Weylの補題
概要
Weylの補題（Weyl's lemma）とは、開集合 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 上の局所可積分関数 $u$ がすべてのテスト関数 $\varphi$ について $\int_\Omega u\,\Delta\varphi\,dx=0$ を満たす（弱調和である）なら、$u$ はほとんど至る所で調和関数に等しい、という定理である。より一般に、超関数の意味で $\Delta T=0$ を満たす超関数 $T$ は調和関数で表される。弱い意味の解が自動的に滑らかな古典解になることを示す楕円型方程式の正則性の最も基本的な例で、軟化子による平滑化と平均値の性質から証明できる。帰結として、$\Delta u$ が滑らかなら $u$ も滑らかである。
前提知識: 超関数, 調和関数, 畳み込み, Lebesgue積分
Weylの補題（Weyl's lemma）とは、開集合 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 上の局所可積分関数 $u$ が、すべてのテスト関数 $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について
$$
\int_\Omega u(x)\,\Delta\varphi(x)\,dx=0
$$
を満たすなら、$u$ はほとんど至る所で $\Omega$ 上の調和関数に等しい、という定理である。より一般に、超関数 $T$ が超関数の意味で $\Delta T=0$ を満たすなら、$T$ は調和関数（したがって $C^\infty$ 級の関数）で表される。
上の積分の条件は、部分積分によって「$\Delta u=0$」を、$u$ を微分せずに述べ直したものである。$u$ が $C^2$ 級ならこの条件は $\Delta u=0$ と同値だが、条件そのものは $u$ が微分できるかどうかを問わない。Weyl の補題は、この弱い意味で Laplace 方程式を満たす関数が、実は自動的に滑らかで、普通の意味の調和関数であることを主張する。偏微分方程式の解を、まず弱い意味で（たとえば Hilbert 空間の方法で）作り、あとで滑らかさを示すという現代的な手順の、最も基本的な例である。この現象を一般の楕円型作用素に広げたものが 楕円正則性 であり、Hodge 理論で調和形式の存在を示すときの要になる。
この記事では、軟化子（mollifier）による平滑化と調和関数の平均値の性質だけを使って、局所可積分関数の場合と超関数の場合の両方を完全に証明する。帰結として、調和関数の列の弱い意味の極限が調和であること、$\Delta u$ が滑らかなら $u$ も滑らかであることを導く。
定義
以下 $n\ge1$、$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を空でない開集合とする。$L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ は、$\Omega$ の各コンパクト集合の上で可積分な可測関数（ほとんど至る所で等しいものを同一視する）の全体、$C_c^\infty(\Omega)$ は $\Omega$ に含まれるコンパクトな台をもつ $C^\infty$ 級関数（テスト関数）の全体である。関数が 調和 であるとは、$C^2$ 級で $\Delta u=\sum_i\partial_i^2u=0$ となることをいう（調和関数）。
$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ が $\Omega$ 上で 弱調和（weakly harmonic）であるとは、すべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について
$$
\int_\Omega u\,\Delta\varphi\,dx=0
$$
が成り立つことをいう。より一般に、超関数 $T\in\mathcal D'(\Omega)$ が 超関数の意味で調和 であるとは、$\Delta T=0$、すなわちすべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $\langle T,\Delta\varphi\rangle=0$ となることをいう。
$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ が弱調和であることは、$u$ の定める正則超関数 $T_u\colon\varphi\mapsto\int u\varphi\,dx$ が超関数の意味で調和であることと同じである（超関数 の記事の定義「超関数微分」により $\langle\Delta T_u,\varphi\rangle=\langle T_u,\Delta\varphi\rangle$）。
調和関数は弱調和である。実際、$u$ が $C^2$ 級なら 超関数 の記事の命題「超関数微分は超関数であり古典微分を延長する」により $\Delta T_u=T_{\Delta u}$ であり、$\Delta u=0$ なら $\Delta T_u=0$ である。したがって、$C^2$ 級の関数については「弱調和」と「調和」は同じ意味である。
$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ が弱調和なら、$\Omega$ 上の調和関数 $h$ があって、ほとんど至る所で $u=h$ である。特に $u$ は（ほとんど至る所で等しい関数に取り替えると）$C^\infty$ 級である。
