多重ゼータスター値

スター調和積 $\bar{\ast}$ とスターシャッフル積 $\bar{\mathbin{\text{ш}}}$ はいずれも可換かつ結合的で、$\mathfrak{H}^1$、$\mathfrak{H}^0$ はこれらの積で閉じている。さらに、許容インデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し
$$\zeta^{\star}(\boldsymbol{k}\,\bar{\ast}\,\boldsymbol{l})=\zeta^{\star}(\boldsymbol{k})\zeta^{\star}(\boldsymbol{l}),\qquad\zeta^{\star}(\boldsymbol{k}\,\bar{\mathbin{\text{ш}}}\,\boldsymbol{l})=\zeta^{\star}(\boldsymbol{k})\zeta^{\star}(\boldsymbol{l})$$
が成り立つ。$\mathfrak{H}^1$ 上の $\mathbb{Q}$ 線形写像 $S$ を $S(z_{\boldsymbol{k}})=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}z_{\boldsymbol{l}}$ で定めると、$Z^{\star}=Z\circ S$ であり（prop-multiple-zeta-star-value-contraction）、$S(w\,\bar{\ast}\,w')=S(w)\ast S(w')$、$S(w\,\bar{\mathbin{\text{ш}}}\,w')=S(w)\mathbin{\text{ш}}S(w')$（$w,w'\in\mathfrak{H}^1$）が成り立つ。

$\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し、$\bar{\bullet}$ を対応するスター積とすると、$\mathbb{Q}$ 代数の同型 $\mathfrak{H}^1_{\bar{\bullet}}\cong\mathfrak{H}^0_{\bar{\bullet}}[y]$ が成り立つ。したがって任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ に対し許容インデックスの線形結合 $\boldsymbol{l}_0,\ldots,\boldsymbol{l}_n$ が存在して $z_{\boldsymbol{k}}=\sum_{i=0}^{n}z_{\boldsymbol{l}_i}\,\bar{\bullet}\,y^{\bar{\bullet}i}$ と書け、
$$\zeta^{\star,\bullet}(\boldsymbol{k};T):=\sum_{i=0}^{n}\zeta^{\star}(\boldsymbol{l}_i)T^{i}\in\mathbb{R}[T]$$
（スター正規化多項式）が定まる。このとき次が成り立つ。

1. 任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\zeta^{\star,\bullet}(\boldsymbol{k};T)=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{l};T)$。ここで $\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{l};T)$ は多重ゼータ値の正規化多項式である。
2. （スター正規化複シャッフル関係式）任意のインデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し $\zeta^{\star,\bullet}(\boldsymbol{k}\,\bar{\ast}\,\boldsymbol{l};T)=\zeta^{\star,\bullet}(\boldsymbol{k}\,\bar{\mathbin{\text{ш}}}\,\boldsymbol{l};T)$。
3. （Kaneko–Yamamoto 型正規化）多重ゼータスター値は Yamamoto 積分（多重ゼータ値の記事）による積分表示を持ち（Kaneko–Yamamoto KY18 §4）、その積分表示を語のシャッフル正規化 $Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T$ に沿って正規化したものを $\zeta^{\star,\mathrm{KY}}(\boldsymbol{k};T)$ と書くと、$\zeta^{\star,\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k};T)-\zeta^{\star,\mathrm{KY}}(\boldsymbol{k};T)\in\zeta(2)\mathcal{Z}[T]$ であり、$\mathbb{R}$ 線形写像 $\rho^{\star}\colon\mathbb{R}[T]\to\mathbb{R}[T]$ を $\exp(TX)\Gamma_0(X)^{-1}=\sum_{n\ge 0}\rho^{\star}(T^n)X^n/n!$（$\Gamma_0$ は多重ゼータ値の記事の正規化定理の冪級数）で定めると $\zeta^{\star,\mathrm{KY}}(\boldsymbol{k};T)=\rho^{\star}(\zeta^{\star,\ast}(\boldsymbol{k};T))$ が成り立つ。
4. （スター対称和公式）インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star,\mathrm{KY}}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)};0)=\sum_{B_1,\ldots,B_l}\prod_{i=1}^{l}\chi(\boldsymbol{k};B_i)(|B_i|-1)!\,\zeta^{\star,\mathrm{KY}}\bigl(\sum_{j\in B_i}k_j;0\bigr)$。和は $\{1,\ldots,r\}$ の集合の分割を渡り、$\chi$ は多重ゼータ値の記事の Machide の対称和公式と同じ記号である。右辺は深さ $1$ の値なので正規化の方法によらない。

