正則列

前提知識: 可換環, 加群, 剰余環, 局所化, 完全列

方程式を順番に課す

一つの元が零因子でないことと、複数の元が正則列をなすことは違う。列では最初の元で割った後に、次の元が零因子でなくなるかを調べる。最初の環で各元が非零因子でも、商での作用が単射になるとは限らない。正則列は、方程式を一つずつ課していく過程で単射性を失わない列である。
この定義には順序が含まれる。局所Noether環上の有限生成加群では、極大イデアルの中の正則列は順序を入れ替えても正則になる。しかし一般の非局所環では同じ結論は成立しない。本記事では局所の順序独立性をKoszul複体の一次ホモロジー判定から証明し、非局所の反例を積環で完全に計算する。
局所化にも注意が必要である。掛算写像の単射性は局所化で保たれるが、最後の商が非零であることは消える場合がある。正則列を局所化する際には、商がどの素イデアルで生き残るかを確認する。本記事は零加群や単元列を正則列に含めるかという規約も明示する。
また、Artin局所環を係数に持つ平坦な環では、閉ファイバーの正則列を持ち上げると、元の環でも正則列となり、途中の商も係数環上平坦に残る。この構成を、冪零の厚みによる有限フィルトレーションを使って証明する。

定義と空列の規約

環は単位元をもつ可換環とし、$M$ は単位的 $A$ 加群とする。有限列を $\boldsymbol x=(x_1,\ldots,x_r)$、初期部分の生成するイデアルを $I_i=(x_1,\ldots,x_i)$ と書く。$I_0=0$ とする。

各段の掛算の単射性だけを要求し、最後の商の非零を要求しない列を、ここでは弱い意味の正則列と呼んで区別する。単元を含む列はその段で商を零にするため、後の単射性が自動となってしまう。本記事の正則列はそのような列を含まない。
$M=0$ ではどの掛算も単射だが、最後の商は零なので正則列は存在しない。零環上の単位的加群は零であり、同じ端点となる。一元列では、非零加群に単射に作用する元で、商が非零となる元が正則である。環自身では非零因子かつ非単元という条件になる。
正則列とKoszul複体の議論は Mat89 §16 に対応する。以下では必要な複体とNakayamaの補題を本記事の中で展開する。

初期部分と商での残りの列

この命題は任意の環と加群で成立し、Noether性を使わない。順番を変えず、最初の方程式を先に課した後の状況を正確に記述している。途中の商が零になる列を定義に含めなかったので、初期部分の非零性も得られる。

正則性を測る有限複体

$E=A^r$ の基底を $e_i$ とし、$K_q(\boldsymbol x;M)=\bigwedge^qE\otimes_AM$ と置く。微分は基底の外積から一つの因子を順番に除き、$j$ 番目を除く項に $(-1)^{j-1}x_{i_j}$ を掛ける写像である。二つの因子を除く操作は二通りあり、符号が反対で係数の積が同じだから $d^2=0$ となる。外積の増加順の語が基底となり、各項は $M$ の有限個の直和になる。
左から $e_i$ を外積する写像 $h_i$ は $dh_i+h_id=x_i\operatorname{id}$ を満たす。従って各元はホモロジーを零化する。次数零のホモロジーは $M/I_rM$。一元の場合、複体は $M\xrightarrow{x_1}M$ で、一次ホモロジーは掛算の核である。この情報を一元ずつ追加することで、正則性とホモロジー消滅を結び付ける。

一元追加とmapping cone

$\boldsymbol x'=(x_1,\ldots,x_{r-1})$、$x=x_r$ と置き、$K'=K(\boldsymbol x';M)$ とする。$E$ の外積を最後の基底を含まない部分と含む部分に分ければ、次数 $q$ の元は $u+e_r\wedge v$、$u\in K'_q$、$v\in K'_{q-1}$ と一意に書ける。この表示は通常の増加順基底と符号で変換される。
微分はこの対の表示で
$$d(u,v)=(d'u+xv,-d'v)$$
となる。従ってKoszul複体は、$K'$ の $x$ 倍写像のmapping coneである。包含 $u\mapsto(u,0)$ と射影 $(u,v)\mapsto v$ により、複体の短完全列 $0\to K'\to K\to K'[-1]\to0$ が得られる。最後の移動複体の微分は $-d'$ である。

