正則空間

右辺を $\widetilde F$ とおく。$F\subset V\subset\overline{V}$ なので、いつでも $F\subset\widetilde F$ である。
(i) ⇒ (ii)：$x\notin F$ とする。正則性により、開集合 $U\ni x$、$V\supset F$ で $U\cap V=\emptyset$ となるものがある。$V\subset X\setminus U$ で $X\setminus U$ は閉集合だから $\overline{V}\subset X\setminus U$ であり、$x\notin\overline{V}$ である。よって $x\notin\widetilde F$ で、$\widetilde F\subset F$ である。
(ii) ⇒ (i)：閉集合 $F$ と $x\notin F$ をとる。$x\notin\widetilde F$ なので、$F\subset V$ となる開集合 $V$ で $x\notin\overline{V}$ となるものがある。$U:=X\setminus\overline{V}$ は $x$ を含む開集合で、$U\cap V=\emptyset$ である。$\square$

1 点集合は閉集合なので $T_1$ である（$y\ne x$ なら $x$ を中心とする半径 $d(x,y)$ の開球は $y$ を含まない）。閉集合 $F\ne\emptyset$ と $x\notin F$ をとり、$d(y,F):=\inf_{z\in F}d(y,z)$ とおく。
$r:=d(x,F)>0$ である。実際 $r=0$ なら、$x$ を中心とするどの開球も $F$ と交わり、$x$ は $F$ の閉包に属するので $x\in F$ となって矛盾する。
$z\in F$ について $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ なので、$z$ について下限をとると $d(x,F)\le d(x,y)+d(y,F)$ である。同様に $d(y,F)\le d(y,y')+d(y',F)$ なので $\lvert d(y,F)-d(y',F)\rvert\le d(y,y')$ であり、$y\mapsto d(y,F)$ は連続である。
$U:=\{y\mid d(x,y)< r/2\}$、$V:=\{y\mid d(y,F)< r/2\}$ とおく。$U$ は開球、$V$ は連続関数による開区間の逆像なので開集合で、$x\in U$、$F\subset V$ である。$y\in U\cap V$ があれば $r=d(x,F)\le d(x,y)+d(y,F)< r/2+r/2=r$ となって矛盾する。よって $U\cap V=\emptyset$ である。$\square$

$Y$ の閉集合 $F'$ と点 $y\in Y\setminus F'$ をとる。$Y$ の閉集合は $X$ の閉集合と $Y$ の共通部分なので、$F'=F\cap Y$ となる $X$ の閉集合 $F$ がとれる。ここで $F$ として $F'$ の $X$ での閉包 $\overline{F'}$ をとれば、$\overline{F'}\cap Y=F'$ である（$F'=F\cap Y$ と $F'\subset\overline{F'}\subset F$ から $F'\subset\overline{F'}\cap Y\subset F\cap Y=F'$）。$y\in Y$ で $y\notin F'$ なので $y\notin\overline{F'}$ である。
$X$ の正則性を点 $y$ と閉集合 $\overline{F'}$ に当てはめて、$X$ の開集合 $U\ni y$、$V\supset\overline{F'}$ で $U\cap V=\emptyset$ となるものをとる。$U\cap Y$、$V\cap Y$ は $Y$ の開集合で、$y\in U\cap Y$、$F'\subset V\cap Y$、$(U\cap Y)\cap(V\cap Y)=\emptyset$ である。
$T_1$ 性については、$y\in Y$ に対し $\{y\}=\{y\}\cap Y$ は $X$ の閉集合と $Y$ の共通部分なので $Y$ の閉集合である。$\square$

閉近傍による言い換え（分離公理 の命題「正則性と閉近傍」）を使う。$X$ の開集合 $O$ と点 $x=(x_i)_i\in O$ をとる。直積位相の開基の元で $x$ を含み $O$ に含まれるもの
$$ B=\prod_{i\in I}B_i,\qquad B_i\text{ は }X_i\text{ の開集合で、有限個の }i\in J\text{ を除いて }B_i=X_i $$
がある（直積位相 の命題「直積位相の開基」）。各 $i\in J$ について、$X_i$ の正則性から開集合 $W_i$ で $x_i\in W_i\subset\overline{W_i}\subset B_i$ となるものをとる（選ぶのは有限個なので選択公理は要らない）。$i\notin J$ では $W_i:=X_i$ とする。
$W:=\prod_iW_i$ は $x$ を含む直積位相の開集合である。$C:=\prod_i\overline{W_i}=\bigcap_{i\in J}p_i^{-1}(\overline{W_i})$（$p_i$ は射影）は、連続写像による閉集合の逆像の有限個の共通部分なので閉集合であり、$W\subset C$ である。よって
$$ \overline{W}\subset C=\prod_i\overline{W_i}\subset\prod_iB_i=B\subset O $$
となり、$x\in W\subset\overline{W}\subset O$ が得られた。したがって $X$ は正則空間である。
各 $X_i$ が $T_1$ なら、1 点 $\{x\}=\bigcap_ip_i^{-1}(\{x_i\})$ は閉集合の共通部分で閉集合なので、$X$ は $T_1$ である。$\square$

$X$ を局所コンパクト空間とし、閉集合 $F$ と $x\notin F$ をとる。$x$ のコンパクト近傍 $K$（$x\in\operatorname{Int}K$ となるコンパクト集合）をとる。
$K\cap F$ はコンパクト集合 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトであり（コンパクト空間 の命題「保存と閉性」の 1）、$x\notin K\cap F$ である。Hausdorff 空間では点とそれを含まないコンパクト集合を交わらない開集合で分けられる（正規空間 の補題「点とコンパクト集合の分離」）ので、開集合 $U\ni x$、$V\supset K\cap F$ で $U\cap V=\emptyset$ となるものがある。
$K$ は Hausdorff 空間のコンパクト部分集合なので閉集合である（コンパクト空間 の命題「保存と閉性」の 3）。そこで
$$ U':=U\cap\operatorname{Int}K,\qquad V':=V\cup(X\setminus K) $$
とおくと、どちらも開集合で $x\in U'$ である。$F$ の点は $K$ に属せば $V$ に、属さなければ $X\setminus K$ に入るので $F\subset V'$ である。$U'\cap V\subset U\cap V=\emptyset$、$U'\cap(X\setminus K)\subset K\cap(X\setminus K)=\emptyset$ なので $U'\cap V'=\emptyset$ である。Hausdorff 空間は $T_1$ なので、$X$ は $T_3$ 空間である。コンパクト Hausdorff 空間は $K=X$ として局所コンパクトである。$\square$