$u$ が弱調和であるとは $T_u$ が超関数として調和であること、すなわち $\Delta T_u=0$ であることだった。したがって、この定理は次の超関数版で $T=T_u$ とおいた特別な場合であり、超関数版の方が強い主張である。証明はこの記事の後半で、軟化子による平滑化と平均値の性質から与える。
$T\in\mathcal D'(\Omega)$ が $\Delta T=0$ を満たすなら、$\Omega$ 上の調和関数 $h$ があって $T=T_h$、すなわちすべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $\langle T,\varphi\rangle=\int_\Omega h\varphi\,dx$ である。
「ほとんど至る所で」は外せない。弱調和の条件は積分だけで述べられているので、測度 $0$ の集合の上で値を変えても変わらない（下の反例の表の最後の行）。
軟化子
証明の道具は、関数を小さな球の上で平均して滑らかにする操作である。
$\rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ が （球対称な）軟化子 であるとは、$\rho\ge0$、$\operatorname{supp}\rho\subset\overline B(0,1)$、$\int_{\mathbb{R}^n}\rho\,dx=1$ で、$\rho(x)$ が $|x|$ だけで決まることをいう。$\varepsilon>0$ について $\rho_\varepsilon(x):=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)$ とおく。
$\rho_\varepsilon$ も $\ge0$、$\operatorname{supp}\rho_\varepsilon\subset\overline B(0,\varepsilon)$、$\int\rho_\varepsilon=1$（変数変換 $x=\varepsilon z$）で球対称であり、特に $\rho_\varepsilon(-x)=\rho_\varepsilon(x)$ である。軟化子は存在する：$\theta(s):=e^{-1/s}$（$s>0$）、$\theta(s):=0$（$s\le0$）は $\mathbb{R}$ 上の $C^\infty$ 級関数なので、$\rho(x):=c\,\theta(1-|x|^2)$ とし、定数 $c>0$ を積分が $1$ になるように選べばよい。
$\theta$ が $C^\infty$ 級であることを開く
$s>0$ では帰納法により $\theta^{(k)}(s)=p_k(1/s)e^{-1/s}$（$p_k$ は多項式）となる。$t=1/s\to\infty$ で $t^me^{-t}\to0$ だから $\theta^{(k)}(s)\to0$（$s\downarrow0$）であり、$s=0$ での右微分係数も帰納的に $\lim_{s\downarrow0}\theta^{(k)}(s)/s=\lim t\,p_k(t)e^{-t}=0$ となって、すべての階数の導関数が $s=0$ で $0$ として存在し連続である。$1-|x|^2$ は多項式なので合成も $C^\infty$ 級である。
$\Omega_\varepsilon:=\{x\in\Omega\mid\overline B(x,\varepsilon)\subset\Omega\}$ とおく（$\Omega$ の境界から $\varepsilon$ より遠い点の集合）。$\Omega_\varepsilon$ は開集合で、$\varepsilon$ が小さくなると大きくなり、$\bigcup_{\varepsilon>0}\Omega_\varepsilon=\Omega$ である。$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に対し
$$ u_\varepsilon(x):=\int_\Omega u(y)\,\rho_\varepsilon(x-y)\,dy\qquad(x\in\Omega_\varepsilon) $$
と定める。被積分関数は $y\in\overline B(x,\varepsilon)$ の外で $0$ なので、積分はコンパクト集合 $\overline B(x,\varepsilon)\subset\Omega$ の上の積分であり、有限である。$u_\varepsilon$ は $u$ の $x$ のまわりの重み付き平均である（畳み込み $u*\rho_\varepsilon$ を $\Omega_\varepsilon$ に制限したもの。この記事の畳み込みには正規化の定数 $(2\pi)^{-n/2}$ を付けない）。
$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$、$\varepsilon>0$ とする。
- $u_\varepsilon$ は $\Omega_\varepsilon$ 上 $C^\infty$ 級で、各多重指数 $\alpha$ について $\partial^\alpha u_\varepsilon(x)=\int_\Omega u(y)\,(\partial^\alpha\rho_\varepsilon)(x-y)\,dy$ である。
- $\varphi$ が連続で $\operatorname{supp}\varphi$ が $\Omega_\varepsilon$ のコンパクト集合なら、$\displaystyle\int_\Omega u_\varepsilon\,\varphi\,dx=\int_\Omega u\,(\rho_\varepsilon*\varphi)\,dy$ である。ここで $(\rho_\varepsilon*\varphi)(y)=\int\rho_\varepsilon(y-x)\varphi(x)\,dx$ である。
