円に関する反転

方針：$P'$ は「$\overrightarrow{OP}$ と同じ向きで長さ $\dfrac{r^2}{OP}$」のベクトルで決まることを使う。
段 1（1 の式）。$\overrightarrow{OP}=(x,y)$ と同じ向きの点は、正の数 $t$ を使って $(tx,ty)$ と書ける。その長さは $t\sqrt{x^2+y^2}=t\cdot OP$ である。$OP'=\dfrac{r^2}{OP}$ となるには $t\cdot OP=\dfrac{r^2}{OP}$、つまり $t=\dfrac{r^2}{OP^2}=\dfrac{r^2}{x^2+y^2}$ であればよい。この $t$ は正なので、$P'=(tx,ty)$ は 1 の式になる。
段 2（2）。$P'$ は半直線 $OP$ の上にあるので、半直線 $OP'$ と半直線 $OP$ は同じである。$P'$ の反転を $P''$ とすると、$P''$ は半直線 $OP$ の上にあって $OP'\cdot OP''=r^2$ を満たす。一方 $OP'\cdot OP=r^2$ でもあるので、$OP''=\dfrac{r^2}{OP'}=OP$ である。同じ半直線の上で $O$ からの距離が等しい点は 1 つしかないので、$P''=P$ である。
段 3（3）。$OP'=\dfrac{r^2}{OP}$ である。$OP=r$ なら $OP'=r$ で、同じ半直線の上の同じ距離の点なので $P'=P$ である。$0< OP< r$ なら $\dfrac{r^2}{OP}>\dfrac{r^2}{r}=r$ なので $OP'>r$、つまり $P'$ は外部にある。$OP>r$ なら同じく $OP'< r$ である。$\square$

方針：$OM\cdot OP=OT_1^2=r^2$ を、相似な直角三角形から導く。
段 1（$T_1T_2\perp OP$）。$PT_1=PT_2$（2 本の接線の長さは等しい。方べきの定理（高校数学））であり、$OT_1=OT_2=r$ である。よって $O$ と $P$ はどちらも $T_1$、$T_2$ から等しい距離にあり、線分 $T_1T_2$ の垂直二等分線の上にある。したがって直線 $OP$ は線分 $T_1T_2$ の垂直二等分線であり、$M$ で $T_1T_2$ に垂直に交わる。
段 2（相似）。三角形 $OMT_1$ と三角形 $OT_1P$ を比べる。$\angle OMT_1=90^\circ$（段 1）、$\angle OT_1P=90^\circ$（接線は接点を通る半径に垂直）であり、$\angle MOT_1=\angle T_1OP$（共通の角）である。2 組の角が等しいので、2 つの三角形は相似である。
段 3（比）。段 2 の相似から $OM:OT_1=OT_1:OP$ なので、$OM\cdot OP=OT_1^2=r^2$ である。$M$ は線分 $OP$ の上にあるので半直線 $OP$ の上にもある。よって $M=P'$ である。$\square$

方針：「2 組の辺の比とその間の角が等しい」という相似条件を使う。
段 1（辺の比）。反転の定義から $OP\cdot OP'=r^2$、$OQ\cdot OQ'=r^2$ なので、$OP\cdot OP'=OQ\cdot OQ'$ である。両辺を $OQ\cdot OP'$ で割ると
$$ \frac{OP}{OQ}=\frac{OQ'}{OP'} $$
である。つまり $OP:OQ=OQ':OP'$ である。
段 2（挟む角）。$P'$ は半直線 $OP$ の上に、$Q'$ は半直線 $OQ$ の上にあるので、$\angle P'OQ'=\angle POQ$ である。三角形 $OQ'P'$ で辺 $OQ'$ と $OP'$ に挟まれる角は $\angle Q'OP'$ で、これは $\angle POQ$ に等しい。
段 3（結論）。三角形 $OPQ$ の 2 辺 $OP,OQ$ と三角形 $OQ'P'$ の 2 辺 $OQ',OP'$ の比が等しく（段 1）、その間の角が等しい（段 2）。よって 2 つの三角形は相似で、$O\leftrightarrow O$、$P\leftrightarrow Q'$、$Q\leftrightarrow P'$ が対応する。$\square$

