弱ホモトピー同値

$x_0$ から $x_1$ への道 $\gamma$ をとる。道に沿った基点の取り替えの同型 $\beta_\gamma\colon\pi_n(X,x_1)\to\pi_n(X,x_0)$ がある（ホモトピー群の記事の命題「被覆空間と$n$-単純性」）。$f\circ\gamma$ は $f(x_0)$ から $f(x_1)$ への道で、基点の取り替えは写像と可換である：
$$ f_*\circ\beta_\gamma=\beta_{f\circ\gamma}\circ f_*\colon\ \pi_n(X,x_1)\to\pi_n(Y,f(x_0)) $$
（ホモトピー群の記事の命題「関手性とホモトピー不変性」の証明「基点を動かすホモトピー同値の場合」で示されている自然性）。$\beta_\gamma$ と $\beta_{f\circ\gamma}$ は同型なので、
$$ f_*=\beta_{f\circ\gamma}^{-1}\circ\bigl(f_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,f(x_0))\bigr)\circ\beta_\gamma\colon\ \pi_n(X,x_1)\to\pi_n(Y,f(x_1)) $$
は同型の合成であり、同型である。$\square$

$f\colon X\to Y$ をホモトピー同値写像とする。$f_*\colon\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$ が全単射であることはホモトピー同値の記事の命題「道成分は保存される」である。各 $x\in X$ と $n\ge1$ について $f_*\colon\pi_n(X,x)\to\pi_n(Y,f(x))$ が同型であることは、基点を止めないホモトピー逆写像についてもホモトピー群の記事の命題「関手性とホモトピー不変性」（証明「基点を動かすホモトピー同値の場合」）で示されている。可縮空間は一点空間とホモトピー同値である（可縮空間の記事の命題「一点とのホモトピー同値による特徴づけ」）。$\square$

$F\colon X\times[0,1]\to Y$ を $F(\cdot,0)=f$、$F(\cdot,1)=g$ となるホモトピーとする。各 $x\in X$ について $t\mapsto F(x,t)$ は $f(x)$ と $g(x)$ を結ぶ道なので、$f_*=g_*\colon\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$ である。$n\ge1$ と $x\in X$ について、$\gamma(t):=F(x,t)$ を $f(x)$ から $g(x)$ への道とすると
$$ f_*=\beta_\gamma\circ g_*\colon\ \pi_n(X,x)\to\pi_n(Y,f(x)) $$
が成り立つ（ホモトピー群の記事の証明「基点を動かすホモトピー同値の場合」の最初の式 $\beta_\gamma(F_1)_*=(F_0)_*$）。$\beta_\gamma\colon\pi_n(Y,g(x))\to\pi_n(Y,f(x))$ は同型なので、$f_*$ が同型であることと $g_*$ が同型であることは同値である。$\square$

$\pi_0$ と $\pi_n$ への誘導写像は合成を保つ：$h_*=g_*\circ f_*$（ホモトピー群の記事の命題「関手性とホモトピー不変性」。$\pi_0$ については道の像をとることから明らか）。
$f,g$ が弱ホモトピー同値の場合：$h_*=g_*\circ f_*$ は全単射（同型）の合成である。$\pi_n$ については $x\in X$ に対し、$f_*\colon\pi_n(X,x)\to\pi_n(Y,f(x))$ と $g_*\colon\pi_n(Y,f(x))\to\pi_n(Z,h(x))$ がともに同型である。
$g,h$ が弱ホモトピー同値の場合：$\pi_0$ では $f_*=g_*^{-1}\circ h_*$ は全単射である。$x\in X$ について、$g_*\colon\pi_n(Y,f(x))\to\pi_n(Z,h(x))$ は同型なので $f_*=g_*^{-1}\circ h_*$ は同型である。
$f,h$ が弱ホモトピー同値の場合：$\pi_0$ では $g_*=h_*\circ f_*^{-1}$ は全単射である。$y\in Y$ と $n\ge1$ をとる。$f_*\colon\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$ は全射なので、$y$ と同じ弧状連結成分に属する点 $f(x)$（$x\in X$）がある。点 $f(x)$ では $g_*\circ f_*=h_*$ と $f_*$ の同型性から $g_*=h_*\circ f_*^{-1}\colon\pi_n(Y,f(x))\to\pi_n(Z,g(f(x)))$ は同型である。lem-whe-basepoint を $g$ と同じ成分の 2 点 $f(x),y$ に使えば、$g_*\colon\pi_n(Y,y)\to\pi_n(Z,g(y))$ も同型である。$\square$

