Monsky–Washnitzerコホモロジー
概要
Monsky–Washnitzerコホモロジー（Monsky–Washnitzer cohomology）とは、標数 $p$ の完全体 $k$ 上の滑らかな affine スキーム $X_0=\operatorname{Spec}A_0$ に対し、$A_0$ を Witt ベクトル環 $W$ 上の過収束級数環の商 $A^\dagger$ に持ち上げ、その de Rham 複体のコホモロジーに $K=W[1/p]$ をテンソルした $K$ 線型空間 $H^i_{MW}(X_0/K)$ である。持上げは同型を除いて一意で、コホモロジーはその選び方に依らない。$p$ 進完備な持上げでは affine 直線の $H^1$ が $K$ 上無限次元になるが、過収束級数では $0$ になる。有限次元で rigid コホモロジーに一致し、Monsky の不動点定理からゼータ関数の有理性が従う。
前提知識: Wittベクトル, de Rhamコホモロジー, Kähler微分, 過収束級数, 形式スキーム, 滑らかな射, 完備化
定義
Monsky–Washnitzer コホモロジーは、標数 $p>0$ の完全体 $k$ 上の滑らかな affine スキーム（アフィンスキーム）$X_0=\operatorname{Spec}A_0$ に対し、その座標環 $A_0$ を Wittベクトル環 $W=W(k)$ 上の「過収束な」持上げ $A^\dagger$ に持ち上げ、$A^\dagger$ の de Rham 複体のコホモロジーに $K=W[1/p]$ をテンソル（テンソル積）して得られる $K$ 線型空間（ベクトル空間）$H^i_{MW}(X_0/K)$ である。受け皿を多項式環の $p$ 進完備化でなく過収束級数の環にとることが要点である。本節では、$k$ を標数 $p$ の完全体、$W=W(k)$、$K$ を $W$ の分数体、$v$ を $v(p)=1$ と正規化した $W$ の付値とし、$W$ 上の形式的冪級数 $f=\sum_\alpha a_\alpha t^\alpha$（$\alpha\in\mathbb{N}^n$ は多重指数、$|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_n$）を扱う。
$W$ 係数の形式的冪級数 $f=\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n}a_\alpha t^\alpha\in W[\![t_1,\dots,t_n]\!]$ が過収束（overconvergent）であるとは、実数 $\rho>0$ と整数 $N$ があって、$|\alpha|\ge N$ のとき $v(a_\alpha)\ge\rho|\alpha|$ となることをいう。過収束級数全体は $W[\![t_1,\dots,t_n]\!]$ の部分環をなし（和は $\rho$ の小さい方をとり、積の係数 $\sum_{\beta+\gamma=\alpha}b_\beta c_\gamma$ の付値は $\rho|\alpha|$ から定数を引いたもの以上になる）、これを
$$W\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger$$
と書く。$W$ 上有限生成な代数 $A=W[t_1,\dots,t_n]/I$ に対し、
$$A^\dagger:=W\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger/IW\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger$$
を $A$ の弱完備化（weak completion）という。
$W[t]\subset W\{t\}^\dagger\subset W\{t\}$（$W\{t\}$ は $p$ 進完備化、すなわち係数が $0$ に収束する級数の環）であり、$W\{t\}^\dagger/pW\{t\}^\dagger=k[t]$ である。$W\{t\}^\dagger$ は $p$ 進完備ではない（$\sum_{m\ge0}p^mt^{p^m}$ は $W\{t\}$ に入るが過収束でない）。また $W\{t\}^\dagger$ はNoether環である。これらの基本性質と、弱完備化が表示 $A=W[t]/I$ の取り方に依らないこと（弱完備な $W$ 代数への準同型の普遍対象として内在的に特徴づけられる）は過収束級数の記事と Monsky–Washnitzer MW68 §1 に譲る。
$W\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger$ の商環（商環）を Monsky–Washnitzer 代数（M–W 代数、弱完備有限生成代数、dagger 代数ともいう）という。$W$ 上有限生成な代数の弱完備化はその例である。M–W 代数 $A$ に対し $A_0:=A/pA$ と書く。$k$ 上有限型で滑らかな代数 $A_0$（$\operatorname{Spec}A_0\to\operatorname{Spec}k$ が滑らかな射）の M–W 持上げとは、$W$ 上平坦（平坦加群）な M–W 代数 $A^\dagger$ と $k$ 代数の同型 $A^\dagger/pA^\dagger\cong A_0$ の組をいう。
$W$ は $p$ を素元とする離散付値環なので、$W$ 加群が平坦であることは $p$ 捩れがないことと同値である。したがって M–W 持上げの条件「平坦」は「$p$ を掛ける写像が単射」と言い換えられる。
M–W 代数 $A$ は $W$ 上有限生成でないので、通常の Kähler微分加群 $\Omega^1_{\mathrm{alg}}$ は無限個の余計な生成元をもつ（$W\{t\}^\dagger$ の元 $\sum a_nt^n$ の微分が $\sum na_nt^{n-1}dt$ に等しいことは Kähler 微分加群では出ない）。Monsky–Washnitzer はこれを $p$ 進分離商で修正する。
$A$ を M–W 代数とする。$A$ 加群 $M$ が分離的であるとは $\bigcap_{m\ge0}p^mM=0$ であることをいう。$A$ の $W$ 上の微分加群 $\Omega^1_{A/W}$ とは、分離的な $A$ 加群への $W$ 導分の普遍対象、すなわち分離的 $A$ 加群 $\Omega^1_{A/W}$ と $W$ 導分 $d\colon A\to\Omega^1_{A/W}$ であって、任意の分離的 $A$ 加群 $M$ と $W$ 導分 $D\colon A\to M$ に対し $D=\varphi\circ d$ をみたす $A$ 線型写像 $\varphi\colon\Omega^1_{A/W}\to M$ がただ一つ存在するものをいう。これは Kähler 微分加群 $\Omega^1_{\mathrm{alg}}$ の分離商 $\Omega^1_{\mathrm{alg}}/\bigcap_mp^m\Omega^1_{\mathrm{alg}}$ に等しい。$\Omega^i_{A/W}:=\bigwedge^i_A\Omega^1_{A/W}$（外積代数）とおき、$d$ を外微分に延長して得られる複体