方針：相似な三角形の対応する角は等しいことを使う。
lem-inv-similar の対応 $O\leftrightarrow O$、$P\leftrightarrow Q'$、$Q\leftrightarrow P'$ により、三角形 $OPQ$ の頂点 $P$ の角 $\angle OPQ$ は、三角形 $OQ'P'$ の頂点 $Q'$ の角 $\angle OQ'P'$ に等しい。同じく、頂点 $Q$ の角 $\angle OQP$ は頂点 $P'$ の角 $\angle OP'Q'$ に等しい。$\square$

方針：$O,P,Q$ が一直線上にないときは lem-inv-similar の相似比を使い、一直線上にあるときは長さを直接計算する。
段 1（一直線上にないとき）。lem-inv-similar で辺 $PQ$ に対応するのは辺 $Q'P'$ なので、相似比は
$$ \frac{P'Q'}{PQ}=\frac{OQ'}{OP}=\frac{r^2/OQ}{OP}=\frac{r^2}{OP\cdot OQ} $$
である（$OQ'=\dfrac{r^2}{OQ}$ を使った）。両辺に $PQ$ を掛けて公式を得る。
段 2（同じ半直線の上にあるとき）。$P,Q$ が $O$ から見て同じ向きにあれば、$P',Q'$ も同じ半直線の上にあり
$$ P'Q'=\left|\frac{r^2}{OP}-\frac{r^2}{OQ}\right|=\frac{r^2\,|OQ-OP|}{OP\cdot OQ} $$
である。このとき $PQ=|OQ-OP|$ なので公式が成り立つ。
段 3（反対の半直線の上にあるとき）。$P,Q$ が $O$ をはさんで反対側にあれば、$P',Q'$ も $O$ をはさんで反対側にあり
$$ P'Q'=\frac{r^2}{OP}+\frac{r^2}{OQ}=\frac{r^2\,(OQ+OP)}{OP\cdot OQ} $$
である。このとき $PQ=OP+OQ$ なので公式が成り立つ。$\square$

方針：$O$ から直線に下ろした垂線の足 $H$ を使い、cor-inv-angles で直角を移す。
段 1（1）。$O$ を通る直線 $\ell$ の上の点 $X\ne O$ について、$X'$ は半直線 $OX$ の上にあるので $\ell$ の上にある。逆に $\ell$ の上の点 $Y\ne O$ は、$Y'$ も $\ell$ の上にあり、$Y=(Y')'$ なので $\ell$ の点の反転になっている。
段 2（2 の、像が円の上にあること）。$\ell$ は $O$ を通らない直線とし、$O$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。$H\ne O$ なので $H'$ がある。$\ell$ の上の点 $X\ne H$ をとる。$O,H,X$ は一直線上にない（直線 $OH$ と $\ell$ の交点は $H$ だけである）。cor-inv-angles を $P=H$、$Q=X$ として使うと
$$ \angle OX'H'=\angle OHX=90^\circ $$
である。直径 $OH'$ を見込む角が直角なので、$X'$ は $OH'$ を直径とする円 $\omega$ の上にある（直径に対する円周角は直角であり、その逆も成り立つ。円周角の定理（高校数学））。$X=H$ のときも $H'$ は $\omega$ の上にある。
段 3（2 の、円のどの点も像であること）。$\omega$ の上の点 $Y$ で $Y\ne O$ のものをとる。$Y=H'$ なら $Y=H'$ は $H$ の反転である。$Y\ne H'$ なら、三角形 $OYH'$ は $Y$ で直角なので $\angle YOH'<90^\circ$ である。よって半直線 $OY$ は、$OH$ に垂直な直線 $\ell$ と交わる。その交点を $X$ とすると、段 2 により $X'$ は $\omega$ の上にあり、半直線 $OY$ の上にもある。半直線 $OY$ と円 $\omega$ の共有点は $O$ と $Y$ だけなので、$X'=Y$ である。
段 4（3）。$O$ を通る円 $\omega_0$ の、$O$ と反対側の直径の端を $A$ とし、$A'$ を通って $OA$ に垂直な直線を $\ell_0$ とする。$\ell_0$ は $O$ を通らず、$O$ から $\ell_0$ に下ろした垂線の足は $A'$ である。段 2・段 3 により、$\ell_0$ は $OA''=OA$ を直径とする円、つまり $\omega_0$ に移る。反転を 2 回続けると元に戻るので、$\omega_0$（$O$ を除く）は $\ell_0$ に移る。$\square$

