モジュラー性定理
概要
モジュラー性定理（modularity theorem）とは、有理数体上の楕円曲線 $E$ の導手を $N$ とするとき、モジュラー曲線 $X_0(N)$ から $E$ への有理数体上で定義された全射が存在し、同じことだが、$E$ の L 関数がレベル $N$・重さ $2$ の正規化された新形式の L 関数に一致する、という定理である。良い還元の素数 $p$ での $p+1-\#\tilde E(\mathbb{F}_p)$ が、その新形式の Fourier 係数になる。谷山豊の問いと志村五郎の予想にさかのぼり、Wiles らが証明した。帰結として、導手 $N$ の $X_0(N)$ の種数は $1$ 以上で、導手は $11$ 以上である。
モジュラー性定理（modularity theorem）は、有理数体上のすべての楕円曲線 $E$ について、$E$ の導手を $N$ とすると、モジュラー曲線 $X_0(N)$ から $E$ への有理数体上で定義された全射があり、同じことだが、$E$ の L 関数がレベル $N$・重さ $2$ の正規化された新形式の L 関数に一致する、という定理である。素数 $p$ で還元した曲線の点の個数 $\#\tilde E(\mathbb{F}_p)$ という数論的な量が、上半平面上の 1 つの正則関数の Fourier 係数としてそろって並ぶ、というのが主張の中身である。
この主張は谷山豊（Yutaka Taniyama）が 1955 年に出した問題と志村五郎（Goro Shimura）の予想にさかのぼる。Wiles が Taylor の助けを得て半安定な曲線の場合を証明し（1995 年刊行）、Breuil・Conrad・Diamond・Taylor がすべての曲線に広げた。半安定な場合だけで Fermatの最終定理 が従う。
この記事では、モジュラーな楕円曲線の 2 つの定義と定理の主張を述べ、そこから従うこととして、導手 $N$ のモジュラー曲線 $X_0(N)$ の種数が $1$ 以上であること（とくに導手は $11$ 以上であること）と、導手 $11$ の曲線の L 関数がすべて一致することを証明する。また、主張の形を 1 つずつ崩した反例を確かめる。モジュラー性定理そのものと、2 つの定義の同値性は、この記事では証明しない（所在を示して引用する）。証明の筋は最後の節で紹介する。
記号と定義
$q=e^{2\pi i\tau}$（$\tau\in\mathfrak{H}$）とし、$S_2(\Gamma_0(N))$ を $\Gamma_0(N)$ に関する重さ $2$ の尖点形式の空間とする。$\gcd(n,N)=1$ の $n$ について、$S_2(\Gamma_0(N))$ には Hecke作用素 $T_n$ が働く（同記事の補足「合同部分群」）。
$M$ が $N$ の真の約数のとき、レベル $M$ の尖点形式 $g$ から $g(d\tau)$（$dM\mid N$）として得られる形式を 旧形式 といい、旧形式の張る部分空間の Petersson 内積についての直交補空間を 新形式の空間 $S_2^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(N))$ という。Atkin–Lehner の定理により、$S_2^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(N))$ は $\gcd(n,N)=1$ のすべての $T_n$ の同時固有空間で 1 次元のものの直和に分かれ、各部分空間には $q$ の係数が $1$ の元がただ 1 つある（Mil21 Theorem V.4.20、p. 206 と pp. 207–208。この記事では証明しない）。この元を 正規化された新形式 という。$f=\sum_{n\ge1}c(n)q^n$ について $L(f,s):=\sum_{n\ge1}c(n)n^{-s}$ とおく。
楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ の側では、楕円曲線のL関数 の定義「楕円曲線のL関数」のとおり、良い還元の素数 $p$ で $a_p:=p+1-\#\tilde E(\mathbb{F}_p)$ とおき、$L(E,s)=\sum_{n\ge1}a_nn^{-s}$ と展開する。L 関数が等しいとは、この Dirichlet 級数の係数がすべて等しいことである。
$E$ を有理数体上の楕円曲線とする。
- ある $N\ge1$ について、有理数体上で定義された定数でない射 $\varphi\colon X_0(N)\to E$ があるとき、$E$ は モジュラー であるという。$\varphi$ を モジュラー・パラメータ表示（modular parametrization）という。
- $S_2(\Gamma_0(N))$ の正規化された新形式 $f$ で $L(E,s)=L(f,s)$ となるものがあるとき、$E$ は レベル $N$ でモジュラー であるという。