$$\Omega^\bullet_{A/W}\colon\ A\xrightarrow{d}\Omega^1_{A/W}\xrightarrow{d}\Omega^2_{A/W}\xrightarrow{d}\cdots$$
を $A$ の de Rham 複体という。
分離商が普遍対象であることは次のように分かる。分離商 $\bar\Omega$ は分離的で（$\bigcap_mp^m\Omega^1_{\mathrm{alg}}\subset p^r\Omega^1_{\mathrm{alg}}$ が任意の $r$ で成り立つから $\bigcap_rp^r\bar\Omega=0$）、分離的 $M$ への $A$ 線型写像 $\Omega^1_{\mathrm{alg}}\to M$ は $\bigcap_mp^m\Omega^1_{\mathrm{alg}}$ を $\bigcap_mp^mM=0$ に送るので $\bar\Omega$ を経由する。よって $\bar\Omega$ は Kähler 微分加群の普遍性を分離的加群に制限したものをみたし、普遍対象の一意性から $\Omega^1_{A/W}=\bar\Omega$ である。この微分加群が具体的に何かを、次の補題で確かめる。
$P:=W\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger$ とする。
- $P$ は形式微分 $\partial_i=\partial/\partial t_i$ で閉じており、$\Omega^1_{P/W}=\bigoplus_{i=1}^nP\,dt_i$（階数 $n$ の自由 $P$ 加群、自由加群）、$df=\sum_i\partial_if\,dt_i$ である。とくに $\Omega^i_{P/W}=0$（$i>n$）。
- $I\subset P$ をイデアル、$A:=P/I$ とし、$Q$ を $\bigoplus_iA\,dt_i$ をその部分集合 $\{\sum_i\overline{\partial_ig}\,dt_i:\ g\in I\}$ が生成する部分加群で割った $A$ 加群とする。このとき $\Omega^1_{A/W}$ は $Q$ の分離商 $Q/\bigcap_mp^mQ$ である。$I$ の生成系 $g_1,\dots,g_r$ を固定すれば、関係式は $\sum_i\overline{\partial_ig_j}\,dt_i$（$j=1,\dots,r$）だけで生成される。
- $f=\sum a_\alpha t^\alpha$ が $|\alpha|\ge N$ で $v(a_\alpha)\ge\rho|\alpha|$ をみたすとき、$\partial_if$ の $t^{\alpha-e_i}$ の係数 $\alpha_ia_\alpha$ は $v(\alpha_ia_\alpha)\ge v(a_\alpha)\ge\rho|\alpha|\ge\rho|\alpha-e_i|$ をみたすので $\partial_if\in P$ である。Leibniz 則は $W[\![t]\!]$ の形式微分から遺伝する。$\bigoplus_iP\,dt_i\cong P^n\subset W[\![t]\!]^n$ で、$\bigcap_mp^mW[\![t]\!]=0$（係数ごとに見る）だから $\bigoplus_iP\,dt_i$ は分離的である。よって $\delta(f):=\sum_i\partial_if\,dt_i$ は分離的加群への $W$ 導分である。
普遍性を示す。$M$ を分離的 $P$ 加群、$D\colon P\to M$ を $W$ 導分とし、$\varphi\colon\bigoplus_iP\,dt_i\to M$ を $dt_i\mapsto D(t_i)$ で定まる $P$ 線型写像とする。多項式 $g\in W[t]$ に対しては Leibniz 則から $D(g)=\sum_i\partial_ig\,D(t_i)=\varphi(\delta(g))$ である。一般の $f$ について、$N\ge N_0$（$N_0$ は $f$ の過収束条件の定数）をとり、$f=f_{< N}+p^{\lfloor\rho N\rfloor}h_N$ と分ける。ここで $f_{< N}:=\sum_{|\alpha|< N}a_\alpha t^\alpha\in W[t]$、$h_N:=\sum_{|\alpha|\ge N}(a_\alpha/p^{\lfloor\rho N\rfloor})t^\alpha$ である。$|\alpha|\ge N$ なら $v(a_\alpha)\ge\rho N\ge\lfloor\rho N\rfloor$ なので $h_N$ の係数は $W$ に入り、$|\alpha|\ge2N$ なら $v(a_\alpha/p^{\lfloor\rho N\rfloor})\ge\rho|\alpha|-\rho N\ge(\rho/2)|\alpha|$ なので $h_N\in P$ である。$D$ と $\varphi\circ\delta$ はどちらも $W$ 線型で、多項式の上で一致するから
$$D(f)-\varphi(\delta(f))=p^{\lfloor\rho N\rfloor}\bigl(D(h_N)-\varphi(\delta(h_N))\bigr)\in p^{\lfloor\rho N\rfloor}M$$
である。$N\to\infty$ で $\lfloor\rho N\rfloor\to\infty$ であり $M$ は分離的なので $D(f)=\varphi(\delta(f))$。$\varphi$ は $dt_i\mapsto D(t_i)$ で決まるので一意である。よって $\delta$ が普遍対象であり、$\Omega^1_{P/W}=\bigoplus_iP\,dt_i$、$d=\delta$ である。外積は階数 $n$ の自由加群の外積なので $\Omega^i_{P/W}=0$（$i>n$）。 - $M$ を分離的 $A$ 加群とすると、$M$ は $P$ 加群としても分離的で、$A$ の $W$ 導分 $A\to M$ は $I$ を $0$ に送る $P$ の $W$ 導分 $D\colon P\to M$ と一対一に対応する。$I$ の生成系 $g_1,\dots,g_r$ をとると、$g=\sum_jh_jg_j\in I$ に対し $D(g)=\sum_jh_jD(g_j)+\sum_jg_jD(h_j)$ で、第 2 の和は $IM=0$ に入るから、$D$ が $I$ を消すことと $D(g_j)=0$（$j=1,\dots,r$）は同値である。1 により $D$ は $P$ 線型写像 $\varphi\colon\bigoplus_iP\,dt_i\to M$ で $\varphi(\sum_i\partial_ig_j\,dt_i)=0$ をみたすものと対応し、$IM=0$ なのでこれは $A$ 線型写像 $Q\to M$ と対応する。$M$ が分離的なので $Q\to M$ は分離商 $Q/\bigcap_mp^mQ$ を経由し、分離商は分離的である。よって $Q$ の分離商が普遍対象である。