方針：反転した点をもう一度反転すると元に戻ることを使い、$(\ast)$ に反転の式を代入する。
段 1（像の方程式）。反転の円の半径を $r$ とし、点 $P'=(X,Y)\ne O$ をとって $\rho=X^2+Y^2$ とおく。prop-inv-basic の 2 により、$P'$ が図形 $(\ast)$ の点の反転であることは、$P'$ の反転 $P=\left(\dfrac{r^2X}{\rho},\dfrac{r^2Y}{\rho}\right)$ が $(\ast)$ を満たすことと同じである。$P$ の座標では $x^2+y^2=\dfrac{r^4(X^2+Y^2)}{\rho^2}=\dfrac{r^4}{\rho}$ なので、$(\ast)$ に代入すると
$$ \frac{ar^4}{\rho}+\frac{Dr^2X+Er^2Y}{\rho}+F=0 $$
となる。両辺に $\rho>0$ を掛けると
$$ F(X^2+Y^2)+r^2DX+r^2EY+ar^4=0\qquad(\ast\ast) $$
である。つまり、係数の組 $(a,D,E,F)$ が $(F,\ r^2D,\ r^2E,\ ar^4)$ に変わる。
段 2（1 と 2：直線）。直線では $a=0$ である。$(\ast\ast)$ の定数項は $ar^4=0$ なので、像は $O$ を通る。$F=0$（$O$ を通る直線）なら $(\ast\ast)$ は $r^2(DX+EY)=0$ で、元の直線と同じである。$F\ne0$（$O$ を通らない直線）なら $(\ast\ast)$ の $X^2+Y^2$ の係数は $F\ne0$ で、平方完成の判定式は $(r^2D)^2+(r^2E)^2-4F\cdot0=r^4(D^2+E^2)>0$ なので円である。
段 3（3 と 4：円）。円では $a\ne0$ かつ $D^2+E^2-4aF>0$ である。$(\ast\ast)$ の定数項は $ar^4\ne0$ なので、像は $O$ を通らない。$F=0$（$O$ を通る円）なら $D^2+E^2>0$ で、$(\ast\ast)$ は $r^2(DX+EY)+ar^4=0$ という直線である。$F\ne0$（$O$ を通らない円）なら、$(\ast\ast)$ の判定式は
$$ (r^2D)^2+(r^2E)^2-4F\cdot ar^4=r^4(D^2+E^2-4aF)>0 $$
なので円である。$\square$

方針：prf-thm-inv-clines-coord の段 1 で像の方程式を出し、中心から $P'$ への半径に垂直な向きを求める。
段 1（像の方程式）。$t$ は向き $(\cos\varphi,\sin\varphi)$ で $P$ を通るので、方程式は $\sin\varphi\,(x-p)-\cos\varphi\,y=0$、つまり $(a,D,E,F)=(0,\sin\varphi,-\cos\varphi,-p\sin\varphi)$ である。$r=1$ なので像は
$$ -p\sin\varphi\,(X^2+Y^2)+\sin\varphi\,X-\cos\varphi\,Y=0 $$
である。$0<\varphi<180^\circ$ なので $\sin\varphi>0$ であり、両辺を $-p\sin\varphi$ で割ると $X^2+Y^2-\dfrac1pX+\dfrac{\cos\varphi}{p\sin\varphi}Y=0$ となる。
段 2（中心）。平方完成すると、中心は $C=\left(\dfrac1{2p},\ -\dfrac{\cos\varphi}{2p\sin\varphi}\right)$ である。$X=\dfrac1p$、$Y=0$ を段 1 の式に代入すると $\dfrac1{p^2}-\dfrac1{p^2}+0=0$ なので、$P'$ は像の円の上にある。
段 3（接線）。$\overrightarrow{CP'}=\left(\dfrac1p-\dfrac1{2p},\ \dfrac{\cos\varphi}{2p\sin\varphi}\right)=\dfrac1{2p\sin\varphi}(\sin\varphi,\ \cos\varphi)$ である。接線は半径 $CP'$ に垂直なので、その向きは $(\sin\varphi,\cos\varphi)$ に垂直な $(\cos\varphi,-\sin\varphi)$ である（内積は $\sin\varphi\cos\varphi-\cos\varphi\sin\varphi=0$）。$\varphi=0$ の場合は thm-inv-clines の 1 である。$\square$