正整数 $k>r$ に対し
$$\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta^{\star}(\boldsymbol{k})=\binom{k-1}{r-1}\zeta(k)$$
が成り立つ。

正整数 $k,l$ に対し
$$(-1)^{l}\zeta^{\star}(\{1\}^{k},l+1)-(-1)^{k}\zeta^{\star}(\{1\}^{l},k+1)\in\mathbb{Q}[\zeta(2),\zeta(3),\ldots]$$
が成り立つ。より一般に、$X^{\star}_0(k,r,s):=\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r,s)}\zeta^{\star}(\boldsymbol{k})$ とおくと、正整数 $m,n,s$ に対し $(-1)^{m}X^{\star}_0(m+n+1,n+1,s)-(-1)^{n}X^{\star}_0(m+n+1,m+1,s)\in\mathbb{Q}[\zeta(2),\zeta(3),\ldots]$ である。

いずれかの成分が $2$ 以上である重さ $k$ のインデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し
$$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta^{\star}(j+1,k_{i+1},\ldots,k_r,k_1,\ldots,k_{i-1},k_i-j)=k\,\zeta(k+1)$$
が成り立つ。

許容インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し次が成り立つ。

1. （スター Ohno 型関係式）非負整数 $h$ に対し、$b_1(\boldsymbol{k};\boldsymbol{e})=\prod_{i=1}^{r}\binom{k_i+e_i+\delta_{i,1}-2}{e_i}$ とおくと
   $$\sum_{\substack{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{r}\\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h}}b_1(\boldsymbol{k};\boldsymbol{e})\,\zeta^{\star}(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})=\sum_{\substack{\boldsymbol{f}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{k}^{\dagger})}\\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=h}}\zeta^{\star}((\boldsymbol{k}^{\dagger}\oplus\boldsymbol{f})^{\dagger})。$$
2. （スター導分関係式）正整数 $h$ に対し、$\mathbb{Q}$ 線形写像 $\partial^{\star}_h\colon\mathfrak{H}^1\to\mathfrak{H}^1$ を $\partial^{\star}_h(x)=y^{h}x$、$\partial^{\star}_h(y)=-y^{h}x$、$\partial^{\star}_h(ww')=\partial^{\star}_h(w)w'+w\,(\widetilde{S}^{-1}\circ\partial_h\circ\widetilde{S})(w')$ で定める。ここで $\partial_h$ は多重ゼータ値の記事の導分、$\widetilde{S}$ は $x\mapsto x$、$y\mapsto x+y$ で定まる $\mathfrak{H}$ の自己同型である。このとき任意の $w\in\mathfrak{H}^0$ に対し $Z^{\star}(\partial^{\star}_h(w))=0$。
3. （スター Hoffman 関係式）$\sum_{i=1}^{r}(k_i-1+\delta_{r,i})\,\zeta^{\star}(\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i+1,\boldsymbol{k}^{[i]})=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta^{\star}(\boldsymbol{k}_{[i-1]},j+1,k_i-j,\boldsymbol{k}^{[i]})$。