以上で M–W 代数の de Rham 複体が定まった。次に、この複体のコホモロジーが $A_0$ だけで決まることを保証する 2 つの定理を述べる。どちらも教科書の範囲を超えるので言明と証明の筋だけを書き、証明は原論文に譲る。
$k$ を標数 $p>0$ の完全体、$W=W(k)$ とする。
- （存在）$k$ 上有限型で滑らかな任意の代数 $A_0$ は M–W 持上げ $A^\dagger$ をもつ。
- （準同型の持上げ）$A^\dagger$ を $A_0$ の M–W 持上げ、$B$ を $W$ 上平坦な M–W 代数とする。任意の $k$ 代数の準同型 $u_0\colon A_0\to B/pB$ は $W$ 代数の準同型 $u\colon A^\dagger\to B$ に持ち上がる。
- （一意性）$A_0$ の 2 つの M–W 持上げ $A^\dagger$、$A'^\dagger$ は、$A_0$ 上恒等写像を誘導する $W$ 代数の同型で結ばれる。
1 は Monsky–Washnitzer MW68 §2 が付加条件つきで示し、条件なしの存在は Elkik Elk73 の定理（Hensel 対 $(R,I)$（Hensel局所環）に対し、$R/I$ 上滑らかな代数は $R$ 上滑らかな有限生成代数に持ち上がる）から従う：$(W,(p))$ は Hensel 対だから $A_0$ は $W$ 上滑らかな有限生成代数 $A$ に持ち上がり、その弱完備化 $A^\dagger$ が M–W 持上げになる（$A^\dagger$ は $A$ の $p$ 進完備化 $\hat A$ の部分環と同一視され（過収束級数、MW68 §1）、$A$ が $p$ 捩れをもたなければ $\hat A$ も同様だから、$A^\dagger$ は $W$ 上平坦である）。2 と 3 は MW68 §2 による（概説は van der Put vdP86 §2）。2 の筋：$A^\dagger=W\{x_1,\dots,x_n\}^\dagger/(F_1,\dots,F_r)$ と表示し、$u_0(\bar x_j)$ の持上げ $b^{(0)}_j\in B$ をとると $F_i(b^{(0)})\in pB$ である。$A_0$ が滑らかなので、表示を適当にとれば（少なくとも Zariski位相で局所的には）Jacobi行列 $(\partial F_i/\partial x_j)$ は $A_0$ 上で右逆行列をもち、その持上げ $G$ による Newton法の反復 $b^{(m+1)}:=b^{(m)}-G(b^{(m)})F(b^{(m)})$ は $F(b^{(m)})\in p^{2^m}B$ をみたす。列 $b^{(m)}$ は $B$ の $p$ 進完備化で収束し、極限が $B$ 自身に入ることに $B$ の弱完備性（過収束級数の代入で閉じていること）を使う。3 は 2 を両方向に用い、合成が恒等写像を持ち上げる自己準同型になることと、$\mathrm{id}$ に $p$ を法として合同な平坦 M–W 代数の自己準同型が自己同型であることによる。
$A^\dagger$、$B^\dagger$ を $k$ 上滑らかな代数 $A_0$、$B_0$ の M–W 持上げとし、$u,u'\colon A^\dagger\to B^\dagger$ を同じ $k$ 代数の準同型 $u_0\colon A_0\to B_0$ を持ち上げる 2 つの $W$ 代数の準同型とする。このとき $u$ と $u'$ が誘導する写像
$$u^*,\,u'^*\colon H^i(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})\otimes_WK\longrightarrow H^i(\Omega^\bullet_{B^\dagger/W})\otimes_WK$$
は一致する。
証明は MW68 §5（概説は vdP86 §2、Le Stum LS07 の rigid コホモロジーの枠組みでは第 8 章）に譲る。筋は次のとおりである。$A^\dagger=W\{x\}^\dagger/(F)$ と表示し、$\delta_j:=u'(x_j)-u(x_j)\in pB^\dagger$ とおく。Taylor展開
$$u'(f)=\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n}\frac{1}{\alpha!}\,u\Bigl(\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x^\alpha}\Bigr)\delta^\alpha$$
は、$v(\delta^\alpha/\alpha!)\ge|\alpha|-v(\alpha!)\ge|\alpha|\,\frac{p-2}{p-1}$ により $p\ge3$ なら $p$ 進収束する（$p=2$ では $\delta_j\in4B^\dagger$ となるよう工夫する）。この展開を補助変数 $y$ で補間した $W$ 代数の準同型 $H\colon A^\dagger\to B^\dagger\{y\}^\dagger$（$y=0$ で $u$、$y=1$ で $u'$）に対し、de Rham 複体の上で「$y$ について $0$ から $1$ まで積分する」写像 $h$ が $u'^*-u^*=dh+hd$ をみたし、$u^*$ と $u'^*$ は鎖ホモトピック（鎖ホモトピー）になる。積分で分母 $1/(m+1)$ が現れるので、$h$ が $B^\dagger\{y\}^\dagger$ に留まるためには過収束条件が要り、整数係数では分母が残るため、結論は $K$ をテンソルした後でだけ主張される。$p$ 進完備化 $B\{y\}$ では $h$ が定まらないことの理由は、prop-mw-restricted-series の計算に現れている。
2 つの定理を合わせると、コホモロジーが持上げの選び方に依らないことが完全に証明できる。
$A_0$ を $k$ 上有限型で滑らかな代数とする。
- $A^\dagger$、$A'^\dagger$ を $A_0$ の 2 つの M–W 持上げとすると、$\mathrm{id}_{A_0}$ を持ち上げる任意の $W$ 代数の準同型 $f\colon A^\dagger\to A'^\dagger$ は $K$ 線型空間の同型 $f^*\colon H^i(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})\otimes K\to H^i(\Omega^\bullet_{A'^\dagger/W})\otimes K$ を誘導し、$f^*$ は $f$ の選び方に依らない。
- $A_0\mapsto H^i(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})\otimes_WK$（$A^\dagger$ は $A_0$ の M–W 持上げを 1 つ選ぶ）は、$k$ 上有限型で滑らかな代数の圏から $K$ 線型空間の圏への関手を定め、持上げの選び方を変えても 1 の同型を通じて自然同型な関手が得られる。