方針：反転は $O$ 以外の点を 1 対 1 に移すので、共有点の個数を数える。
段 1（$O$ 以外の共有点）。$\mathcal{C}$ と $t$ の共有点は $P$ だけである。反転は、$O$ 以外の点を $O$ 以外の点に 1 対 1 で移す（2 回で元に戻るので、異なる点は異なる点に移る）。したがって $\mathcal{C}'$ と $t'$ の $O$ 以外の共有点は $P'$ だけである。
段 2（$O$ は共有点でない）。thm-inv-clines の 3・4 により、円の像は $O$ を通らない直線か、$O$ を通らない円である。$\mathcal{C}$ は円なので、$\mathcal{C}'$ は $O$ を通らない。よって $\mathcal{C}'$ と $t'$ の共有点は $P'$ だけである。
段 3（接する）。$\mathcal{C}'$ と $t'$ がどちらも直線になることはない。そうなるには $\mathcal{C}$ と $t$ がどちらも $O$ を通る必要があるが（thm-inv-clines の 1・3）、そのとき $\mathcal{C}$ と $t$ は $P$ と $O$ の 2 点を共有してしまう。直線と円、または 2 つの円が 1 点だけを共有するとき、それらはその点で接する（直線と円なら、中心からの距離が半径に等しい。2 つの円なら、共有点は 2 つの中心を結ぶ直線の上にあり、接線は共通である）。$\square$

方針：回転と拡大で単位円・$P=(p,0)$ の場合にし、lem-inv-tangent-dir で接線の向きを比べる。
段 1（場合を絞る）。中心 $O$ のまわりの回転は反転と入れ替えられる。また、$O$ を中心に $k$ 倍に拡大すると、半径 $r$ の円に関する反転は半径 $kr$ の円に関する反転に変わる（$OP\cdot OP'=r^2$ の両辺の長さが $k$ 倍、$k^2$ 倍になる）。回転も拡大も角の大きさを変えないので、反転の円は単位円、$P=(p,0)$（$p>0$）としてよい。
段 2（接線に置き換える）。2 つの図形の $P$ における接線を $t_1$、$t_2$ とし、$x$ 軸となす角をそれぞれ $\varphi_1$、$\varphi_2$ とする。図形が円なら、lem-inv-tangency により、その像の $P'$ における接線は $t_1'$（または $t_2'$）の $P'$ における接線と同じである。図形が直線なら、それ自身が接線である。
段 3（向きの比較）。lem-inv-tangent-dir により、像の接線が $x$ 軸となす角は $-\varphi_1$、$-\varphi_2$ である。2 本の接線のなす角は、もとは $\varphi_1-\varphi_2$、像では $-\varphi_1-(-\varphi_2)=-(\varphi_1-\varphi_2)$ で、大きさは等しく、向きは逆である。$\square$

