Gelfandの三つ組

1：$j$ は線形写像の合成なので線形である。$|\langle jf,v\rangle|=|(f,iv)|\le|f|\,|iv|\le C|f|\,\|v\|_V$ である。
2：$jf=0$ とすると、すべての $v\in V$ について $(f,iv)=0$ であり、$f$ は $i(V)$ と直交する。$i(V)$ は稠密なので、Hilbert空間 の系「稠密な部分空間の判定」により $f=0$ である。
3：$\langle(j\circ i)u,v\rangle=(iu,iv)$ は定義から従い、内積の対称性から $u,v$ について対称である。$v\ne0$ なら $i$ の単射性から $iv\ne0$ なので $\langle(j\circ i)v,v\rangle=|iv|^2>0$ であり、とくに $(j\circ i)v\ne0$ である。
4：$j(H)$ は $V^*$ の線形部分空間である。稠密でないとすると、Hahn–Banachの定理 の系「稠密性の判定」を Banach 空間 $V^*$ に使って、$j(H)$ の上で $0$ になる $0$ でない $\Lambda\in V^{**}$ が得られる。$V$ は反射的なので、$\Lambda=J_Vv$ となる $v\in V$ がある（$J_V$ は評価写像。反射的Banach空間 の定義「反射的Banach空間」）。$\Lambda\ne0$ なので $v\ne0$ である。すべての $f\in H$ について
$$ 0=\Lambda(jf)=\langle jf,v\rangle=(f,iv) $$
であり、$f=iv$ とおくと $|iv|^2=0$、$i$ の単射性から $v=0$ となって矛盾する。
5：$g=jf$ なら $|\langle g,v\rangle|=|(f,iv)|\le|f|\,|iv|$ なので、$a=|f|$ ととれる。逆に $a$ が存在するとする。$i$ は単射なので、$i(V)$ 上の線形汎関数 $\psi(iv):=\langle g,v\rangle$ が定まり、$|\psi(w)|\le a|w|$（$w\in i(V)$）である。$\psi$ は $i(V)$ 上で一様連続で、$i(V)$ は $H$ で稠密なので、$\psi$ は $H$ 上の線形汎関数 $\Psi$ に一意に延び、$|\Psi(w)|\le a|w|$ である（$w_n\to w$、$w_n\in i(V)$ について $\Psi(w):=\lim\psi(w_n)$）。Rieszの表現定理 により $\Psi=(f,\cdot)$、$|f|=\|\Psi\|\le a$ となる $f\in H$ がある。すると $\langle jf,v\rangle=(f,iv)=\Psi(iv)=\langle g,v\rangle$ なので $jf=g$ である。$f$ の一意性は 2 から従う。最後の主張は、$a=|f|$ が条件をみたすことと、条件をみたすどの $a$ についても $|f|=\|\Psi\|\le a$ であることによる。$\square$

$j\circ i=R_V$ なら、すべての $u,v\in V$ について $((u,v))=\langle R_Vu,v\rangle=\langle(j\circ i)u,v\rangle=(iu,iv)$ であり、$i$ は内積を保つ。とくに $|iv|=\|v\|_V$ なので、$i(V)$ は完備な空間の等長像として完備であり、$H$ の閉部分空間である。$i(V)$ は稠密なので $i(V)=H$ であり、$i$ は全単射である。$\square$