- thm-mw-lifting の 2 により $\mathrm{id}_{A_0}$ を持ち上げる $f\colon A^\dagger\to A'^\dagger$ と $g\colon A'^\dagger\to A^\dagger$ が存在する。$g\circ f$ と $\mathrm{id}_{A^\dagger}$ はどちらも $\mathrm{id}_{A_0}$ を持ち上げるので、thm-mw-homotopy により $(g\circ f)^*=g^*\circ f^*$ は $H^i(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})\otimes K$ の恒等写像に等しい。同様に $f^*\circ g^*$ も恒等写像である。よって $f^*$ は同型で、$g^*$ がその逆である。$f$ の選び方に依らないことは thm-mw-homotopy そのものである。
- $u_0\colon A_0\to B_0$ に対し、thm-mw-lifting の 2 で持上げ $u\colon A^\dagger\to B^\dagger$ をとり $u_0\mapsto u^*$ と定める。thm-mw-homotopy により $u^*$ は $u$ の選び方に依らない。$v_0\circ u_0$ の持上げとして $v\circ u$ がとれるので $(v_0\circ u_0)^*=v^*\circ u^*$ であり、$\mathrm{id}_{A_0}$ の持上げとして $\mathrm{id}_{A^\dagger}$ がとれるので恒等写像は恒等写像に移る。よって関手である。持上げの選び方を $A^\dagger\mapsto A'^\dagger$ と変えたとき、1 の同型 $f^*$ が自然変換をなすことは、$u_0$ の 2 通りの持上げ $u\colon A^\dagger\to B^\dagger$、$u'\colon A'^\dagger\to B'^\dagger$ と $f\colon A^\dagger\to A'^\dagger$、$f_B\colon B^\dagger\to B'^\dagger$ について $u'\circ f$ と $f_B\circ u$ がともに $u_0$ を持ち上げるから thm-mw-homotopy により $u'^*\circ f^*=f_B^*\circ u^*$ となることによる。
$X_0=\operatorname{Spec}A_0$ を $k$ 上滑らかな affine スキーム、$A^\dagger$ を $A_0$ の M–W 持上げとする。$X_0$ の Monsky–Washnitzer コホモロジー（MW コホモロジー、形式コホモロジー）とは、$K$ 線型空間
$$H^i_{MW}(X_0/K):=H^i\bigl(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W}\bigr)\otimes_WK$$
をいう。prop-mw-well-defined により、これは持上げ $A^\dagger$ の選び方に標準同型を除いて依らず、$X_0$ について反変関手的（反変関手）である。$K$ をテンソルする前の $W$ 加群 $H^i(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})$ を整 Monsky–Washnitzer コホモロジーと呼ぶことがあるが、prop-mw-affine-line のとおり affine 直線ですでに有限生成でない捩れをもち、通常は $K$ 係数の $H^i_{MW}(X_0/K)$ を指して Monsky–Washnitzer コホモロジーという。
$\otimes_WK$ は局所化なので完全であり、$H^i(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})\otimes K=H^i(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W}\otimes K)$ である。すなわち $H^i_{MW}(X_0/K)$ は「分母が有界な過収束級数」の環 $A^\dagger\otimes K$ の de Rham 複体のコホモロジーでもある。affine でない滑らかな $X_0$ には、affine 開集合（アフィン開集合）とその M–W 持上げの組を対象とする景（Grothendieck位相を備えた圏）の上で de Rham 複体の超コホモロジーをとる方法（Grothendieck Gro68c §2）と、affine でも滑らかでもない $X_0$ にまで定義を広げる Berthelot の rigid コホモロジー（rigidコホモロジー、Ber86、LS07）があり、後者は滑らかな affine の場合に $H^i_{MW}(X_0/K)$ に一致する（thm-mw-finiteness）。
直感
標数 $p$ の多様体の de Rham コホモロジーは $k$ 線型空間で、標数 $0$ の Betti 数（Betti数）を戻さない（affine 直線 $\mathbb{A}^1_k$ で $x^{p-1}dx$ は完全でない）。そこで $X_0$ を標数 $0$ の環 $W$ の上に持ち上げて de Rham コホモロジーをとりたいが、多項式環による持上げは一意でなく、$p$ 進完備化 $W\{t\}$ による持上げは一意になる代わりに関数が増えすぎて、$\sum_mp^mt^{p^m-1}dt$ のような閉 $1$ 形式の原始関数 $\sum_m\frac{p^m}{p^m}t^{p^m}=\sum_mt^{p^m}$ が $W\{t\}$ からはみ出す。過収束級数は「$p$ 進で収束する」より強く「係数の付値が次数に比例して増える」ことを要求する環で、原始関数をとるとき失われる付値 $v(n+1)\le\log_p(n+1)$ を吸収できるだけの余裕があり、しかも持上げは（同型を除いて）一意で準同型も持ち上がる。Monsky–Washnitzer コホモロジーは、この「ちょうどよい大きさの持上げ」の de Rham コホモロジーである。$K$ をテンソルするのはホモトピーの構成で分母が出るためで、整数係数の情報（$p$ 捩れ）は結晶コホモロジーが扱う。
例と反例
以下では 1 変数の場合に話を限り、$W\{t\}$ の元を $\sum_{n\ge0}a_nt^n$（$a_n\to0$）、$W\{t\}^\dagger$ の元を $\sum a_nt^n$（$n\ge N$ で $v(a_n)\ge\rho n$）と書く。lem-mw-differential-module により $\Omega^1_{W\{t\}^\dagger/W}=W\{t\}^\dagger dt$、$d(\sum a_nt^n)=\sum na_nt^{n-1}dt$ であり、$W\{t\}$ の微分加群も同じ形 $W\{t\}dt$ で定める（$W\{t\}=\varprojlim_mW_m[t]$ の微分加群を $\varprojlim_m\Omega^1_{W_m[t]/W_m}=W\{t\}dt$ で定めるのが標準的である）。
$p$ 進完備化 $W\{t\}$ の de Rham 複体 $W\{t\}\xrightarrow{d}W\{t\}dt$ について次が成り立つ。
- $H^0(\Omega^\bullet_{W\{t\}/W})=W$。