- $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ なら $\rho_\varepsilon*\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$、$\operatorname{supp}(\rho_\varepsilon*\varphi)\subset\operatorname{supp}\varphi+\overline B(0,\varepsilon)$ であり、$\varepsilon\to0$ のとき各 $\alpha$ について $\partial^\alpha(\rho_\varepsilon*\varphi)=\rho_\varepsilon*\partial^\alpha\varphi$ は $\partial^\alpha\varphi$ に一様収束する。
要点：1 は積分記号下の微分、2 は Fubini の定理、3 は一様連続性による。
詳しい証明を開く
1．$x_0\in\Omega_\varepsilon$ をとり、$\overline B(x_0,\varepsilon+2\eta)\subset\Omega$ となる $\eta>0$ を選ぶ（$\Omega_\varepsilon$ は開集合で、$\overline B(x_0,\varepsilon)$ はコンパクトなので $\Omega$ の補集合から正の距離にある）。$x\in B(x_0,\eta)$ なら $y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$ の台はコンパクト集合 $L:=\overline B(x_0,\varepsilon+\eta)$ に入る。$\partial^\alpha\rho_\varepsilon$ は有界で一様連続だから、$x\in B(x_0,\eta)$、$0<|t|<\eta$ について差分商 $\bigl(\partial^\beta\rho_\varepsilon(x+te_i-y)-\partial^\beta\rho_\varepsilon(x-y)\bigr)/t$ は平均値の定理により $\sup|\partial_i\partial^\beta\rho_\varepsilon|$ で抑えられ、$t\to0$ で $\partial_i\partial^\beta\rho_\varepsilon(x-y)$ に収束する。$u$ は $L$ 上で可積分なので、優収束定理により積分記号の下で微分でき、帰納法で 1 の式を得る。右辺が $x$ について連続であることも同じ理由による。
2．関数 $(x,y)\mapsto u(y)\rho_\varepsilon(x-y)\varphi(x)$ は、$x\in\operatorname{supp}\varphi$、$y\in\operatorname{supp}\varphi+\overline B(0,\varepsilon)$（$\Omega$ のコンパクト集合）の外で $0$ であり、絶対値の積分は $\sup|\varphi|\cdot\sup\rho_\varepsilon\cdot\lvert\operatorname{supp}\varphi\rvert\cdot\int_{\operatorname{supp}\varphi+\overline B(0,\varepsilon)}|u|<\infty$ である。Fubini の定理で積分の順序を入れ替えると、$\rho_\varepsilon(x-y)=\rho_\varepsilon(y-x)$ から主張の式になる。
3．1 と同じ議論（$u$ を $\varphi$ に替え、微分を $\varphi$ の側に移す）で $\rho_\varepsilon*\varphi(y)=\int\rho_\varepsilon(z)\varphi(y-z)\,dz$ は $C^\infty$ 級で $\partial^\alpha(\rho_\varepsilon*\varphi)=\rho_\varepsilon*\partial^\alpha\varphi$ である。$\varphi(y-z)\ne0$ なら $y\in\operatorname{supp}\varphi+\overline B(0,\varepsilon)$ なので台の主張が従う。最後に、$g:=\partial^\alpha\varphi$ は一様連続で、$\int\rho_\varepsilon=1$、$\rho_\varepsilon\ge0$ だから $|\rho_\varepsilon*g(y)-g(y)|\le\int\rho_\varepsilon(z)|g(y-z)-g(y)|\,dz\le\sup_{|z|\le\varepsilon}\sup_y|g(y-z)-g(y)|\to0$ である。
次の補題が証明の鍵である。調和関数は、球対称な重みで平均しても変わらない。
$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$h$ を $U$ 上の調和関数とし、$U_\varepsilon:=\{x\in U\mid\overline B(x,\varepsilon)\subset U\}$ とする。$x\in U_\varepsilon$ なら $h_\varepsilon(x)=h(x)$ である。
$n\ge2$ とする。$\rho_\varepsilon(z)=\tilde\rho(|z|)$ と書く。極座標の公式（調和関数 の記事の注意「この記事で使う積分の基本事項」の 1。$S$ は単位球面、$\sigma$ は正規化された表面積測度）により
$$