曲線の射は定数でなければ全射なので（Sil09 Theorem II.2.3、p. 20）、1 は「全射 $X_0(N)\to E$ がある」と言っても同じである。
1 と 2 は同値である（Mil21 p. 208 の脚注 12）。2 から 1 へは、$f$ から Eichler–志村の構成で楕円曲線 $E_f$ と射 $X_0(N)\to E_f$ を作り（Eichler–志村の関係式 の定理「楕円曲線 $E_f$ の構成」）、$L(E,s)=L(E_f,s)$ から Faltings の定理により $E$ と $E_f$ が同種であることを使って、同種写像と合成する。1 から 2 へは、$E$ の不変微分を $\varphi$ で引き戻した 1 形式から重さ $2$ の尖点形式を作る。この記事では証明しない。
主張
$E$ を有理数体上の楕円曲線、$N$ をその導手（楕円曲線の導手）とする。
- $S_2(\Gamma_0(N))$ の正規化された新形式 $f_E=\sum_{n\ge1}c(n)q^n$ で、$L(E,s)=L(f_E,s)$ をみたすものがある。とくに、$E$ が良い還元をもつ素数 $p$ について $c(p)=p+1-\#\tilde E(\mathbb{F}_p)$ である。
- 有理数体上で定義された全射 $X_0(N)\to E$ がある。
この記事では証明しない。1 は Mil21 Conjecture V.5.4（p. 209）で、同書 p. 210 はこれが Wiles らによって定理になったこと（モジュラー性定理）を述べる。2 は Sil09 Theorem C.13.6（p. 442。レベルを導手にとれることも同じ箇所）であり、同書 Theorem C.16.4（p. 451）は、$L(E,s)$ の係数を並べた $f_E$ が $\Gamma_0(N)$ に関する重さ $2$ の尖点形式で、$N$ を割らない $p$ の $T_p$ の固有形式であり、$X_0(N)\to E$ がとれることを合わせて述べる。Zag08 §4.4（p. 46）にも主張がある。半安定な曲線の場合を Wiles（Taylor との共同の段を含む）が 1995 年に刊行し、Breuil・Conrad・Diamond・Taylor がすべての曲線に広げた（Mil21 pp. 209–210、Zag08 p. 46）。
$L(E,s)$ は $E$ の同種類だけで決まり（楕円曲線のL関数 の節「使い所」）、Dirichlet 級数は係数を決めるので、$f_E$ は $E$ の同種類から一意に決まる。逆に、係数がすべて整数の正規化された新形式 $f$ には Eichler–志村の構成で $E_f$ が対応する（Eichler–志村の関係式）。この 2 つを合わせると、有理数体上の楕円曲線の同種類と、レベル $N$・重さ $2$・係数が有理数の正規化された新形式とが、導手とレベルをそろえて一対一に対応する（Mil21 p. 210）。
名前と歴史． 1955 年の東京・日光での代数的整数論の会議で谷山豊が配った問題は、代数体上の楕円曲線の L 関数が保型形式から来るかを漠然とした形で問うたものだった。志村五郎は有理数体上のすべての楕円曲線がモジュラーであると予想した。A. Weil の 1967 年の論文は、L 関数とその捻りが良い関数等式をもてば曲線はモジュラーであること（逆定理）を示し、導手とレベルの一致を含めた形で予想を広く知らせた（Mil21 p. 209 と脚注 13・14、Sil09 Remark C.13.6.1、p. 443）。そのため「谷山–志村予想」「志村–谷山予想」「谷山–Weil 予想」などと呼ばれてきた。
モジュラー性から従うこと
まず、モジュラー性から L 関数の性質が出る。楕円曲線のL関数 の定理「関数等式」は、$f_E$ が Fricke の対合の固有ベクトルであることと Hecke の議論から、完備化した $\Lambda(E,s)$ が $\mathbb{C}$ 全体に延び $s\leftrightarrow2-s$ の関数等式をみたすことを導いている。次に、レベルと種数の関係を示す。
$C,C'$ をコンパクトかつ連結な Riemann 面、$\phi\colon C\to C'$ を定数でない正則写像とする。このとき $g(C)\ge g(C')$ である（$g$ は種数）。
$\phi$ の次数を $d\ge1$ とする。Riemann–Hurwitzの公式 の定理「Riemann–Hurwitzの公式」により
$$
2g(C)-2=d\bigl(2g(C')-2\bigr)+\sum_{x\in C}\bigl(e_x(\phi)-1\bigr)\ge d\bigl(2g(C')-2\bigr)
$$
である（分岐指数は $e_x(\phi)\ge1$）。$g(C')=0$ なら主張は $g(C)\ge0$ で明らかである。$g(C')\ge1$ なら $2g(C')-2\ge0$ と $d\ge1$ から $d(2g(C')-2)\ge2g(C')-2$ で、$2g(C)-2\ge2g(C')-2$、すなわち $g(C)\ge g(C')$ である。$\square$
