Gelfandの三つ組

$H=\ell^2$（実数列）とし、
$$ V:=\Bigl\{u=(u_n)_{n\ge1}\ \Big|\ \sum_{n\ge1}n^2u_n^2<\infty\Bigr\},\qquad ((u,v)):=\sum_{n\ge1}n^2u_nv_n $$
とおく。$i$ は包含写像である。

1. $V$ は Hilbert 空間で、$|u|\le\|u\|_V$ であり、$V$ は $\ell^2$ で稠密である。
2. $\sum_nf_n^2/n^2<\infty$ をみたす数列 $f=(f_n)$ について $\langle f,v\rangle:=\sum_nf_nv_n$ とおくと、これで $V^*$ はそのような数列全体と同一視され、$\|f\|_{V^*}=(\sum_nf_n^2/n^2)^{1/2}$ である。この同一視の下で $j$ は包含写像 $\ell^2\subset V^*$ である。
3. $f=(1,1,1,\dots)$ は $V^*$ に属するが $\ell^2$ に属さない。よって $j$ は全射でない。
4. $R_Vu=(n^2u_n)_n$ であり、$j(iu)=(u_n)_n$ とは異なる。たとえば $u=e_2$（第 2 成分だけが $1$）では $R_Ve_2=4e_2$、$j(ie_2)=e_2$ である。
   $V\subset\ell^2\subset V^*$ は、「速く減衰する数列 $\subset$ 2 乗総和可能な数列 $\subset$ 増大を許す数列」という並びになっている。これは Bre11 Remark 3（p. 137）の例である。
   1–4 の確かめ

   1：$(Wu)_n:=nu_n$ とおくと、$W\colon V\to\ell^2$ は内積を保つ線形な全単射（逆は $a\mapsto(a_n/n)$）なので、$V$ は完備である。$n^2\ge1$ から $|u|\le\|u\|_V$ である。有限個を除いて $0$ である数列は $V$ に属し、$\ell^2$ で稠密である。

   2：$g\in V^*$ について $g\circ W^{-1}\in(\ell^2)^*$ なので、Rieszの表現定理 により $a\in\ell^2$ で $\langle g,v\rangle=\sum_na_n(nv_n)$ となるものがある。$f_n:=na_n$ とおけば $\sum f_n^2/n^2=\sum a_n^2<\infty$、$\langle g,v\rangle=\sum f_nv_n$ であり、$\|g\|_{V^*}=\|g\circ W^{-1}\|=|a|=(\sum f_n^2/n^2)^{1/2}$ である。逆にそのような $f$ について、Cauchy–Schwarz の不等式から $|\sum f_nv_n|=|\sum(f_n/n)(nv_n)|\le(\sum f_n^2/n^2)^{1/2}\|v\|_V$ なので、$v\mapsto\sum f_nv_n$ は $V^*$ に属する。$f\in\ell^2$ なら $\langle jf,v\rangle=(f,v)=\sum f_nv_n$ なので、$jf$ は数列 $f$ そのものに対応する。

   3：$\sum1/n^2<\infty$ なので $f\in V^*$ であり、$\sum1^2=\infty$ なので $f\notin\ell^2$ である。

   4：$\langle R_Vu,v\rangle=\sum n^2u_nv_n$ なので、2 の同一視で $R_Vu=(n^2u_n)$ である。

$2< p<\infty$、$\frac1p+\frac1{p'}=1$ とし、$H=L^2(0,1)$、$V=L^p(0,1)$、$i$ を包含写像とする。$(0,1)$ の測度は $1$ なので、Hölder の不等式から $|v|_{L^2}\le\|v\|_{L^p}$ である（Lp空間 の命題「有限測度空間での包含」）。$C_c^\infty(0,1)$ は $L^p(0,1)$ に含まれ、$L^2(0,1)$ で稠密なので（Bre11 Corollary 4.23、p. 109）、$i(V)$ は稠密である。$V$ は反射的である（反射的Banach空間 の例「$1< p<\infty$ の $L^p$ 空間」）。
$L^p(0,1)^*$ は、$g\in L^{p'}(0,1)$ を $v\mapsto\int_0^1gv\,dx$ に対応させることで $L^{p'}(0,1)$ と同一視される（Bre11 Theorem 4.11、p. 97）。この同一視の下で $j$ は $f\in L^2$ を同じ関数 $f\in L^{p'}$ に送る包含写像であり（$p'<2$ なので $L^2(0,1)\subset L^{p'}(0,1)$）、三つ組は
$$ L^p(0,1)\subset L^2(0,1)\subset L^{p'}(0,1) $$
となる。thm-gt-main の 4 は、$L^2(0,1)$ が $L^{p'}(0,1)$ で稠密であることを言っている。

$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を開集合とし、$V=H^1_0(\Omega)$（Sobolev空間の基本事項 の定義「零境界値Sobolev空間」で $k=1$、$p=2$ としたもの）に $H^1$ の内積 $((u,v))=\int_\Omega(\nabla u\cdot\nabla v+uv)\,dx$ を入れ、$H=L^2(\Omega)$、$i$ を包含写像とする。$|u|_{L^2}\le\|u\|_{H^1}$ であり、$C_c^\infty(\Omega)\subset H^1_0(\Omega)$ は $L^2(\Omega)$ で稠密である（Bre11 Corollary 4.23、p. 109）。$V$ は Hilbert 空間なので反射的である（反射的Banach空間 の命題「Hilbert 空間は反射的」）。$H^1_0(\Omega)$ の双対空間を $H^{-1}(\Omega)$ と書くと、thm-gt-main から
$$ H^1_0(\Omega)\subset L^2(\Omega)\subset H^{-1}(\Omega) $$
は連続な単射で、それぞれの像は稠密である（Bre11 §9.4、p. 291）。
$f\in H^{-1}(\Omega)$ について、
$$ u\in H^1_0(\Omega),\qquad\int_\Omega(\nabla u\cdot\nabla v+uv)\,dx=\langle f,v\rangle\quad(v\in H^1_0(\Omega)) $$
をみたす $u$ は、Rieszの表現定理 を $V$ に使えば $u=R_V^{-1}f$ としてただ一つ存在する。これは方程式 $-\Delta u+u=f$ の弱解である。$f\in L^2(\Omega)$ のときは、右辺は $\langle jf,v\rangle=\int_\Omega fv\,dx$ である。ここで $R_V$ は $u$ を $-\Delta u+u$ に送る写像にあたり、$j\circ i$ は $u$ を $u$ 自身に送る。$V$ を $V^*$ と同一視しない理由（prop-gt-incompatible）が、この例ではっきり見える。
$H^{-1}(\Omega)$ の元は、$f_0,f_1,\dots,f_N\in L^2(\Omega)$ を使って $\langle f,v\rangle=\int_\Omega f_0v\,dx+\sum_{i=1}^N\int_\Omega f_i\,\partial_iv\,dx$ と表せる（負のSobolev空間 の定理「$W^{-1,p'}$ の元の表現」で $p=2$ としたもの）。