h_\varepsilon(x)=\int_{B(0,\varepsilon)}h(x-z)\rho_\varepsilon(z)\,dz=nV(B)\int_0^\varepsilon r^{n-1}\tilde\rho(r)\int_Sh(x-r\zeta)\,d\sigma(\zeta)\,dr
$$
である。$0< r<\varepsilon$ なら $\overline B(x,r)\subset U$ で、$\sigma$ は $\zeta\mapsto-\zeta$ で不変なので、調和関数 の記事の定理「平均値の性質」により内側の積分は $\int_Sh(x+r\zeta)\,d\sigma(\zeta)=h(x)$ である。よって
$$
h_\varepsilon(x)=h(x)\cdot nV(B)\int_0^\varepsilon r^{n-1}\tilde\rho(r)\,dr=h(x)\int_{\mathbb{R}^n}\rho_\varepsilon\,dz=h(x)
$$
である（最後から 2 番目の等号は極座標の公式を $\rho_\varepsilon$ に使ったもの）。$n=1$ では調和関数は 1 次関数 $h(x)=px+q$ で、$\rho_\varepsilon$ が偶関数なので $\int(p(x-z)+q)\rho_\varepsilon(z)\,dz=px+q$ である。$\square$
主定理の証明
$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ を弱調和とする。
段 1（平滑化したものは調和）． $x\in\Omega_\varepsilon$ なら、関数 $\psi_x(y):=\rho_\varepsilon(x-y)$ は台が $\overline B(x,\varepsilon)\subset\Omega$ に入るテスト関数である。連鎖律から $\Delta_y\bigl[\rho_\varepsilon(x-y)\bigr]=(\Delta\rho_\varepsilon)(x-y)$（符号 $(-1)^2=1$）なので、lem-weyl-mollification の 1 と弱調和性により
$$
\Delta u_\varepsilon(x)=\int_\Omega u(y)\,(\Delta\rho_\varepsilon)(x-y)\,dy=\int_\Omega u\,\Delta\psi_x\,dy=0
$$
である。よって $u_\varepsilon$ は $\Omega_\varepsilon$ 上の調和関数である。
段 2（平滑化の幅によらない）． $\varepsilon,\delta>0$ とし、$x\in\Omega_{\varepsilon+\delta}$ とする。$z\in\overline B(x,\delta)$ なら $\overline B(z,\varepsilon)\subset\overline B(x,\varepsilon+\delta)\subset\Omega$ なので $\overline B(x,\delta)\subset\Omega_\varepsilon$ であり、$u_\varepsilon$ を $\delta$ で平滑化した値 $(u_\varepsilon)_\delta(x)=\int u_\varepsilon(z)\rho_\delta(x-z)\,dz$ が定まる。$u_\varepsilon$ は $\Omega_\varepsilon$ 上で調和だから、lem-weyl-mean-value（$U=\Omega_\varepsilon$）により
$$
(u_\varepsilon)_\delta(x)=u_\varepsilon(x)
$$
である。一方、Fubini の定理（被積分関数はコンパクト集合 $\overline B(x,\varepsilon+\delta)$ の上の可積分関数と有界関数の積）により
$$
(u_\varepsilon)_\delta(x)=\int\!\!\int u(y)\rho_\varepsilon(z-y)\rho_\delta(x-z)\,dy\,dz=\int u(y)\,(\rho_\varepsilon*\rho_\delta)(x-y)\,dy
$$
であり、変数変換 $w\mapsto(x-y)-w$ により $(\rho_\varepsilon*\rho_\delta)(x-y)=\int\rho_\varepsilon(w)\rho_\delta(x-y-w)\,dw=(\rho_\delta*\rho_\varepsilon)(x-y)$ だから、これは $\varepsilon$ と $\delta$ について対称である。よって $(u_\varepsilon)_\delta(x)=(u_\delta)_\varepsilon(x)$ であり、
$$
u_\varepsilon(x)=(u_\varepsilon)_\delta(x)=(u_\delta)_\varepsilon(x)=u_\delta(x)\qquad(x\in\Omega_{\varepsilon+\delta})
$$
となる。
段 3（調和関数 $h$ を作る）． $x\in\Omega$ に対し、$x\in\Omega_{2\varepsilon}$ となる $\varepsilon>0$ をとって $h(x):=u_\varepsilon(x)$ とおく。$x\in\Omega_{2\varepsilon}\cap\Omega_{2\delta}$ なら、$\varepsilon+\delta\le2\max\{\varepsilon,\delta\}$ から $x\in\Omega_{\varepsilon+\delta}$ なので、段 2 により $u_\varepsilon(x)=u_\delta(x)$ であり、$h(x)$ は $\varepsilon$ の選び方によらない。各 $\Omega_{2\varepsilon}$ の上で $h=u_\varepsilon$ は調和で、$\Omega_{2\varepsilon}$（$\varepsilon>0$）は $\Omega$ をおおう開集合だから、$h$ は $\Omega$ 上の調和関数である。