1：直積への連続写像は、各成分への連続写像の組と一対一に対応する（直積位相の普遍性）。したがって基点付き写像 $a\colon(S^n,s_0)\to(X\times Y,(x,y))$ は組 $(p\circ a,q\circ a)$ と一対一に対応し、基点を止めたホモトピー $A\colon S^n\times[0,1]\to X\times Y$ も成分のホモトピーの組と一対一に対応する。よって $(p_*,q_*)$ は全単射である。$p_*,q_*$ は準同型なので、$(p_*,q_*)$ は群の同型である。$\pi_0$ についても、$X\times Y$ の道は成分の道の組と一対一に対応するので、$(a,b)$ と $(a',b')$ が道で結べることは $a,a'$ と $b,b'$ がそれぞれ道で結べることと同値である。
2：$p'\circ(f\times g)=f\circ p$、$q'\circ(f\times g)=g\circ q$（$p',q'$ は $X'\times Y'$ の射影）なので、1 の同型のもとで $(f\times g)_*$ は $f_*\times g_*$ と一致する。$f_*,g_*$ が $\pi_0$ で全単射、各基点の $\pi_n$ で同型なので、$(f\times g)_*$ も同様である。$\square$

1：$K$ の連結部分集合は一点に限る。実際、$K$ の 2 点 $s< t$ の間に $K$ に属さない実数 $c$ をとると、$K\cap(-\infty,c)$ と $K\cap(c,\infty)$ は $K$ を二つの開集合に分け、$s,t$ を分離する。$[0,1]$ や $S^n$（$n\ge1$）の連続像は連結なので、$K$ への道や球面からの写像は定値である。よって $K$ の弧状連結成分は一点集合で、$\pi_0(K)=K$（一点集合と同一視）であり、各点の $\pi_n(K,k)$（$n\ge1$）は定値写像の類だけからなる自明な群である。離散空間 $\mathbb{N}$ についても同じである。$f$ は全単射なので $f_*\colon\pi_0(\mathbb{N})\to\pi_0(K)$ は全単射であり、$\pi_n$ は両辺とも自明な群なので同型である。
2：$K$ はコンパクトである（$0$ を含む開集合は有限個を除くすべての $1/n$ を含む）。連続写像 $g\colon K\to\mathbb{N}$ の像はコンパクトな離散空間なので有限集合である（一点集合からなる開被覆が有限部分被覆をもつ）。よって $g_*\colon\pi_0(K)\to\pi_0(\mathbb{N})=\mathbb{N}$ は無限集合 $K$ から有限集合への写像を経由し、単射でない。したがって $g$ は弱ホモトピー同値でない。$f$ がホモトピー同値なら、そのホモトピー逆写像 $g\colon K\to\mathbb{N}$ もホモトピー同値であり、prop-whe-he により弱ホモトピー同値になるので、これは起こらない。$\square$

CW 複体 $K,L$ とホモトピー同値写像 $a\colon K\to X$、$b\colon Y\to L$ をとる（ホモトピー同値は同値関係なので、向きはこのようにとれる。ホモトピー同値の記事の命題「合成と同値関係」）。$a,b$ は prop-whe-he により弱ホモトピー同値なので、thm-whe-two-of-three により $b\circ f\circ a\colon K\to L$ は弱ホモトピー同値であり、thm-whe-whitehead によりホモトピー同値である。$a,b$ のホモトピー逆写像を $a',b'$ とすると
$$ b'\circ(b\circ f\circ a)\circ a'=(b'\circ b)\circ f\circ(a\circ a')\simeq\operatorname{id}_Y\circ f\circ\operatorname{id}_X=f $$
である。左辺はホモトピー同値写像の合成なのでホモトピー同値であり（同記事の命題「合成と同値関係」）、それとホモトピックな $f$ もホモトピー同値である（同記事の命題「ホモトピックな写像への置換」）。$\square$

共通の CW 近似 $X\leftarrow Z\to Y$ があれば、それ自身がジグザグである。
逆に、ジグザグ $X=X_1,X_2,\dots,X_m=Y$ があるとする。$i$ についての帰納法で、CW 複体 $Z$ と弱ホモトピー同値 $z_1\colon Z\to X_1$、$z_i\colon Z\to X_i$ を作る。$i=1$ では thm-whe-cw-approx の 1 による CW 近似 $z_1\colon Z\to X_1$ をとり、$z_i:=z_1$ とする。$z_i$ まで作ったとする。
弱ホモトピー同値 $h\colon X_i\to X_{i+1}$ がある場合：$z_{i+1}:=h\circ z_i$ は thm-whe-two-of-three により弱ホモトピー同値である。
弱ホモトピー同値 $g\colon X_{i+1}\to X_i$ がある場合：$X_{i+1}$ の CW 近似 $w\colon W\to X_{i+1}$ をとる。$g\circ w\colon W\to X_i$ は弱ホモトピー同値なので、thm-whe-cw-approx の 3 を CW 複体 $Z$ に使うと $(g\circ w)_*\colon[Z,W]\to[Z,X_i]$ は全単射であり、連続写像 $k\colon Z\to W$ で $g\circ w\circ k\simeq z_i$ となるものがある。$z_{i+1}:=w\circ k\colon Z\to X_{i+1}$ とおく。$g\circ z_{i+1}$ は弱ホモトピー同値 $z_i$ とホモトピックなので prop-whe-homotopic により弱ホモトピー同値であり、$g$ も弱ホモトピー同値なので、thm-whe-two-of-three により $z_{i+1}$ は弱ホモトピー同値である。
$i=m$ まで進めば、$z_1\colon Z\to X$ と $z_m\colon Z\to Y$ が求める弱ホモトピー同値である。$\square$