- $p\nmid j$ なる各正整数 $j$ について $\omega_j:=\sum_{m\ge1}p^mt^{jp^m-1}dt\in W\{t\}dt$ とおくと、類 $[\omega_j]$ は $H^1(\Omega^\bullet_{W\{t\}/W})\otimes_WK$ の中で $K$ 上線型独立である。とくに $H^1(\Omega^\bullet_{W\{t\}/W})\otimes_WK$ は $K$ 上無限次元である。
- $d(\sum a_nt^n)=\sum_{n\ge1}na_nt^{n-1}dt=0$ は $na_n=0$（$n\ge1$）と同値で、$W$ は整域だから $a_n=0$（$n\ge1$）。よって $\ker d=W$。
- $\omega_j$ の係数 $p^m$ は $m\to\infty$ で $0$ に収束するので $\omega_j\in W\{t\}dt$ である。$\otimes_WK$ は完全なので $H^1\otimes K=K\{t\}dt/d(K\{t\})$、ただし $K\{t\}=W\{t\}\otimes_WK=\{\sum c_nt^n:\ c_n\in K,\ c_n\to0\}$ である。$J$ を $p\nmid j$ なる正整数の有限集合、$\lambda_j\in K$（$j\in J$）とし、$\sum_{j\in J}\lambda_j\omega_j=dg$、$g=\sum_{n\ge0}g_nt^n\in K\{t\}$ と仮定する。$t^{n-1}dt$ の係数を比べると、$n=jp^m$（$j\in J$、$m\ge1$）と書けるとき $ng_n=\lambda_jp^m$、それ以外のとき $ng_n=0$ である。$n=jp^m$ から $m=v(n)$、$j=n/p^{v(n)}$ が一意に決まるので、$g_{jp^m}=\lambda_jp^m/(jp^m)=\lambda_j/j$ がすべての $m\ge1$ で成り立つ。$g\in K\{t\}$ より $g_n\to0$ だから $\lambda_j/j=0$、すなわち $\lambda_j=0$ である。よって $[\omega_j]$（$j\in J$）は線型独立である。
$A_0=k[t]$ の $p$ 進完備な持上げ $W\{t\}$（形式的持上げ $\operatorname{Spf}W\{t\}$、形式スキーム）を、M–W 持上げの代わりに用いるとどうなるかを見る。外す条件は持上げの弱完備性（過収束条件）である。
- 満たす条件：$W\{t\}$ は $W$ 上平坦で $W\{t\}/pW\{t\}=k[t]$、すなわち $A_0$ の $p$ 進完備な持上げであり、この意味の持上げは同型を除いて一意である。
- 破る条件：$W\{t\}$ は過収束級数の環ではない（$\sum_mp^mt^{p^m}\in W\{t\}$ は過収束でない）。
- 破る結論：prop-mw-restricted-series により $H^1(\Omega^\bullet_{W\{t\}/W})\otimes K$ は $K$ 上無限次元で、標数 $0$ の affine 直線の Betti 数 $b_1=0$ を与えない。affine 滑らかなスキームの $W_n=W/p^{n+1}$ 係数の結晶コホモロジーは $W_n$ 上の滑らかな持上げの de Rham コホモロジーに等しく（Berthelot–Ogus BO78 7.1）、$\mathbb{A}^1_k$ ではその持上げが $W_n[t]$、$W$ 係数への極限が $W\{t\}=\varprojlim_nW_n[t]$ の de Rham 複体である（極限とコホモロジーの順序は結晶コホモロジーの記事に譲る）。上の計算は、固有でないスキームの結晶コホモロジーが $K$ をテンソルしても病的であることの最も簡単な例を与える。
$A^\dagger=W\{t\}^\dagger$ は $A_0=k[t]$ の M–W 持上げであり、その de Rham 複体 $A^\dagger\xrightarrow{d}A^\dagger dt$ について次が成り立つ。
- $H^0(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})=W$。したがって $H^0_{MW}(\mathbb{A}^1_k/K)=K$。
- $H^1(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})\otimes_WK=0$。したがって $H^1_{MW}(\mathbb{A}^1_k/K)=0$。
- 各 $m\ge1$ について $\eta_m:=t^{p^m-1}dt$ の類は $H^1(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})$ の中で位数がちょうど $p^m$ である。したがって整 Monsky–Washnitzer コホモロジー $H^1(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})$ は零でない捩れ $W$ 加群（捩れ加群）で、有限生成でない。
$W\{t\}^\dagger$ は $W[\![t]\!]$ の部分環で $p$ 捩れをもたないので $W$ 上平坦であり、$W\{t\}^\dagger/p=k[t]$ だから M–W 持上げである。1〜3 は 1 変数の過収束級数環の性質そのものなので、証明は過収束級数の記事の命題（affine 直線の de Rham 複体）に譲る。要点は、閉形式 $\sum b_nt^ndt$ の原始関数 $\sum\frac{b_n}{n+1}t^{n+1}$ の係数の付値が $v(n+1)\le\log_p(n+1)$ だけしか下がらず、過収束条件の一次関数的な増大 $\rho n$ がこれを吸収するので、原始関数が $K[t]+W\{t\}^\dagger\subset A^\dagger\otimes K$ に入ることである。3 は $p^m\eta_m=d(t^{p^m})$ と、$p^{m-1}\eta_m=dg$ なら $t^{p^m-1}dt$ の係数比較で $g_{p^m}=1/p\notin W$ となることによる。
こうして $H^i_{MW}(\mathbb{A}^1_k/K)$ は $i=0$ で $K$、$i\ge1$ で $0$ となり、複素 affine 直線 $\mathbb{C}$ の Betti 数 $b_0=1$、$b_1=0$ と一致する。次は $H^1$ が消えない最初の例で、Frobenius の作用まで計算できる。
$A_0=k[t,t^{-1}]$（乗法群 $\mathbb{G}_{m,k}$ の座標環）とし、$A^\dagger:=W\{t,s\}^\dagger/(ts-1)$ とおく。
- $A^\dagger$ は、$W$ 係数の Laurent級数 $\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nt^n$ で、ある $\rho>0$ と $N$ について $|n|\ge N$ ならば $v(c_n)\ge\rho|n|$ となるもの（過収束 Laurent 級数）全体のなす環 $W\{t,t^{-1}\}^\dagger$ に同型であり、$A_0$ の M–W 持上げである。
