導来圏
概要
導来圏（derived category）とは、アーベル圏 $\mathcal A$ 上の複体のホモトピー圏 $K(\mathcal A)$ を、擬同型のクラスでVerdier局所化して得られる三角圏 $D(\mathcal A):=K(\mathcal A)[\mathrm{Qis}^{-1}]$ のことをいう。擬同型を形式的に可逆化して、それで結ばれた複体を圏論的に同型として扱う枠組みであり、導来関手・$\operatorname{Ext}$・$\operatorname{Tor}$を統一的に記述する現代ホモロジー代数の中心的な舞台になる。
前提知識: 圏, アーベル圏, 複体とホモロジー, 導来関手, ホモトピー圏, 三角圏, Verdier局所化
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ に対し、ホモトピー圏 $K(\mathcal A)$ における擬同型（複体とホモロジー参照）のクラス $\mathrm{Qis}$ によるVerdier局所化
$$
D(\mathcal A):=K(\mathcal A)[\mathrm{Qis}^{-1}]
$$
を、$\mathcal A$ の導来圏（derived category）という。局所化関手を $Q\colon K(\mathcal A)\to D(\mathcal A)$ と書く（$K(\mathcal A)$ が三角圏であり、$\mathrm{Qis}$ がその整合的乗法系であることは、三角圏・Verdier局所化の記事の例で述べられている）。移動関手 $\Sigma$ の向きは三角圏の記事の規約 $(\Sigma X)_n=X_{n-1}$ に従う。
複体 $X_\bullet$ が下に有界（bounded below）であるとは、ある $N$ が存在して $n< N$ ならば $X_n=0$ となることをいう。上に有界（bounded above）・有界（bounded）も同様に定める（それぞれ $n>N$、$|n|>N$ で $X_n=0$）。$K(\mathcal A)$ の下に有界（resp. 上に有界、有界）な複体からなる充満三角部分圏（充満部分圏であって、$\Sigma^{\pm1}$ で閉じ、完全三角形の2つの頂点が属せば残りの頂点も属するもの）をそれぞれ $K^+(\mathcal A)$、$K^-(\mathcal A)$、$K^b(\mathcal A)$ と書く。これらの部分圏においても $\mathrm{Qis}$（の制限）は整合的乗法系であり（Wei94 §10.4）、これらを $\mathrm{Qis}$ で局所化して得られる三角圏をそれぞれ $D^+(\mathcal A)$、$D^-(\mathcal A)$、$D^b(\mathcal A)$（有界導来圏）と書く。
直感
導来圏は、擬同型を形式的に可逆化し、擬同型で結ばれた複体を同型として扱う圏である。ホモトピー圏は鎖ホモトピーという有限的な操作で結ばれた複体を同一視するにとどまるが、導来圏はさらに進んで、擬同型で結ばれた（一般には鎖ホモトピー同値ではない）複体まで同型としてしまう。ただし、次数ごとのホモロジー対象が抽象的に同型であるというだけでは、複体の間に擬同型や擬同型のジグザグが存在するとは限らず、導来圏で同型になるとは限らない。この結果、$D(\mathcal A)$ の対象は「複体」というよりも「その擬同型による局所化の中の対象」とみなすのが実情に近い。
この圏の射 $\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(X_\bullet,Y_\bullet)$ は、Verdier局所化の一般論により屋根 $X_\bullet\xleftarrow{s}X'_\bullet\xrightarrow{f}Y_\bullet$（$s$ は擬同型）の同値類として実現される。屋根が通常の鎖写像に簡約できるのは、次の2つの場合である。始域が入射対象・射影対象のうち射影対象からなる下に有界な複体 $P_\bullet$（射影分解がその典型）であれば $\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(P_\bullet,Y_\bullet)\cong\operatorname{Hom}_{K(\mathcal A)}(P_\bullet,Y_\bullet)$ が成り立ち、終域が入射対象からなる上に有界な複体 $I_\bullet$（入射分解がその典型）であれば $\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(X_\bullet,I_\bullet)\cong\operatorname{Hom}_{K(\mathcal A)}(X_\bullet,I_\bullet)$ が成り立つ（Wei94 §10.4）。すなわち、これらの場合には導来圏の射は鎖写像の鎖ホモトピー類にほかならない。こうして、導来関手の定義で用いた「分解を取ってから関手を適用する」という手続きが、$D(\mathcal A)$ の言葉では「関手を導来圏へ拡張する」という1つの操作として統一的に記述できるようになる。すなわち、導来関手の理論全体が $D(\mathcal A)$ 上の関手の理論として再定式化される——この視点は三角関手と導来関手の再定式化で扱う。
