thm-principal-ideal-krull により高さは $1$ 以下である（$(y)$ も同様）。よって高さはどちらもちょうど $1$ である。一方、素イデアル $(x,y)$ は $(0)\subsetneq(x)\subsetneq(x,y)$ という長さ $2$ の鎖をもつので高さは $2$ 以上である。$(x,y)$ は自分自身の上の極小素イデアルなので、thm-principal-ideal-krull により $(x,y)$ は単項イデアルでない。これは ex-principal-ideal-non-principal の 2 の $(x,y)$ の、次数によらない別の説明になっている。

単項イデアルに関する環の条件

単項イデアルに関する条件は環の分類に現れる。すべてのイデアルが単項である整域が単項イデアル整域、有限生成なイデアルがすべて単項である環が Bezout環である。極大イデアルが $0$ でない単項イデアルである Noether 局所整域は離散付値環である。実際 thm-principal-ideal-krull により極大イデアルの高さは $1$ 以下で、$0$ でないので Krull次元は $1$ であり、Krull次元 $1$ の Noether 局所整域で極大イデアルが単項なものは離散付値環である（AM69 Chapter 9）。非可換環では、すべての左イデアルが $Ra$ の形である環を左単項イデアル環という。