- $\Omega^1_{A^\dagger/W}=A^\dagger dt$（自由加群）、$d(\sum c_nt^n)=\sum nc_nt^{n-1}dt$ である。
- $H^0_{MW}(\mathbb{G}_{m,k}/K)=K$、$H^1_{MW}(\mathbb{G}_{m,k}/K)=K\cdot[dt/t]$（$1$ 次元）である。
- まず $W\{t,t^{-1}\}^\dagger$ が環であることを見る。過収束 Laurent 級数の係数は、定数 $c$ を有限個の項に合わせてとれば、すべての $n$ で $v(c_n)\ge\rho|n|-c$ をみたす。2 つの級数の積の $t^n$ の係数 $\sum_{a+b=n}c_ad_b$ は、$a+b=n$ で $|a|\to\infty$ なら $|b|\to\infty$ だから $p$ 進収束し、付値は $\rho|n|-2c$ 以上である。よって積が定まり環になる。$\pi\colon W\{t,s\}^\dagger\to W\{t,t^{-1}\}^\dagger$ を $\sum a_{ab}t^as^b\mapsto\sum_{n\in\mathbb{Z}}\bigl(\sum_{a-b=n}a_{ab}\bigr)t^n$ で定める。$a-b=n$ を固定すると $a+b=|n|+2\min(a,b)\to\infty$ であり、$v(a_{ab})\ge\rho(a+b)-c$ だから内側の和は $W$ で収束し、付値は $\rho|n|-c$ 以上なので、像は過収束 Laurent 級数である。$\pi$ は $W$ 線型で積を保つ（$\pi(fg)$ と $\pi(f)\pi(g)$ の $t^n$ の係数はどちらも、$0$ に収束する項の族 $f_{a_1b_1}g_{a_2b_2}$（$a_1+a_2-b_1-b_2=n$）の和であり、非アルキメデス的な収束では和の順序に依らない）ので環準同型である。全射性（全射）：$\sum c_nt^n$ は $\sum_{n\ge0}c_nt^n+\sum_{n<0}c_ns^{-n}\in W\{t,s\}^\dagger$ の像である。核：$g=\sum a_{ab}t^as^b\in\ker\pi$ とし、すべての $(a,b)$ で $v(a_{ab})\ge\rho(a+b)-c$ とする。$W[\![t,s]\!]$ で $1-ts$ は可逆（逆元 $\sum_{l\ge0}(ts)^l$）なので $h:=-g\sum_{l\ge0}(ts)^l$ とおけば $g=(ts-1)h$ であり、$h$ が過収束であることを示せばよい。整数 $n$ を固定し、$(a_0,b_0):=(n,0)$（$n\ge0$）または $(0,-n)$（$n<0$）とおくと、$a-b=n$ なる指数対は $(a_0+i,b_0+i)$（$i\ge0$）の全体であり、$\sigma_n(i):=a_{a_0+i,\,b_0+i}$ とおけば核の条件は $\sum_{i\ge0}\sigma_n(i)=0$ である。$h$ の $t^{a_0+m}s^{b_0+m}$ の係数は $-\sum_{i=0}^{m}\sigma_n(i)=\sum_{i>m}\sigma_n(i)$ で、その付値は $\min_{i>m}v(\sigma_n(i))\ge\rho(a_0+b_0+2m)-c$ 以上、すなわちその指数の和 $a+b=a_0+b_0+2m$ について $\rho(a+b)-c$ 以上である。よって $h\in W\{t,s\}^\dagger$、$\ker\pi=(ts-1)$、$A^\dagger\cong W\{t,t^{-1}\}^\dagger$ である。この環は係数ごとに見て $p$ 捩れをもたないので $W$ 上平坦であり、$A^\dagger/pA^\dagger=k[t,s]/(ts-1)=k[t,t^{-1}]$ である。
- lem-mw-differential-module の 2 により、$\Omega^1_{A^\dagger/W}$ は $Q:=(A^\dagger dt\oplus A^\dagger ds)/A^\dagger(s\,dt+t\,ds)$ の分離商である。$A^\dagger$ で $t$ は可逆（$t^{-1}=s$）なので、$A^\dagger$ 線型写像 $\psi\colon A^\dagger dt\oplus A^\dagger ds\to A^\dagger dt$、$\psi(f\,dt+g\,ds):=(f-t^{-2}g)\,dt$ を考えると、$\psi(s\,dt+t\,ds)=(s-t^{-1})dt=0$ であり、$\psi$ は全射で、$\ker\psi=\{(t^{-2}g)\,dt+g\,ds\}=\{gs\cdot(s\,dt+t\,ds)\}=A^\dagger(s\,dt+t\,ds)$ である。よって $Q\cong A^\dagger dt$ は自由加群で、係数ごとに見て分離的だから $\Omega^1_{A^\dagger/W}=A^\dagger dt$ である。$ds=-t^{-2}dt$ により、$d(\sum c_nt^n)=\sum nc_nt^{n-1}dt$ である。
- $H^0$：$\sum nc_nt^{n-1}=0$ から $c_n=0$（$n\ne0$）、よって $H^0=W$、$H^0\otimes K=K$。$H^1$：$\omega=\sum_nb_nt^ndt$ をとる。$n\ne-1$ の項の原始関数 $\frac{b_n}{n+1}t^{n+1}$ の係数は、$p^{v(n+1)}\mid n+1$ から $v(n+1)\le\log_p|n+1|$ なので、$|n|\ge N$ で $v(b_n/(n+1))\ge\rho|n|-\log_p|n+1|$ をみたし、$|n|$ が十分大きいときこれは $(\rho/2)|n|$ 以上である。よって原始関数の和は過収束 Laurent 級数（$K$ 係数、分母は有限個）をなすので、$\omega-b_{-1}\frac{dt}{t}$ は $A^\dagger\otimes K$ の元の微分である。一方 $\frac{dt}{t}$ は $K$ 係数でも完全でない：$dg$ の $t^{-1}dt$ の係数は $0\cdot g_0=0$ だからである。よって $H^1(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})\otimes K=K\cdot[dt/t]$ で、$1$ 次元である。
$\mathbb{G}_m$ の場合、$H^0_{MW}$、$H^1_{MW}$ の次元は $\mathbb{C}^\times$ の Betti 数 $b_0=b_1=1$ に一致する。整係数では、prop-mw-affine-line の 3 と同じ議論で $t^{p^m-1}dt$ の類が位数 $p^m$ の捩れを与えるので、$H^1(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})$ は $W[dt/t]$ と有限生成でない捩れ加群の直和になる。
