次元の和定理

要点：$\operatorname{ind}\operatorname{Fr}U\le n-1$ となる開集合の全体は定義により開基なので、可算な開基を使ってそこから可算個を選ぶ。

点 $x$ と $x$ の近傍 $V$ をとり、$x\in V_0\subset V$ となる開集合 $V_0$ をとる。$\{x\}$ と $X\setminus V_0$ は互いに素な閉集合である。次元論の一致定理 の定理「0 次元の部分空間を避ける分割」により、互いに素な開集合 $U,W$ で、$x\in U$、$X\setminus V_0\subset W$、$L:=X\setminus(U\cup W)$ が $Z$ と交わらないものがある。$X\setminus W$ は $U$ を含む閉集合なので $\overline{U}\subset X\setminus W$ であり、$\operatorname{Fr}U=\overline{U}\setminus U\subset L\subset X\setminus Z\subset Y$ である。また $U\subset X\setminus W\subset V_0\subset V$ である。部分空間定理により $\operatorname{ind}\operatorname{Fr}U\le\operatorname{ind}Y\le n-1$ なので、$\operatorname{ind}X\le n$ である。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=-1$ ならすべての $F_i$ が空で $X=\emptyset$ である。$n=0$ は 帰納次元 の系「可分距離空間の 0 次元の和」である。$n\ge1$ とし、$n-1$ ではすべての可分距離空間について定理が成り立つとする。
各 $F_i$ は可分距離空間なので、lem-sumthm-base により、$F_i$ の可算な開基 $\mathcal{B}_i$ で、$U\in\mathcal{B}_i$ の $F_i$ における境界 $\operatorname{Fr}_{F_i}U$ がすべて $\operatorname{ind}\operatorname{Fr}_{F_i}U\le n-1$ を満たすものがある。
段 1（境界を集める）．
$$ Y:=\bigcup_{i\ge1}\ \bigcup_{U\in\mathcal{B}_i}\operatorname{Fr}_{F_i}U $$
とおく。$\operatorname{Fr}_{F_i}U$ は $F_i$ の閉集合で、$F_i$ は $X$ の閉集合なので、$\operatorname{Fr}_{F_i}U$ は $X$ の閉集合であり、部分空間 $Y$ の閉集合でもある。$Y$ はそのような集合の可算個の和なので、帰納法の仮定により $\operatorname{ind}Y\le n-1$ である。
段 2（残りは 0 次元）． $Z:=X\setminus Y$、$Z_i:=F_i\cap Z$ とおく。$U\in\mathcal{B}_i$ について、$U\cap Z_i$ は $Z_i$ の開集合で、$Z_i$ における閉包は
$$ \operatorname{cl}_{Z_i}(U\cap Z_i)\subset\operatorname{cl}_{F_i}U\cap Z_i=(U\cup\operatorname{Fr}_{F_i}U)\cap Z_i=U\cap Z_i $$
を満たす（$\operatorname{Fr}_{F_i}U\subset Y$ は $Z_i$ と交わらない）。よって $\{U\cap Z_i\mid U\in\mathcal{B}_i\}$ は開かつ閉な集合からなる $Z_i$ の開基であり、帰納次元 の命題「0 次元の言い換え」の 1 により $\operatorname{ind}Z_i\le0$ である。$Z_i$ は $Z$ の閉集合で $Z=\bigcup_iZ_i$ なので、$n=0$ の場合により $\operatorname{ind}Z\le0$ である。
段 3． $X=Y\cup Z$ に lem-sumthm-union を使えば $\operatorname{ind}X\le n$ である。$\square$

1：$A_i=\bigcup_jF_{ij}$（$F_{ij}$ は $X$ の閉集合）と書くと、部分空間定理により $\operatorname{ind}F_{ij}\le\operatorname{ind}A_i\le n$ であり、$X=\bigcup_{i,j}F_{ij}$ は閉集合の可算個の和なので、和定理により $\operatorname{ind}X\le n$ である。
2：距離空間の開集合 $O$ は $\{x\mid d(x,X\setminus O)\ge1/k\}$（$k\ge1$）という閉集合の可算個の和なので、Fσ 集合である（$O=X$ なら $X$ 自身が閉集合）。$X\setminus A$ は開集合で $B$ に含まれるので $\operatorname{ind}(X\setminus A)\le n$ であり、$X=A\cup(X\setminus A)$ に 1 を使えばよい。$\square$

1 から 2：lem-sumthm-base の可算な開基 $\mathcal{B}$ をとり、$Y:=\bigcup_{U\in\mathcal{B}}\operatorname{Fr}U$、$Z:=X\setminus Y$ とおく。各 $\operatorname{Fr}U$ は $X$ の閉集合で $\operatorname{ind}\operatorname{Fr}U\le n-1$ なので、和定理により $\operatorname{ind}Y\le n-1$ である（$n=0$ ならすべての境界が空で $Y=\emptyset$）。$U\in\mathcal{B}$ について $\operatorname{cl}_Z(U\cap Z)\subset\overline{U}\cap Z=(U\cup\operatorname{Fr}U)\cap Z=U\cap Z$ なので、$\{U\cap Z\}$ は開かつ閉な集合からなる $Z$ の開基であり、$\operatorname{ind}Z\le0$ である。
2 から 1：lem-sumthm-union である。
1 と 3 の同値は $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ では 3 は「$X=Z_1$、$\operatorname{ind}Z_1\le0$」なので 1 と同じである。$n\ge1$ とし、$n-1$ では同値とする。1 を仮定すると 2 の $Y,Z$ があり、$\operatorname{ind}Y\le n-1$ なので帰納法の仮定により $Y=Z_1\cup\dots\cup Z_n$（$\operatorname{ind}Z_j\le0$）と書け、$Z_{n+1}:=Z$ とおけば 3 になる。逆に 3 を仮定すると、$Y:=Z_1\cup\dots\cup Z_n$ は帰納法の仮定により $\operatorname{ind}Y\le n-1$ を満たし、$Z:=Z_{n+1}$ とおけば 2 になるので 1 が従う。$\square$

$A\cup B$ は可分な距離空間である。どちらかが $\infty$ なら示すことはない。$A=\emptyset$ なら $\operatorname{ind}(A\cup B)=\operatorname{ind}B=\operatorname{ind}A+\operatorname{ind}B+1$ である。$B=\emptyset$ も同じである。$\operatorname{ind}A=a\ge0$、$\operatorname{ind}B=b\ge0$ とすると、分解定理の 1 から 3 により $A=Z_1\cup\dots\cup Z_{a+1}$、$B=Z'_1\cup\dots\cup Z'_{b+1}$（どれも $\operatorname{ind}\le0$）と書ける。$A\cup B$ は 0 次元の部分空間 $a+b+2$ 個の和なので、3 から 1 により $\operatorname{ind}(A\cup B)\le a+b+1$ である。$\square$