有理数体上の楕円曲線 $E$ の導手を $N$ とすると、$X_0(N)$ の種数は $1$ 以上である。とくに $N$ は $1,2,\dots,10,12,13,16,18,25$ のどれでもなく、$N\ge11$ である。
thm-mt-main の 2 により、有理数体上で定義された全射 $\varphi\colon X_0(N)\to E$ がある。$X_0(N)$ の有理数体上のモデルの複素数点は、モジュラー曲線 の定理「Riemann面の構造」のコンパクトで連結な Riemann 面 $X_0(N)$ であり（同記事の節「有理数体上のモデルとモジュラー性」）、$E(\mathbb{C})$ は種数 $1$ のコンパクト Riemann 面（複素トーラス）である。代数的な射 $\varphi$ は複素数点の上で定数でない正則写像を与えるので、lem-mt-genus により $g(X_0(N))\ge g(E)=1$ である。
種数が $0$ になるレベルを除く。素数 $p$ については、モジュラー曲線 の定理「$X_0(p)$ の不変量」と例「小さいレベルでの不変量」・例「$X_0(11)$ と $X_0(13)$」により $X_0(2)$、$X_0(3)$、$X_0(13)$ の種数は $0$ であり、同じ定理から $p=5=12\cdot0+5$、$p=7=12\cdot0+7$ でも種数は $n=0$ である。$X_0(1)$ は Riemann 球面と同型で種数 $0$ である（同記事の注意「Riemann面の構造の出典」）。合成数 $N=4,6,8,9,10,12,16,18,25$ で種数が $0$ であることは Mil21 p. 181 の一覧による。これらの $N$ は導手になれない。$1$ から $10$ までがすべて除かれるので $N\ge11$ である。$\square$
導手 $11$ の曲線は実際にある（次の例）ので、評価 $N\ge11$ は最良である。
$E\colon y^2+y=x^3-x^2$ の判別式は $-11$ である（$b_2=-4$、$b_4=0$、$b_6=1$、$b_8=-1$ から $\Delta=-b_2^2b_8-8b_4^3-27b_6^2+9b_2b_4b_6=16-27$）。よって $E$ は $11$ 以外の素数で良い還元をもち、$v_{11}(\Delta)=1<12$ なのでこの方程式は極小で、$c_4=16$ は $11$ で割れないので $11$ で乗法的還元をもち、導手は $11$ である（楕円曲線の導手 の定理「還元の型と導手の指数」。Zag08 p. 44 も、$y$ を $-y$ に替えるとこの曲線になる $Y^2-Y=X^3-X^2$ を導手 $11$ の曲線として挙げる）。
$S_2(\Gamma_0(11))$ は 1 次元で $f(\tau)=q\prod_{n\ge1}(1-q^n)^2(1-q^{11n})^2$ で張られる（Sil09 Example C.12.13、p. 438 と Remark C.12.17、p. 439。この記事では証明しない）。レベル $1$ の重さ $2$ の尖点形式は $0$ だけなので（尖点形式 の定理「レベル 1 の空間と次元」）、レベル $11$ には旧形式がなく、$f$ は $c(1)=1$ なので、レベル $11$ のただ 1 つの正規化された新形式である。したがって thm-mt-main により、導手 $11$ のどの楕円曲線 $E'$ も $L(E',s)=L(f,s)$ をみたし、互いに同じ $a_p$ をもつ。
$f$ の係数を $q$ 展開から計算し、$E$ と、Eichler–志村の関係式 の例「レベル 11」の曲線 $E''\colon y^2+y=x^3-x^2-10x-20$ の点を数えると、次のように一致する（有限の計算）。
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $c(p)$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $-2$ | $4$ | $-2$ | $0$ | $-1$ |
| $\#\tilde E(\mathbb{F}_p)$ | $5$ | $5$ | $5$ | $10$ | $10$ | $20$ | $20$ | $25$ |
$E$ については $400$ 未満の $11$ でない素数すべてで $p+1-\#\tilde E(\mathbb{F}_p)=c(p)$ を確かめた。悪い素数でも、$E$ の $a_{11}=11-\#\tilde E_{\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_{11})=1$（分裂乗法的還元）は $c(11)=1$ に一致する。$E$ と $E''$ は判別式が $-11$ と $-11^5$ で異なり同型ではないが、L 関数は等しく、同種である（楕円曲線のL関数 の節「使い所」の Faltings の定理）。