正則列からホモロジー消滅へ

列 $\boldsymbol x$ が $M$ 正則であるとは、各 $x_i$ の掛算が $M/(x_1,\ldots,x_{i-1})M$ 上で単射であり、最後の商が非零であることとする。最後の商の非零を省くと単元列を含む別の規約になるので、本記事では区別する。空列は $M\ne0$ のとき正則とする。

この向きにはNoether性も加群の有限生成性も必要ない。必要なのは各段での掛算の単射性である。一方、正次数の消滅から各段の単射性を戻すには以下の有限性を使う。

局所有限加群での逆向き

この逆向きはNoether局所、有限 $M$、非零 $M$、列が極大イデアル内という条件を使った。ホモロジーの有限性とNakayamaが適用できること、最後の商が非零であることをそれぞれ保証している。条件を省いて同じ判定を述べない。

局所有限加群での順序独立性

この証明では複体の置換同型は一般の環で成立する。しかしホモロジーから正則性を戻す部分で局所有限加群の条件を使った。複体が置換できることだけから、一般の環の正則列が置換できると結論することはできない。
Noether性も外せない。体 $k$ に対して $B=k[x,y]_{(x,y)}$、$N=k(y)$ とし、$N$ を $B\to B/xB\cong k[y]_{(y)}\subset k(y)$ を通して $B$ 加群とみる（$x$ は零、$y$ は可逆に作用する）。$A=B\oplus N$ に積 $(b,n)(b',n')=(bb',bn'+b'n)$ を入れると、$(b,n)$ が単元であることと $b$ が単元であることは同値なので（逆元は $(b^{-1},-b^{-2}n)$）、$A$ は極大イデアル $\mathfrak m_B\oplus N$ をもつ局所環である。イデアル $0\oplus N$ が有限生成なら $k(y)$ が有限生成 $k[y]_{(y)}$ 加群になるが、有限個の元の生成する部分は $y$ に関する位数が下に有界なのでそうはならず、$A$ はNoetherでない。$M=A$ とし、$x,y$ を $(x,0),(y,0)$ と同一視する。$y(b,n)=(yb,yn)=0$ なら $b=0$、$n=0$ なので $y$ は単射に作用する。$yA=yB\oplus N$ だから $A/yA\cong B/yB\cong k[x]_{(x)}$ であり、$x$ はこの整域の非零元として単射に作用する。最後の商は $k\ne0$ なので $(y,x)$ は $A$ 正則列である。一方 $x(0,1)=0$ なので、並べ替えた $(x,y)$ は最初の段で単射性を失い、正則でない。どちらの元も極大イデアルに属し、$M$ は非零有限生成である。$(x,y)$ でも一次Koszulホモロジーが零になる直接の計算は Koszul複体 にある。

非局所環で順序が破れる反例

体 $k$ に対して $A=k\times k[x,y]$ とし、$a=(1,x)$、$b=(0,y)$ を取る。$M=A$ とする。この環はNoetherだが局所ではない。
$a$ の掛算は両成分で単射である。第一成分では $1$ の掛算、第二成分では整域の非零元 $x$ の掛算だからである。$A/aA$ は第一成分が零、第二成分が $k[y]$ となる。この商上で $b$ は $y$ の掛算として作用し単射である。最後の商は $k$ で非零。従って $(a,b)$ は $A$ 正則列である。
一方、$b$ は非零元 $(1,0)$ を零化する。従って順序を変えた $(b,a)$ は最初の単射性を満たさず正則でない。最後の生成イデアルと商は順序を変えても同じだが、途中の零因子性が変わる。これが正則列の定義に順序が含まれる具体的な例である。
この例ではKoszul複体はどちらの順序でも同型で、正次数ホモロジーは消える。非局所環では、その消滅を掛算の段階的単射性へ戻す逆向きが失敗する。有限性だけを残して局所性を省くことはできない。
同じことは整域でも起こる。体 $k$ 上の多項式環 $A=k[X,Y,Z]$ で $b_1=X(Y-1)$、$b_2=Y$、$b_3=Z(Y-1)$ と置く。$(b_1,b_2,b_3)$ は $A$ 正則である。$b_1$ は整域の非零元であり、$Yf=b_1g$ なら $Y=0$ の代入で $g(X,0,Z)=0$ となって $g=Yh$、従って $f=b_1h$ だから $Y$ は $A/(b_1)$ 上単射である。さらに $A/(b_1,b_2)\cong k[Z]$ の上で $b_3$ は $-Z$ の掛算であり、最後の商は $k$ である。一方 $Xb_3=Zb_1$ で、$X$ は $Y=1$ を代入すれば分かるとおり $(b_1)$ に属さないので、$b_3$ は $A/(b_1)$ の零因子であり、$(b_1,b_3,b_2)$ は正則でない。この例のKoszul複体の扱いは Koszul複体 にある。