正整数 $r$ に対し
$$\zeta^{\star}(\{2\}^{r})=\Bigl(1-\frac{1}{2^{2r-1}}\Bigr)\frac{(-1)^{r+1}(2\pi)^{2r}B_{2r}}{(2r)!}=2\Bigl(1-\frac{1}{2^{2r-1}}\Bigr)\zeta(2r)$$
が成り立つ。ここで $B_{2r}$ はBernoulli数である。

正整数 $k,r$ と非負整数 $k_1,k_2$ に対し次が成り立つ。

1. $\zeta^{\star}(\{2k\}^{r})=(-1)^{rk}\sum\Bigl(\prod_{j=1}^{k}\dfrac{(2-4^{n_j})B_{2n_j}\exp(2\pi\sqrt{-1}\,jn_j/k)}{(2n_j)!}\Bigr)\pi^{2rk}$（和は $n_1+\cdots+n_k=rk$ を満たす非負整数を渡る）。
2. $\zeta^{\star}(\{1,3\}^{r})=\sum_{i=0}^{r}\zeta(\{1,3\}^{i})\,\zeta^{\star}(\{4\}^{r-i})$、$\zeta^{\star}(3,\{1,3\}^{r})=\sum_{i=0}^{r}\bigl(-\frac14\bigr)^{i}\zeta(4i+3)\,\zeta^{\star}(\{1,3\}^{r-i})$、$\zeta^{\star}(2,\{1,3\}^{r})=\dfrac{1}{2r+1}\sum_{i=0}^{r}\zeta^{\star}(\{1,3\}^{i})\,\zeta^{\star}(\{2\}^{2r-2i+1})$。
3. 低重さの検算として $\zeta^{\star}(2,3)=3\zeta(2)\zeta(3)-\dfrac92\zeta(5)$ である。Zagier の一般公式は、昇順インデックス規約への変換を含む全係数の再校合が終わるまで収録を保留する。
4. （倍数公式型和公式）整数 $a\ge 2$、$k\ge r$ に対し $\sum_{\boldsymbol{k}\in I(k,r)}\zeta^{\star}(ak_1,\ldots,ak_r)=\sum_{i=0}^{k-r}(-1)^{i}\binom{k-i}{r}\zeta(\{a\}^{i})\,\zeta^{\star}(\{a\}^{k-i})$。
5. （Bowman–Bradley 型定理）$(k_1,k_2)\ne(0,0)$ に対し $\sum_{n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}\zeta^{\star}(\{2\}^{n_1},1,\{2\}^{n_2},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k_1}},3,\{2\}^{n_{2k_1+1}})$ は $\pi^{4k_1+2k_2}$ の有理数倍であり、その係数は Bernoulli 数と二項係数の明示的な和で与えられる。
6. （$2$-$1$ 公式）許容インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $\zeta^{\star}(1,\{2\}^{k_1-1},\ldots,1,\{2\}^{k_r-1})=2^{r}\zeta^{1/2}(2k_1-1,\ldots,2k_r-1)$。右辺は補間多重ゼータ値 $\zeta^{t}$ の $t=1/2$ での値である。
7. （冪級数等式）$\alpha+\beta=x+y$、$\alpha\beta=xy-z^2$ で $\alpha,\beta$ を定めると、形式的冪級数の等式
   $$\sum_{k,r,s\ge 0}\Bigl(\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r,s)}\zeta^{\star}(\boldsymbol{k})\Bigr)x^{k-r-s}y^{r-s}z^{2s-2}=\frac{1}{(1-x)(1-y)-z^2}\,{}_3F_2\Bigl(\begin{matrix}1-x,\ 1,\ 1\\ 2-\alpha,\ 2-\beta\end{matrix};1\Bigr)$$
   が成り立つ。ここで ${}_3F_2$ は超幾何級数 ${}_3F_2\bigl(\begin{smallmatrix}a,b,c\\ d,e\end{smallmatrix};x\bigr)=\sum_{n\ge 0}\prod_{i=0}^{n-1}\dfrac{(a+i)(b+i)(c+i)}{(d+i)(e+i)(1+i)}x^{n}$ である。