段 4（$u=h$ ほとんど至る所）． $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ とし、$\operatorname{supp}\varphi\subset\Omega_{3\varepsilon_0}$ となる $\varepsilon_0>0$ をとる（$\operatorname{supp}\varphi$ はコンパクトで、開集合 $\Omega_\varepsilon$ の増大列でおおわれる）。$0<\varepsilon<\varepsilon_0$ なら $\operatorname{supp}\varphi\subset\Omega_{2\varepsilon}$ で、そこでは $h=u_\varepsilon$ なので、lem-weyl-mollification の 2 により
$$
\int_\Omega h\varphi\,dx=\int_\Omega u_\varepsilon\varphi\,dx=\int_\Omega u\,(\rho_\varepsilon*\varphi)\,dy
$$
である。lem-weyl-mollification の 3 により $\rho_\varepsilon*\varphi$ は $\varphi$ に一様収束し、台はコンパクト集合 $L:=\operatorname{supp}\varphi+\overline B(0,\varepsilon_0)\subset\Omega$ に入る。$u$ は $L$ 上で可積分なので、右辺は $\varepsilon\to0$ で $\int_\Omega u\varphi\,dy$ に収束する。左辺は $\varepsilon$ によらないから、$\int_\Omega(u-h)\varphi\,dx=0$ がすべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について成り立つ。超関数 の記事の命題「局所可積分関数の埋め込みは単射」により、ほとんど至る所で $u=h$ である。$h$ は調和なので $C^\infty$ 級である（調和関数 の記事の系「調和関数は無限回微分可能」）。$\square$
証明の筋をまとめると、弱調和性は「平滑化 $u_\varepsilon$ が調和」であることを意味し（段 1）、平均値の性質は「調和関数は平滑化しても変わらない」ことを意味する（lem-weyl-mean-value）。この 2 つを合わせると、平滑化の幅を変えても $u_\varepsilon$ は変わらない（段 2）。幅を $0$ に近づけた極限は $u$ だが、$u_\varepsilon$ はもともと変わらないのだから、$u$ は最初から調和関数 $u_\varepsilon$ に等しかった、というわけである（DV25 Lemma 2.2.1、pp. 295–296 は、平滑化したものが調和であることを示したあと、Lebesgue 点での平均値の性質を経由して結論している）。
超関数版の証明
超関数 $T$ も同じように平滑化できる。$x\in\Omega_\varepsilon$ に対し、$y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$ は $\Omega$ 上のテスト関数なので
$$
T_\varepsilon(x):=\bigl\langle T,\rho_\varepsilon(x-\cdot)\bigr\rangle\qquad(x\in\Omega_\varepsilon)
$$
と定められる。$T=T_u$ なら $T_\varepsilon=u_\varepsilon$ である。
$T\in\mathcal D'(\Omega)$、$\varepsilon>0$ とする。
- $T_\varepsilon$ は $\Omega_\varepsilon$ 上 $C^\infty$ 級で、$\partial^\alpha T_\varepsilon(x)=\bigl\langle T,(\partial^\alpha\rho_\varepsilon)(x-\cdot)\bigr\rangle$ である。
- $\psi$ が連続で $\operatorname{supp}\psi$ が $\Omega_\varepsilon$ のコンパクト集合なら、$\rho_\varepsilon*\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ であり、$\displaystyle\int_\Omega T_\varepsilon\,\psi\,dx=\bigl\langle T,\rho_\varepsilon*\psi\bigr\rangle$ である。
要点：超関数の連続性（超関数 の記事の定義「超関数」の評価）により、テスト関数の列がすべての階数の導関数まで一様に収束し台が一定のコンパクト集合に入っていれば、$T$ の値も収束する。1 は差分商、2 は Riemann 和がこの意味で収束することから従う。
詳しい証明を開く