$p\ge5$ を素数とし、$a^p+b^p+c^p=0$ をみたす互いに素な $0$ でない整数があるとする。$a,b,c$ を並べ替え符号を調整して $b$ が偶数、$a\equiv-1\pmod4$ とすると、Frey 曲線 $y^2=x(x-a^p)(x+b^p)$ は半安定で、導手は $abc$ を割る素数の積である（Fermatの最終定理 の節「Frey 曲線と Wiles の証明」）。半安定な場合のモジュラー性によりこの曲線はモジュラーだが、Ribet の定理によればモジュラーなら水準 $2$・重さ $2$ の尖点形式が要り、$X_0(2)$ の種数は $0$ なので $S_2(\Gamma_0(2))=0$ である（尖点形式 の補足）。この矛盾から指数 $p$ の解はない。cor-mt-conductor-genus と同じく、ここでも $X_0(2)$ の種数が $0$ であることが効いている。Ribet の定理と半安定な場合のモジュラー性はこの記事では証明しない。
反例
thm-mt-main の $f_E$ は「重さが $2$」「同時固有形式」「レベルが $E$ の導手で新形式」という性質をもち、射 $X_0(N)\to E$ のレベルは導手である。表の各行は、そのうち 1 つだけを外すと楕円曲線との対応が崩れることを示す。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 射のレベルを導手 $N$ にとる（thm-mt-main の 2） | 導手 $11$ の $E$ と $X_0(M)$、$1\le M\le10$ | 定数でない射 $X_0(M)\to E$ がある |
| 重さ $2$ | 重さ $12$ の $\Delta=\sum\tau(n)q^n$ | ある楕円曲線 $E$ で $L(E,s)=L(\Delta,s)$ |
| 同時固有形式 | $h=\frac12(f_{37\mathrm{a}}+f_{37\mathrm{b}})\in S_2(\Gamma_0(37))$ | ある楕円曲線 $E$ で $L(E,s)=L(h,s)$ |
| レベルの新形式 | $f=q\prod(1-q^n)^2(1-q^{11n})^2$ を $S_2(\Gamma_0(22))$ の元と見る | 導手 $22$ の $E$ で $L(E,s)=L(f,s)$ |
表の各行の確認を開く
1 行目：$1\le M\le10$ では $X_0(M)$ の種数は $0$ で（prf-cor-mt-conductor-genus）、$E$ の種数は $1$ なので、lem-mt-genus により定数でない正則写像 $X_0(M)\to E$ はない。導手 $11$ の $E$ は ex-mt-level-11 にある。
2 行目：$\Delta$ はレベル $1$ の正規化された同時固有形式で係数は整数であり、$\tau(2)=-24$ である（Hecke作用素 の例「判別式関数と Ramanujan の $\tau$ 関数」）。楕円曲線 $E$ が $2$ で良い還元をもてば Hasseの定理(楕円曲線) により $\lvert a_2\rvert\le2\sqrt2< 3$、悪い還元なら $a_2\in\{0,\pm1\}$（楕円曲線のL関数 の命題「悪い素数での係数」）なので、$a_2=-24$ となる $E$ はない。
3 行目：$E_{37\mathrm{a}}\colon y^2+y=x^3-x$ と $E_{37\mathrm{b}}\colon y^2+y=x^3+x^2-23x-50$ の判別式は $37$ と $37^3$、$c_4$ は $48$ と $1120$ で、ともに $37$ で割れない。$v_{37}(\Delta)<12$ なのでどちらの方程式も極小であり、よってどちらも $37$ 以外で良い還元、$37$ で乗法的還元をもち（Sil09 Proposition VII.5.1、p. 196）、導手は $37$ である。thm-mt-main の 1 の $f_{37\mathrm{a}}$、$f_{37\mathrm{b}}$ は $S_2(\Gamma_0(37))$ の元で、係数は各曲線の $a_n$ である。点を数えると $(a_2,a_3)$ は $E_{37\mathrm{a}}$ で $(-2,-3)$、$E_{37\mathrm{b}}$ で $(0,1)$ で、乗法性から $a_6$ は $6$ と $0$ である。$h$ は重さ $2$、$c(1)=1$ の尖点形式で、係数は $c(2)=-1$、$c(3)=-1$、$c(6)=3$ である。楕円曲線の $a_n$ は $a_6=a_2a_3$ をみたす（楕円曲線のL関数 の定理「絶対収束」の 2）が、$c(2)c(3)=1\ne3=c(6)$ なので、$L(h,s)$ はどの $L(E,s)$ とも一致しない。