次数付き環での順序独立性

局所環でなくても、次数付き環の正の次数の斉次元の列なら順序を入れ替えてよい。上の二つの反例の元は斉次でない。以下 $A=\bigoplus_{n\ge0}A_n$ を $\mathbb N$ 次数付き可換環（次数付き環）とし、Noether 性は仮定しない。

次数の仮定は、元を割り続けると次数が下がり続けることを保証している。正の次数の条件を外すと、上の積環や $k[X,Y,Z]$ の例のように順序が効く。

たとえば体 $k$ 上の $k[x,y,z]$（次数 $1$）で $f=x^3y+y^2z^2+xy^2z$ は次数 $4$ の $0$ でない斉次元で、整域なので単射に作用し、$\operatorname{HS}_{k[x,y,z]/(f)}=(1-t^4)/(1-t)^3$ である。座標列 $(x,y,z)$ なら最後の商は $k$ で、$\operatorname{HS}=1=(1-t)^3/(1-t)^3$ となる。

局所化と商の生存

Noether環上の有限生成加群なら、台は零化イデアルを含む素イデアルの集合と一致する。実際、零化イデアルに属し、その素イデアルの外にある元を反転すれば加群は零になる。逆に局所化で加群が零なら、有限個の生成元を同時に零化する分母の積を選べるので、零化イデアルに属しその素イデアルを避ける元が存在する。
有限 $M$、$I_r\subset\mathfrak p$ の場合は、$M_{\mathfrak p}\ne0$ なら有限Nakayamaによって $M_{\mathfrak p}/I_rM_{\mathfrak p}\ne0$ である。従ってこの場合は $\mathfrak p\in\operatorname{Supp}M$ と $I_r\subset\mathfrak p$ を確認すればよい。有限性なしではこのNakayamaへの移行を使わず、最後の商の台を直接検査する。
体 $k$ 上の $A=k[t]$ と一元列 $(t)$ は正則である。しかし $t$ を反転した $k[t,t^{-1}]$ では $t$ が単元になり、最後の商が零となるので、本記事の規約では正則でない。局所化で単射性が失われたのではなく、商の生存が失われた例である。

冪を取る場合の証明

Noether局所環上の非零有限生成加群で正則列の各元を任意の正整数冪へ置き換えても正則になる。この事実は単射性だけの形式的言い換えではなく、商が変わることを扱う必要がある。
まず短完全列 $0\to L\to N\to P\to0$ で、一つの元 $y$ が $L,P$ 上で単射に作用するなら $N$ 上でも単射である。$yn=0$ なら $P$ での像は零、従って $n\in L$ となり、$L$ の単射性から零になる。また $yN\cap L=yL$ である。$yn\in L$ なら $P$ での単射性により $n\in L$ だからである。従って $y$ で割った後にも短完全列が保たれる。この議論を列の各元について繰り返せば、列が両端で各段単射なら中央でも各段単射となる。
正則列 $(x,\boldsymbol y)$ を取り、$x^n$ で割った加群を考える。$x$ は $M$ 上で単射なので、$x^jM/x^{j+1}M$ は $M/xM$ と同型である。従って $M/x^nM$ は $n$ 個の $M/xM$ を因子にもつ有限フィルトレーションをもつ。$\boldsymbol y$ は $M/xM$ 上で各段単射だから、前の短完全列の議論をフィルトレーションに反復して、$M/x^nM$ 上でも各段単射となる。$x^n$ 自身も $M$ 上で単射である。
局所の有限加群で列が極大イデアル内なら、最後の商は有限Nakayamaで非零となる。従って最初の元を冪にした列も正則である。置換可能性で任意の元を最初へ移し、この操作を有限回行って元の順序へ戻せば、全元の指定された正整数冪への置換を得る。正整数という条件を零乗へ変えると単元になり、非零商の条件を失うので、この結論には含めない。