1．$x_0\in\Omega_\varepsilon$ と、lem-weyl-mollification の証明の 1 と同じ $\eta$ をとる。$x\in B(x_0,\eta)$、$0<|t|<\eta$ について、$y$ の関数 $q_t(y):=\bigl(\rho_\varepsilon(x+te_i-y)-\rho_\varepsilon(x-y)\bigr)/t$ の台はコンパクト集合 $L=\overline B(x_0,\varepsilon+2\eta)$ に入り、各 $\beta$ について $\partial_y^\beta q_t(y)-(-1)^{|\beta|}(\partial_i\partial^\beta\rho_\varepsilon)(x-y)$ は、平均値の定理により $(-1)^{|\beta|}\bigl((\partial_i\partial^\beta\rho_\varepsilon)(x+\theta te_i-y)-(\partial_i\partial^\beta\rho_\varepsilon)(x-y)\bigr)$（$0<\theta<1$）と書け、$\partial_i\partial^\beta\rho_\varepsilon$ の一様連続性から $y$ について一様に $0$ に収束する。よって $\langle T,q_t\rangle\to\langle T,(\partial_i\rho_\varepsilon)(x-\cdot)\rangle$ であり、$\partial_iT_\varepsilon(x)$ が存在して主張の形になる。$\rho_\varepsilon$ を $\partial^\alpha\rho_\varepsilon$ に替えて繰り返せば高階の偏導関数も得られ、$x_k\to x$ のとき $(\partial^\alpha\rho_\varepsilon)(x_k-\cdot)\to(\partial^\alpha\rho_\varepsilon)(x-\cdot)$ が同じ意味で成り立つので連続性も従う。
2．$\rho_\varepsilon*\psi$ が $C^\infty$ 級で、台が $\Omega$ のコンパクト集合 $L:=\operatorname{supp}\psi+\overline B(0,\varepsilon)$ に入ることは lem-weyl-mollification の 1 と同じ議論による。$m\ge1$ について、一辺 $1/m$ の立方体 $Q_k:=\prod_i[k_i/m,(k_i+1)/m)$（$k\in\mathbb{Z}^n$）とその中心 $c_k$ をとり、有限和 $S_m(y):=\sum_k\psi(c_k)\rho_\varepsilon(c_k-y)\,m^{-n}$ を考える（$\psi(c_k)\ne0$ となる $k$ だけが寄与する）。$S_m$ はテスト関数で、台は $L$ に入る。$T$ の線形性から $\langle T,S_m\rangle=\sum_k\psi(c_k)T_\varepsilon(c_k)\,m^{-n}$ であり、これは連続でコンパクトな台をもつ関数 $T_\varepsilon\psi$ の Riemann 和なので $\int T_\varepsilon\psi\,dx$ に収束する。一方 $\partial_y^\beta S_m(y)=\sum_k\psi(c_k)(-1)^{|\beta|}(\partial^\beta\rho_\varepsilon)(c_k-y)m^{-n}$ は関数 $x\mapsto\psi(x)(-1)^{|\beta|}(\partial^\beta\rho_\varepsilon)(x-y)$ の Riemann 和で、この関数は $(x,y)$ について一様連続だから、$y$ について一様に $\int\psi(x)(-1)^{|\beta|}(\partial^\beta\rho_\varepsilon)(x-y)\,dx=\partial^\beta(\rho_\varepsilon*\psi)(y)$ に収束する（$\rho_\varepsilon$ は偶関数）。よって $\langle T,S_m\rangle\to\langle T,\rho_\varepsilon*\psi\rangle$ であり、2 つの極限が等しい。
prf-weyl-main の段 1〜4 を、$u_\varepsilon$ を $T_\varepsilon$ に替えてたどる。
段 1：$x\in\Omega_\varepsilon$ なら、lem-weyl-distribution-mollification の 1 と $\Delta_y[\rho_\varepsilon(x-y)]=(\Delta\rho_\varepsilon)(x-y)$ から $\Delta T_\varepsilon(x)=\langle T,\Delta[\rho_\varepsilon(x-\cdot)]\rangle=\langle\Delta T,\rho_\varepsilon(x-\cdot)\rangle=0$ であり、$T_\varepsilon$ は $\Omega_\varepsilon$ 上で調和である。
段 2：$x\in\Omega_{\varepsilon+\delta}$ なら $\psi:=\rho_\delta(x-\cdot)$ の台 $\overline B(x,\delta)$ は $\Omega_\varepsilon$ に入るので、lem-weyl-mean-value と lem-weyl-distribution-mollification の 2 により
$$
T_\varepsilon(x)=(T_\varepsilon)_\delta(x)=\int T_\varepsilon(z)\rho_\delta(x-z)\,dz=\bigl\langle T,(\rho_\varepsilon*\rho_\delta)(x-\cdot)\bigr\rangle
$$