4 行目：$\Gamma_0(22)\subset\Gamma_0(11)$ なので $f\in S_2(\Gamma_0(22))$ で、重さ $2$、$c(1)=1$、係数は整数であり、$\gcd(n,22)=1$ の $T_n$ の固有形式だが、レベル $11$ から来た旧形式である。導手 $22$ の曲線は $2$ で悪い還元をもつので $a_2\in\{0,\pm1\}$ だが、$c(2)=-2$ である（Eichler–志村の関係式 の反例の表の 2 行目と同じ）。$\square$
証明の筋
この節の主張はすべて引用であり、この記事では証明しない。所在は Mil21 Chapter V §8（pp. 219–223）である。
- Galois 表現に移す． 素数 $\ell$ について、$E$ の $\ell$ 進 Tate 加群 $T_\ell E$ への絶対 Galois 群の作用 $\rho_{E,\ell}$ を考える（Tate加群、Galois表現）。$E$ が良い還元をもち $\ell$ と異なる素数 $p$ では、Frobenius 元の跡は $a_p$ に等しい（Mil21 Proposition V.8.3、p. 221）。Frobenius の跡がある重さ・あるレベルの尖点形式の係数 $c(p)$ と一致するとき表現を モジュラー といい、$E$ がモジュラーであることは、ある $\ell$ で $\rho_{E,\ell}$ がモジュラーであることと同じである（同 Definition V.8.4 とその後、p. 221）。
- 法 $3$ の表現． 有限体 $\mathbb{F}_3$ に値をもつ奇で既約な 2 次元表現はモジュラーである（Langlands–Tunnell の定理、Mil21 Theorem V.8.6、p. 222）。$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ が $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ に埋め込めることを使い、複素数係数の表現についての保型性の結果から導かれる。
- 持ち上げのモジュラー性． 法 $\ell$ の表現 $\bar\rho$ がモジュラーなとき、半安定な楕円曲線の Tate 加群がみたす条件をもつ $\bar\rho$ の変形の普遍環 $R$ から、モジュラーな変形の Hecke 環 $\mathbb{T}$ への全射 $R\to\mathbb{T}$ が同型になる（Wiles、Mil21 Theorem V.8.7、p. 222）。したがって、$E[3]$ の表現が既約なら 2 と合わせて $\rho_{E,3}$ はモジュラーで、$E$ はモジュラーである。
- 3–5 の切り替え． $E[3]$ と $E[5]$ の表現がともに可約になることはない（そうなると $E$ か同種な曲線が位数 $15$ の有理点をもつが、Mazur の定理によりそれは起こらない）。$E[3]$ が可約なときは、$E'[3]$ が既約で $E'[5]\cong E[5]$ となる半安定な $E'$ を見つけ、3 を $E'$ に当てて $E[5]$ のモジュラー性を得てから、$\ell=5$ で 3 の議論を繰り返す（Mil21 pp. 222–223）。
半安定の仮定は 3 の条件に使われており、Breuil・Conrad・Diamond・Taylor はこれを外した（Mil21 p. 210、Zag08 p. 46）。
使い所と広がり
- Fermat の最終定理． 半安定な場合で足りる（ex-mt-fermat、Fermatの最終定理）。
- L 関数と Birch–Swinnerton-Dyer 予想． 関数等式が使えるので $s=1$ での零点の位数が意味をもつ（楕円曲線のL関数 の系「符号と $s=1$ での零点」）。Gross と Zagier の公式は、モジュラー曲線の上の特別な点をモジュラー・パラメータ表示で $E$ に押し出した Heegner 点の高さを L 関数の微分の値と結びつけるもので、モジュラーな曲線について述べられている（Mil21 Chapter IV §10、p. 168、Birch–Swinnerton-Dyer予想）。
- 逆向き． 係数が整数の正規化された新形式から楕円曲線を作り、係数を点の個数として読むのが Eichler–志村の関係式 である。
- ほかの体． 有理数体以外の代数体上の楕円曲線については、有限次拡大の上でモジュラー（保型的）になること（潜在的保型性）が、CM 体上の曲線とその対称冪について知られている（ACC+18 Theorem 1.0.1、p. 3）。佐藤–Tate予想 の証明はこの種の結果による。
関連項目
参考文献
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