性質
$f\colon X_\bullet\to Y_\bullet$ が擬同型であるとは、まさに $H_n(f)$ がすべての $n$ で同型射であることをいう（複体とホモロジーの擬同型の定義）。したがって $H_n\colon K(\mathcal A)\to\mathcal A$ は $\mathrm{Qis}$ の元を同型射に送る関手である。$D(\mathcal A)=K(\mathcal A)[\mathrm{Qis}^{-1}]$ が満たす局所化の普遍性（Verdier局所化の定義、性質(2)）をこの $H_n$ に適用すると、$H_n=\bar H_n\circ Q$ を満たす関手 $\bar H_n\colon D(\mathcal A)\to\mathcal A$ が一意に（自然同型を除いて）存在する。$\blacksquare$
$\mathcal A$ が十分な入射対象を持つとし、$\mathcal I$ を入射対象からなる $\mathcal A$ の充満部分圏とする。このボックス内では添字 $+$ をコホモロジー的添字（$X^n:=X_{-n}$）で下に有界の意味で用いる。このとき、入射対象からなる複体のホモトピー圏 $K^+(\mathcal I)$ から導来圏への合成関手 $K^+(\mathcal I)\to K^+(\mathcal A)\to D^+(\mathcal A)$ は圏同値
$$
D^+(\mathcal A)\simeq K^+(\mathcal I)
$$
を与える。すなわち、有界な側の導来圏は、入射対象からなる複体のホモトピー圏と圏同値である（本記事のホモロジー的添字では添字が逆になる）。
thm-derived-category-injectivesは Wei94 §10.4 の結果であり、証明は本記事では割愛する。そこではコホモロジー的添字が用いられており、コホモロジー的に「下に有界」な複体は本記事のホモロジー的添字では上に有界である。したがって本記事の記法に直すと、主張は $D^-(\mathcal A)\simeq K^-(\mathcal I)$（$K^-(\mathcal I)$ は上に有界な入射対象の複体のホモトピー圏）となる。$\mathcal A$ が十分な射影対象を持つ場合には、双対的に、射影対象からなる下に有界な複体のホモトピー圏 $K^+(\mathcal P)$ について $D^+(\mathcal A)\simeq K^+(\mathcal P)$（ホモロジー的添字）が成り立つ。
例
アーベル圏 $\mathcal A$ の対象 $A$ を、次数 $0$ に集中した複体（$n=0$ で $A$、他は $0$）とみなすことで、$\mathcal A$ から $\mathrm{Ch}(\mathcal A)$、ひいては $D(\mathcal A)$ への関手が得られる。この関手は充満忠実関手であり（十分な入射対象の有無によらず一般に成り立つ。証明は本記事では割愛する。十分な入射対象がある場合は Wei94 §10.7 の $\operatorname{Ext}$ の記述で $n=0$ とおいた場合にあたる）、$\mathcal A$ を $D(\mathcal A)$ の充満部分圏とみなすことができる。2つの対象 $A,B\in\mathcal A$（次数 $0$ の複体とみる）に対しては
$$
\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(A,B)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(A,B)
$$
であるが、移動した対象との間の射 $\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(A,\Sigma^nB)$（$n\ge1$）は一般に非自明である。三角圏の記事の規約 $(\Sigma X)_n=X_{n-1}$ のもとで $\Sigma^nB$ は次数 $n$ に集中した複体であり、たとえば $\mathcal A$ の拡大 $0\to B\to E\to A\to0$ は $D(\mathcal A)$ の完全三角形 $B\to E\to A\to\Sigma B$ を与えるので、$\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(A,\Sigma B)$ の元を定める。さらに $\mathcal A$ が十分な入射対象（または十分な射影対象）を持てば、導来関手として定義されるExt関手について
$$
\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)\cong\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(A,\Sigma^nB)
$$
が成り立つ（Wei94 §10.7）。このように、導来圏は $\operatorname{Ext}$ 群を単なる射のHom集合として統一的に記述する。
関連項目
参考文献
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