である。最後の等号では、$\rho_\varepsilon$ が偶関数であることから $(\rho_\varepsilon*\psi)(w)=\int\rho_\varepsilon(w-z)\rho_\delta(x-z)\,dz=(\rho_\varepsilon*\rho_\delta)(x-w)$ となることを使った（$z=x-s$ と置き換える）。右辺は $\varepsilon,\delta$ について対称なので、$T_\varepsilon=T_\delta$ が $\Omega_{\varepsilon+\delta}$ の上で成り立つ。
段 3：prf-weyl-main と同じく、$\Omega_{2\varepsilon}$ の上で $h:=T_\varepsilon$ とおけば、$h$ は $\Omega$ 上の調和関数として矛盾なく定まる。
段 4：$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ とし、$\operatorname{supp}\varphi\subset\Omega_{3\varepsilon_0}$ とする。$0<\varepsilon<\varepsilon_0$ なら lem-weyl-distribution-mollification の 2 により $\int h\varphi\,dx=\int T_\varepsilon\varphi\,dx=\langle T,\rho_\varepsilon*\varphi\rangle$ である。lem-weyl-mollification の 3 により $\rho_\varepsilon*\varphi$ はすべての階数の導関数まで $\varphi$ に一様収束し、台は一定のコンパクト集合 $\operatorname{supp}\varphi+\overline B(0,\varepsilon_0)\subset\Omega$ に入るので、$T$ の連続性から $\langle T,\rho_\varepsilon*\varphi\rangle\to\langle T,\varphi\rangle$ である。よって $\langle T,\varphi\rangle=\int_\Omega h\varphi\,dx$ である。$\square$
thm-weyl-main は thm-weyl-distribution を $T=T_u$ に当てはめたものでもある（$T_u=T_h$ から、超関数 の記事の命題「局所可積分関数の埋め込みは単射」により $u=h$ ほとんど至る所）。局所可積分関数の場合を先に示したのは、超関数の連続性の議論（lem-weyl-distribution-mollification）を使わずに済むからである。
帰結
- $\Omega$ 上の弱調和関数の列 $(u_k)$ が $L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ で $u$ に収束する（各コンパクト集合 $L$ の上で $\int_L|u_k-u|\,dx\to0$）なら、$u$ はほとんど至る所で調和関数に等しい。
- $\Delta T_k=0$ を満たす超関数の列 $(T_k)$ が $\mathcal D'(\Omega)$ で $T$ に収束するなら、$T$ は調和関数で表される。
1．$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ とし $L:=\operatorname{supp}\varphi$ とすると、$\bigl|\int u\,\Delta\varphi\bigr|=\bigl|\int(u-u_k)\Delta\varphi\bigr|\le\sup|\Delta\varphi|\int_L|u-u_k|\to0$ なので $u$ は弱調和であり、thm-weyl-main を使えばよい。2．$\langle\Delta T,\varphi\rangle=\langle T,\Delta\varphi\rangle=\lim_k\langle T_k,\Delta\varphi\rangle=0$（超関数 の記事の定義「超関数の収束」）なので thm-weyl-distribution による。$\square$
調和関数の列が各コンパクト集合の上で一様に収束すれば $L^1_{\mathrm{loc}}$ でも収束するので、1 は 調和関数 の記事の系「局所一様収束極限」の調和性の部分を含む（DV25 Corollary 2.2.2、p. 296）。一様収束より弱い収束でも調和性が保たれるところが要点である。
$n\ge2$ とする。$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$、$f\in C^\infty(\Omega)$ が、すべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $\int_\Omega u\,\Delta\varphi\,dx=\int_\Omega f\varphi\,dx$（超関数の意味で $\Delta u=f$）を満たすなら、$u$ はほとんど至る所で $\Omega$ 上の $C^\infty$ 級関数に等しい。
要点：各点の近くで $f$ を切り取ったもの $g$ の Newton ポテンシャル $v$（$C^\infty$ 級で $-\Delta v=g$）を作ると、$u+v$ はその近くで弱調和になるので、thm-weyl-main により $u+v$ は調和関数、$u$ は滑らかな関数に等しい。