$k=\mathbb{F}_q$（$q=p^a$）とし、$A_0=\mathbb{F}_q[t,t^{-1}]$ の $q$ 乗 Frobenius写像 $F_0\colon f\mapsto f^q$ を考える。$F\colon A^\dagger\to A^\dagger$、$\sum c_nt^n\mapsto\sum c_nt^{qn}$ は $W$ 代数の準同型で（$v(c_n)\ge\rho|n|=(\rho/q)|qn|$ なので像は過収束）、$F_0$ を持ち上げる。$H^1_{MW}$ への作用は $F^*[dt/t]=[d(t^q)/t^q]=[q\,dt/t]=q[dt/t]$、$H^0_{MW}$ への作用は恒等である。thm-mw-homotopy により、この作用は持上げ $F$ の選び方に依らない。thm-mw-lefschetz の公式を $m=1$、$n=\dim\mathbb{G}_m=1$ で書くと
$$\sum_{i=0}^{1}(-1)^i\operatorname{Tr}\bigl(q\,(F^*)^{-1}\bigm|H^i_{MW}(\mathbb{G}_{m}/K)\bigr)=q\cdot1-q\cdot q^{-1}=q-1$$
となり、$\#\mathbb{G}_m(\mathbb{F}_q)=\#\mathbb{F}_q^\times=q-1$ に一致する。同様に affine 直線では $H^0_{MW}=K$ だけが残り、公式は $q=\#\mathbb{A}^1(\mathbb{F}_q)$ を与える。
最後の反例は、thm-mw-lifting の滑らかさの仮定が外せないことを示す。
外す条件は $A_0$ の滑らかさである。$A_0:=k[x]/(x^2)$ とし、$A:=W\{x\}^\dagger/(x^2)$、$A':=W\{x\}^\dagger/(x^2-p)$ とおく。
- 満たす条件：$A$、$A'$ はどちらも $W$ 上平坦な M–W 代数で、還元は $A_0$ である。実際、どちらも $W$ 加群として $W\oplus Wx$ に等しい（以下 $f=\sum a_nx^n$ の係数はすべての $n$ で $v(a_n)\ge\rho n-c$ をみたすとする）。$A$ では $\sum_{n\ge0}a_nx^n=a_0+a_1x+x^2\sum_{n\ge2}a_nx^{n-2}$ で $\sum_{n\ge2}a_nx^{n-2}$ は過収束、また $a+bx\in x^2W\{x\}^\dagger$ なら係数比較で $a=b=0$。$A'$ では $x^{2m}-p^m=(x^2-p)(x^{2m-2}+px^{2m-4}+\dots+p^{m-1})$ により
$$\sum_na_nx^n\equiv\sum_ma_{2m}p^m+x\sum_ma_{2m+1}p^m\pmod{(x^2-p)}$$
で、右辺の 2 つの和は $W$ で収束し、商 $h=\sum_ma_{2m}\sum_{i=0}^{m-1}p^{m-1-i}x^{2i}+x\sum_ma_{2m+1}\sum_{i=0}^{m-1}p^{m-1-i}x^{2i}$ の $x^{2i}$ の係数 $\sum_{m>i}a_{2m}p^{m-1-i}$ は付値 $2\rho i-c$ 以上（$x^{2i+1}$ も同様）なので $h$ は過収束である。単射性：$a+bx=(x^2-p)\sum_nh_nx^n$ なら $x^n$（$n\ge2$）の係数比較で $h_{n-2}=ph_n$、よって $h_0\in\bigcap_mp^mW=0$、$h_1=0$、順に $h_n=0$ となり $a=b=0$。したがって $A$、$A'$ は $W$ 上自由（とくに平坦）で、$A/pA=A'/pA'=k[x]/(x^2)$ である。 - 破る条件：$A_0$ は $k$ 上滑らかでない（被約（被約スキーム）ですらない）。
- 破る結論（持上げの一意性）：$\mathrm{id}_{A_0}$ を持ち上げる $W$ 代数の準同型は $A\to A'$ にも $A'\to A$ にも存在しない。$A\to A'$ では $x\mapsto a+bx$ が $(a+bx)^2=(a^2+pb^2)+2abx=0$ をみたす必要があり、$b\ne0$ なら $v(a^2)$ は偶数（または $\infty$）、$v(pb^2)$ は奇数なので $a^2+pb^2\ne0$、よって $b=0$、$a=0$ となるが、$x\mapsto0$ は還元で $\bar x\mapsto0\ne\bar x$ なので恒等を持ち上げない。$A'\to A$ では $(a+bx)^2=a^2+2abx=p$ が要るが、$v(a^2)$ は偶数なので $a^2=p$ は $W$ で解けない。
- 破る結論（コホモロジーの持上げ依存性）：lem-mw-differential-module の 2 により $\Omega^1_{A/W}$ は $A\,dx/(2x\,dx)A=W\,dx\oplus(W/2W)x\,dx$ の分離商で、これは分離的（$p$ の冪で消える部分と $W$ の直和）なので自身に等しい。$d(a+bx)=b\,dx$ だから $H^0(\Omega^\bullet_{A/W})\otimes K=K$、$H^1(\Omega^\bullet_{A/W})\otimes K=0$ である。一方 $A'$ では $2xA'=2(pW\oplus Wx)$ なので $A'dx/(2x\,dx)A'=(W/2pW)dx\oplus(W/2W)x\,dx$ は $p$ の冪で消える有限加群で、$\Omega^1_{A'/W}\otimes K=0$。よって $H^0(\Omega^\bullet_{A'/W})\otimes K=A'\otimes K=K[x]/(x^2-p)$ は $K$ 上 $2$ 次元である。2 つの持上げは $K$ をテンソルした後でも異なるコホモロジーをもち、prop-mw-well-defined の結論は成り立たない。
滑らかでないスキームに $p$ 進コホモロジーを与えるには、$X_0$ を滑らかな形式スキームに閉埋め込みし、その「管状近傍」の上で de Rham コホモロジーをとる rigid コホモロジー（Ber86）が要る。
性質
以下の定理はいずれも教科書の範囲を超えるので、言明と出典だけを書く。
$X_0=\operatorname{Spec}A_0$ を $k$ 上滑らかな affine スキーム、$n$ をその次元とする。
- $H^i_{MW}(X_0/K)=0$（$i>n$）。$A_0$ の滑らかな有限生成持上げ $A$（rem-mw-lifting-source）をとると $\Omega^1_{A/W}$ は階数 $n$ 以下の射影加群で、lem-mw-differential-module の 2 により $\Omega^1_{A^\dagger/W}$ はその係数拡大 $\Omega^1_{A/W}\otimes_AA^\dagger$ の分離商である。$A^\dagger$ は Noether 環で $p$ はその Jacobson根基に入るから（過収束級数、MW68 §1）、有限生成加群は分離的であり、$\Omega^1_{A^\dagger/W}$ は階数 $n$ 以下の射影加群、したがって $\Omega^i_{A^\dagger/W}=0$（$i>n$）となる。