Artin基礎の閉ファイバーから持ち上げる

正則列を直接探す代わりに、係数環の極大イデアルで割った環で探してから持ち上げることがある。このときは、各元が持ち上がるだけでなく、途中の商が係数環上平坦であることも保つ必要がある。これを保てれば、次の元にも同じ議論を繰り返せる。
この節ではすべての環をNoetherとし、$(R,\mathfrak m,k)$ を非零Artin局所環、$(S,\mathfrak n)$ をNoether局所環、$R\to S$ を局所準同型で $S$ が $R$ 上平坦であるものとする。$F=S/\mathfrak mS$ を閉ファイバーと呼ぶ。Artin局所環の極大イデアルは冪零なので、ある $q\ge1$ について $\mathfrak m^q=0$ である。
以下の補題は、冪零の厚みを一層ずつ取り除くと、閉ファイバー上の単射性が元の環上へ戻ることを述べる。平坦性の定義とテンソル積の完全性については 平坦加群 を用いる。

この定理は Mat89 Theorem 22.5直後の系（p.177）にある閉ファイバーの正則列と平坦性の関係の、Artin基礎に限った場合に当たる。ここでは一般の局所平坦性判定をもう一度証明する代わりに、$\mathfrak m$ の冪が全 $N$ に対して同じ有限段で零になることを使った。Noether性などを外した一般化や、Artinでない基礎での結論を、この有限フィルトレーションの証明だけから主張してはいけない。

閉ファイバーだけでは分からないこともある。$R=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ と
$$ S=\bigl(R[x]/(\varepsilon x)\bigr)_{(\varepsilon,x)} $$
を取ると、閉ファイバーは $k[x]_{(x)}$ で $\bar x$ は正則だが、$S$ では $\varepsilon x=0$ である。$\varepsilon\ne0$ は $x=0$ への写像 $S\to R$ から分かる。この $S$ は $R$ 平坦でない。実際、単射 $(\varepsilon)\hookrightarrow R$ を $S$ とテンソルすると、$(\varepsilon)\otimes_R S\cong S/\varepsilon S$ の非零元 $\bar x$ が、$S$ への乗法写像で零になる。これが平坦性の仮定を外した反例である。

基本例と条件の区別

体 $k$ に対して多項式環 $k[x_1,\ldots,x_r]$ の座標列は正則である。各段の商は残りの変数の多項式環で、次の変数の掛算は単射。最後の商は非零の $k$ である。この例は任意の有限変数数で成り立ち、空列では $k$ 自身が残る。
同じ多項式環 $k[x,y]$ で $(x,xy)$ は正則でない。最初の $x$ は非零因子だが、商 $k[y]$ では $xy$ は零なので非零の商に単射に作用しない。二つの元はもとの整域内ではともに非零因子である。従って個別に非零因子であることは、正則列の十分条件ではない。
体 $k$ 上の二重数環 $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ では、非零元 $\varepsilon$ の一元列も正則でない。$\varepsilon$ は自身を零化する。非零という条件と非零因子という条件を区別する必要がある。
局所環の単元を列に入れると、掛算はその段で単射でも商が零になる。例えば体上の一元列 $(1)$ はKoszulホモロジーがすべて消えるが、本記事の正則列ではない。局所の逆向きで元が極大イデアル内という条件は、この単元による見かけの消滅を排除する。

各条件を使う位置

最後の商の非零性は、単に生成イデアルが環の真のイデアルであることと一般には同じではない。加群には零化イデアルがあり、真のイデアルでもその加群全体を生成する場合がある。局所有限加群ではNakayamaがこの違いを制御するが、一般の加群では商自身を計算する必要がある。
定義、初期部分と商、局所化による単射性の保存にはNoether条件は不要である。Koszulの正則列から消滅への向きも、任意の加群の各段での単射性から証明できる。逆向きでは前のホモロジーの有限性とNakayamaを使うため、Noether局所と有限生成を課した。置換可能性はこの逆向きを通るので、同じ条件を伴う。
正則列の長さと次元や深さとの関係はさらに進んだ主題である。列の構成と順序を扱う基本段階では、各商での単射と最後の非零商を別々に確認するとよい。特に局所化後に商が消える点を取り除くことと、列を最初から単元を含む規約で定義することは同じではない。

関連項目

• 前提: 加群、剰余環、局所化
• 関連: Koszul複体、完全交叉局所環
• 関連: Noether環、局所環
• 関連: 次数付き環、Hilbert関数
• 応用: 平坦加群、局所平坦性判定