段 1（$V^*$ での連続な代表）：$G(t):=\int_0^tu'(r)\,dr$（$V^*$ での Bochner 積分）は $[0,T]$ から $V^*$ への連続写像で、$\langle G(t),v\rangle=\int_0^t\langle u'(r),v\rangle dr$ である。$h:=u-G$ とおき、$v\in V$ を固定する。Fubini の定理から $\int_0^T\langle G(t),v\rangle\eta'(t)dt=-\int_0^T\langle u'(r),v\rangle\eta(r)dr$ なので、$\int_0^T\langle h(t),v\rangle\eta'(t)dt=0$（$\eta\in C_c^\infty(0,T)$）である。$C_c^1(0,T)$ の関数は、軟化によって、台が $(0,T)$ の一つのコンパクト集合に入る $C_c^\infty(0,T)$ の関数で $C^1$ ノルムについて近似できるので、Bre11 Lemma 8.1（pp. 204–205）により、零集合 $N_v$ の外で $\langle h(t),v\rangle$ は定数 $c_v$ に等しい。
$h$ は強可測なので、零集合 $N_0$ と $V^*$ の可分な閉部分空間 $E$ があって、$t\notin N_0$ なら $h(t)\in E$ である（Bochner積分 の命題「強可測関数の基本性質」の 3）。$V$ の Riesz の写像 $R_V$ は等長な全単射なので、$(\varphi,\psi)_{V^*}:=\langle\varphi,R_V^{-1}\psi\rangle$ は $V^*$ のノルムを与える内積である。$E$ の可算な稠密部分集合 $\{e_k\}$ をとり、$v_k:=R_V^{-1}e_k$、$N:=N_0\cup\bigcup_kN_{v_k}$ とおく。$s,t\notin N$ なら、すべての $k$ で $(h(t)-h(s),e_k)_{V^*}=c_{v_k}-c_{v_k}=0$ であり、$h(t)-h(s)\in E$ を $e_k$ で近似すれば $\|h(t)-h(s)\|_{V^*}^2=0$ となる。よって $h$ は $N$ の外で一定の値 $c$ をとり、$U:=c+G$ は $u$ の代表で、$[0,T]$ から $V^*$ への連続写像である。
段 2（折り返しと軟化）：$-T< t< 0$ では $\bar u(t):=u(-t)$、$\bar g(t):=-u'(-t)$、$T< t< 2T$ では $\bar u(t):=u(2T-t)$、$\bar g(t):=-u'(2T-t)$ とし、$[0,T]$ では $\bar u=u$、$\bar g=u'$ とおく。$v\in V$ について、$\langle\bar u(\cdot),v\rangle$ の代表 $\varphi(t)$（$U$ を同じように折り返したものの値）は $[-T,0]$・$[0,T]$・$[T,2T]$ の各区間で絶対連続で微分は $\langle\bar g,v\rangle$ であり、$t=0,T$ で連続である。よって $\varphi$ は $[-T,2T]$ で絶対連続で、$\bar g$ は $(-T,2T)$ での $\bar u$ の弱い時間微分である。$0< \varepsilon< T$ と軟化子 $\rho_\varepsilon$（台は $[-\varepsilon,\varepsilon]$）について $u_\varepsilon(t):=\int\rho_\varepsilon(t-r)\bar u(r)dr$（$0\le t\le T$）とおくと、$u_\varepsilon\in C^1([0,T];V)$ で、$u_\varepsilon'(t)=\int\rho_\varepsilon'(t-r)\bar u(r)dr=\int\rho_\varepsilon(t-r)\bar g(r)dr$ である（2 つ目の等号は、台が $(-T,2T)$ に入る試験関数 $\rho_\varepsilon(t-\cdot)$ を弱い時間微分の定義に入れたもの）。可積分な単関数は $L^2$ で稠密なので（Bochner積分 の定理「ベクトル値 $L^p$ 空間の完備性」）、軟化子 の定理「軟化による近似」の証明は Bochner 空間でもそのまま通り、$\varepsilon\to0$ のとき $u_\varepsilon\to u$（$L^2(0,T;V)$）、$u_\varepsilon'\to u'$（$L^2(0,T;V^*)$）である。
段 3（滑らかな関数での評価と極限）：$z\in C^1([0,T];V)$ なら $\frac d{dt}|z(t)|^2=2(z'(t),z(t))=2\langle z'(t),z(t)\rangle$ である。$|z|^2$ は連続なので、$|z(s_0)|^2\le\frac1T\int_0^T|z|^2dt$ となる $s_0$ がある。$|z(t)|^2=|z(s_0)|^2+2\int_{s_0}^t\langle z',z\rangle dr$ に Cauchy–Schwarz の不等式を当てると
$$ \sup_t|z(t)|^2\le\frac1T\|z\|_{L^2(0,T;H)}^2+2\|z'\|_{L^2(0,T;V^*)}\|z\|_{L^2(0,T;V)} $$
である。$z=u_\varepsilon-u_\delta$ に当てると右辺は $\varepsilon,\delta\to0$ で $0$ に近づくので、$(u_\varepsilon)$ は $C([0,T];H)$ の Cauchy 列であり、極限 $\tilde u$ をもつ。$u_\varepsilon\to u$ は $L^2(0,T;H)$ でも成り立つので $\tilde u=u$ がほとんど至る所で成り立ち、$\tilde u$ が 1 の代表である。評価は $z=u_\varepsilon$ の不等式で $\varepsilon\to0$ とすれば得られ、$|v|\le C\|v\|_V$ から右辺は $(C^2/T+1)\|u\|_W^2$ 以下である。
2：$w$ にも同じ $\rho_\varepsilon$ で $w_\varepsilon$ を作る。滑らかな $u_\varepsilon,w_\varepsilon$ では積の微分から等式が成り立つ。左辺は $H$ での一様収束で、右辺は $|\int\langle a,b\rangle dr|\le\|a\|_{L^2(0,T;V^*)}\|b\|_{L^2(0,T;V)}$ と段 2 の収束で、それぞれ極限に移る。$w=u$ とすれば energy の等式で、右辺は可積分関数の不定積分なので、絶対連続性と微分の主張が従う。$\square$