方針：$\omega_1$ の中心を $(x,y)$、半径を $\rho$ とし、3 つの接する条件を中心間の距離の式にする。
段 1（条件を式にする）。2 円が内側から接するとき中心間の距離は半径の差、外側から接するとき半径の和である。よって
$$ (x-3)^2+y^2=(3-\rho)^2,\qquad (x-2)^2+y^2=(2+\rho)^2,\qquad (x-5)^2+y^2=(1+\rho)^2 $$
である。
段 2（1 つ目と 2 つ目の差）。左辺どうし、右辺どうしを引くと、$y^2$ と $x^2$、$\rho^2$ が消えて $(-6x+9)-(-4x+4)=(9-6\rho)-(4+4\rho)$、つまり $-2x+5=5-10\rho$ となる。よって $x=5\rho$ である。
段 3（1 つ目と 3 つ目の差）。同じく引くと $(-6x+9)-(-10x+25)=(9-6\rho)-(1+2\rho)$、つまり $4x-16=8-8\rho$ となる。よって $x=6-2\rho$ である。
段 4（解く）。段 2・段 3 から $5\rho=6-2\rho$ なので $\rho=\dfrac67$、$x=\dfrac{30}7$ である。2 つ目の式から $y^2=\left(2+\dfrac67\right)^2-\left(\dfrac{30}7-2\right)^2=\dfrac{400-256}{49}=\dfrac{144}{49}$ で、$y>0$ より $y=\dfrac{12}7$ である。
段 5（比べる）。中心の高さ $\dfrac{12}7$ は、直径 $2\rho=\dfrac{12}7$ のちょうど $1$ 倍である。$\square$

方針：$A$ を中心とし、$\omega_n$ が自分自身に移るような半径で反転する。2 つの半円は平行な 2 直線に、円の列は同じ大きさの円が縦に積み重なった列に移る。
段 1（半径の選び方）。$A$ は $\omega_n$ の外部にある（$\omega_n$ は $\Gamma_B$ の内側、$\Gamma_C$ の外側にあり、$A$ で接し合う 2 円の間の、$A$ から離れた部分にある）。$A$ の $\omega_n$ に関する方べきを $k>0$ とし、中心 $A$、半径 $\sqrt k$ の円に関する反転を考える。$A$ を通る直線が $\omega_n$ と $X,Y$ で交わると、方べきの定理により $AX\cdot AY=k$ で、$A$ は外部にあるので $Y$ は半直線 $AX$ の上にある（方べきの定理（高校数学））。よって $Y=X'$ であり、$\omega_n$ は自分自身に移る。
段 2（2 つの半円は平行な 2 直線に移る）。$\Gamma_B$ は $A$ を通る円なので、thm-inv-clines の 3 により直線に移る。prf-thm-inv-clines-geom の段 4 により、その直線は $B'$ を通って $AB$ に垂直な直線 $x=\dfrac{k}{AB}$ である（$A$ を原点、$AB$ を $x$ 軸にとる）。同じく $\Gamma_C$ は直線 $x=\dfrac{k}{AC}$ に移る。2 直線は平行で、間の幅は $w:=\dfrac{k}{AC}-\dfrac{k}{AB}$ である。
段 3（円の列は幅 $w$ の円に移る）。$\omega_j$ は $A$ を通らない円なので、円 $\omega_j'$ に移る（thm-inv-clines の 4）。$\omega_j$ と $\Gamma_B$ の共有点は 1 つだけなので、lem-inv-tangency の証明と同じく、$\omega_j'$ と直線 $x=\dfrac{k}{AB}$ の共有点も 1 つだけで、両者は接する。$\Gamma_C$ についても同じである。2 本の平行線の両方に接する円の直径は幅 $w$ に等しく、中心は 2 直線のちょうど中央の直線の上にある。
段 4（列の位置）。$\omega_0$ は $x$ 軸について対称であり、$x$ 軸の上の点 $A$ を中心とする反転は $x$ 軸についての折り返しと入れ替えられるので、$\omega_0'$ も $x$ 軸について対称で、中心は $x$ 軸の上（高さ $0$）にある。$\omega_1'$ は $\omega_0'$ に接する直径 $w$ の円なので、中心の高さは $\pm w$ である。$x$ 軸より上の点は、半直線 $AP$ の上に移るので $x$ 軸より上に移る。$\omega_1$ は $x$ 軸より上にあるので、$\omega_1'$ の中心の高さは $w$ である。以下、$\omega_j'$ は $\omega_{j-1}'$ に接し $\omega_{j-2}'$ と異なる直径 $w$ の円なので、中心の高さは $jw$ である（$j$ についての帰納法）。
段 5（結論）。段 1 により $\omega_n'=\omega_n$ なので、$\omega_n$ の直径は $w$、中心の高さは $nw$ である。よって高さは直径の $n$ 倍である。$\square$