- $k=\mathbb{F}_q$ のとき、$q$ 乗 Frobenius $F_0\colon A_0\to A_0$、$a\mapsto a^q$ は $k$ 代数の準同型なので thm-mw-lifting の 2 により $W$ 代数の準同型 $F\colon A^\dagger\to A^\dagger$ に持ち上がり、thm-mw-homotopy により $F^*\colon H^i_{MW}(X_0/K)\to H^i_{MW}(X_0/K)$ は持上げの選び方に依らない。一般の完全体 $k$ では、絶対 Frobenius $a\mapsto a^p$ は $\sigma$ 半線型（$\sigma$ は $W$ の Frobenius 自己同型）なので、$W$ 代数の準同型 $A^\dagger\otimes_{W,\sigma}W\to A^\dagger$ として持ち上げ、$H^i_{MW}(X_0/K)$ に $\sigma$ 半線型な作用 $F^*$ を得る（Frobenius写像）。
$X_0$ を $k$ 上滑らかな affine スキームとする。各 $i$ について $H^i_{MW}(X_0/K)$ は $K$ 上有限次元であり、Berthelot の rigid コホモロジー $H^i_{\mathrm{rig}}(X_0/K)$ に標準的に同型である。
Monsky–Washnitzer コホモロジーと rigid コホモロジーの一致は van der Put vdP86（Berthelot Ber86 も参照）、rigid コホモロジーの有限性は Berthelot Ber97（de Jong の alteration を用いる）による。Monsky–Washnitzer の原論文 MW68 の時点では有限性は（$X_0$ が射影的な場合の景による版 $H^i_{WM}$ についてさえ）証明されておらず、Grothendieck Gro68c §2.3 はこの点を理論の限界として挙げている。有限性により、$H^i_{MW}$ は $K$ 係数のWeilコホモロジーである rigid コホモロジーの、affine 滑らかな場合の計算法と見ることができる。
$X_0=\operatorname{Spec}A_0$ を有限体 $\mathbb{F}_q$ 上滑らかで affine な $n$ 次元スキーム、$F^*$ を $q$ 乗 Frobenius の持上げが $H^i_{MW}(X_0/K)$ に誘導する作用とする。$F^*$ は同型であり、任意の $m\ge1$ について
$$\#X_0(\mathbb{F}_{q^m})=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\operatorname{Tr}\Bigl(q^{mn}\,(F^*)^{-m}\,\Bigm|\,H^i_{MW}(X_0/K)\Bigr)$$
が成り立つ。
Monsky Mon71 による（上の言明は、有限性 thm-mw-finiteness を用いて $H^i_{MW}$ 上の跡で書いた Kedlaya Ked01 §2 の形である。概説は vdP86 も参照）。Monsky は有限性を仮定せず、過収束微分形式のなす $p$ 進 Banach空間の上で Frobenius に付随する完全連続作用素（コンパクト作用素。Dwork 型の作用素）を構成し、Serre Ser62 の完全連続作用素の跡と Fredholm 行列式の理論を用いて公式を証明した。$F^*$ の代わりに $q^n(F^*)^{-1}$ が現れるのは、affine（固有でない）スキームの点の個数を数えるにはコンパクト台コホモロジーが要り、Poincaré双対（rigid コホモロジーでは Ber97）によって $H^i_c$ 上の Frobenius が $H^{2n-i}$ 上の $q^n(F^*)^{-1}$ に対応するからである（ex-mw-frobenius-gm の検算を見よ）。thm-mw-finiteness と合わせると、合同ゼータ関数 $Z(X_0,T)=\exp\bigl(\sum_m\#X_0(\mathbb{F}_{q^m})T^m/m\bigr)$ は
$$Z(X_0,T)=\prod_{i=0}^{n}\det\bigl(1-q^n(F^*)^{-1}T\bigm|H^i_{MW}(X_0/K)\bigr)^{(-1)^{i+1}}$$
と書け、有理関数である。有理性自体は Dwork Dwo60 が $p$ 進解析的に先に証明している。Kedlaya Ked01 は $p$ が奇素数のとき、超楕円曲線 $y^2=f(x)$ から Weierstrass 点を除いた affine 曲線の $H^1_{MW}$ 上の Frobenius の行列を過収束級数の計算で明示的に求め、ゼータ関数を計算するアルゴリズムを与えた。これが Monsky–Washnitzer コホモロジーの現在最も広く使われる応用である。
結晶コホモロジーは $W$ 係数の理論で、$X_0$ が $k$ 上固有かつ滑らかなら $H^i_{\mathrm{cris}}(X_0/W)$ は有限生成 $W$ 加群であり、$p$ 捩れの情報をもつ。一方 $X_0$ が affine 滑らかなら、$W_n$ 係数の結晶コホモロジーは $W_n$ 上の滑らかな持上げの de Rham コホモロジーに等しく（Berthelot–Ogus BO78 7.1）、$W$ 係数では $p$ 進完備な持上げ $\hat A$ の de Rham 複体で計算されるので、ex-mw-complete-lifting のとおり $K$ をテンソルしても有限次元にならない。Monsky–Washnitzer コホモロジーは $\hat A$ を過収束な部分環 $A^\dagger\subset\hat A$ に取り替えることでこの病理を避けるが、代わりに $K$ 係数でしか定義されない。$X_0$ が固有かつ滑らかなとき、rigid コホモロジー $H^i_{\mathrm{rig}}(X_0/K)$ は $H^i_{\mathrm{cris}}(X_0/W)\otimes_WK$ に一致する（Berthelot Ber86、概説は Illusie Ill94）。affine 開被覆とその M–W 持上げから作った景の上の超コホモロジー $H^i_{WM}$（Gro68c §2）が同じ群を与えることは、原論文では期待として述べられている。歴史的には、Monsky–Washnitzer の理論（1966 年の謄写版、公刊は MW68）は Grothendieck Gro68c の 1966 年 12 月の講演で報告され、その着想と、$W$ 係数・有限性・滑らかでないスキームという未解決点とが、分割冪構造を備えた結晶景の導入の動機になった。
関連項目
- 前提: Wittベクトル, de Rhamコホモロジー, Kähler微分, 過収束級数, 形式スキーム, 滑らかな射, 完備化, 離散付値環
- 比較: 結晶コホモロジー, エタールコホモロジー, ℓ進コホモロジー, Weilコホモロジー
- 直後に読む: Frobenius写像, 合同ゼータ関数, Lefschetz不動点公式, 形式的滑らかさ
- 発展: 分割冪構造, Gauss–Manin接続, 超コホモロジー, Grothendieck位相, 変形理論
参考文献
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