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$\overline B(a,2r)\subset\Omega$ となる球をとる。$\chi:=\rho_{r/4}*\mathbf 1_{B(a,3r/2)}$ は lem-weyl-mollification の 1（$\Omega=\mathbb{R}^n$、$u=\mathbf 1_{B(a,3r/2)}$）により $C^\infty$ 級で、台は $\overline B(a,7r/4)\subset\Omega$ に入り、$|x-a|<5r/4$ なら $B(x,r/4)\subset B(a,3r/2)$ なので $\chi(x)=\int\rho_{r/4}=1$ である。$g:=\chi f$（$\Omega$ の外では $0$）はコンパクトな台をもつ $C^\infty$ 級関数である。Green関数 の記事の定理「Newton ポテンシャル」により、$v(x):=\int\Gamma(x-y)g(y)\,dy$ は $C^2$ 級で $-\Delta v=g$ を満たす。同じ定理の証明で微分を $g$ の側に移すと $\partial^\alpha v=\Gamma*\partial^\alpha g$ が連続なので、$v$ は $C^\infty$ 級である。
$\varphi\in C_c^\infty(B(a,r))$ なら、$v$ は $C^2$ 級なので $\int v\,\Delta\varphi=\int\Delta v\,\varphi=-\int g\varphi=-\int f\varphi$（$\operatorname{supp}\varphi$ の上で $\chi=1$）であり、$\int(u+v)\Delta\varphi=\int f\varphi-\int f\varphi=0$ となる。thm-weyl-main を $B(a,r)$ の上の $u+v$ に使うと、調和関数 $H$ があって $B(a,r)$ の上でほとんど至る所 $u=H-v$ であり、$H-v$ は $C^\infty$ 級である。
$\Omega$ はこのような球 $B(a,r)$ でおおわれる。2 つの球が交われば、そこでの 2 つの $C^\infty$ 級関数はどちらもほとんど至る所 $u$ に等しいので、交わり（開集合）の上でほとんど至る所等しく、連続なので至る所等しい。よってこれらは $\Omega$ 上の 1 つの $C^\infty$ 級関数に貼り合わさり、それはほとんど至る所 $u$ に等しい。$\square$
$f$ が滑らかでないと $u$ の滑らかさは $f$ の程度に制限される（下の反例の表の 2 行目）。この系の一般の楕円型作用素への拡張が 楕円正則性 である。
例
$n=1$、$\Omega=(a,b)$ では、弱調和であることは「すべての $\varphi\in C_c^\infty(a,b)$ について $\int u\varphi''\,dx=0$」であり、Weyl の補題は、そのような $u$ がほとんど至る所で 1 次関数 $px+q$ に等しいことを主張する。逆に 1 次関数は $\int(px+q)\varphi''\,dx=0$（部分積分を 2 回）を満たす。この場合は「超関数の 2 階微分が $0$ なら 1 次関数」という事実と同じである。
$u\in W^{1,2}(\Omega)$（Sobolev空間の基本事項 の記事の定義「Sobolev空間」）が、すべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について
$$
\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=0
$$
を満たすとする（Laplace 方程式の $W^{1,2}$ の意味の 弱解。Dirichlet 積分 $\int|\nabla u|^2$ を最小にする関数はこれを満たす）。弱微分の定義（同記事の定義「弱微分」）をテスト関数 $\partial_i\varphi$ に使うと $\int u\,\partial_i^2\varphi=-\int\partial_iu\,\partial_i\varphi$ なので、$i$ について足して $\int u\,\Delta\varphi=-\int\nabla u\cdot\nabla\varphi=0$ である。よって $u$ は弱調和で、Weyl の補題によりほとんど至る所で調和関数に等しい。このように、変分法や Hilbert 空間の方法で弱解を作り、Weyl の補題で古典解に戻すのが典型的な使い方である。
$n\ge2$ とし、$\Gamma$ を Green関数 の記事の定義「Laplace 作用素の基本解」の関数とする。$\Gamma$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上で調和なので、そこでは弱調和である。$\Gamma$ は $\mathbb{R}^n$ 上でも局所可積分だが、同記事の定理「基本解の方程式」により $\int\Gamma\,\Delta\varphi\,dx=-\varphi(0)$ であり、$\varphi(0)\ne0$ となるテスト関数について $0$ にならない。よって $\Gamma$ は $\mathbb{R}^n$ 上では弱調和でない。実際、$\mathbb{R}^n$ 上の調和関数は原点の近くで有界だが、$\Gamma$ は原点の近くで（測度 $0$ の集合を除いても）有界でないので、ほとんど至る所で調和関数に等しくなることはない。1 点を除くと弱調和性が失われうることを示す例である。
反例：仮定を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 作用素が $\Delta$（楕円型） | 波動作用素 $\partial_t^2-\partial_x^2$ と $u(t,x)=\mathbf 1_{\{x>t\}}$ | 弱解が滑らかであること |
| 右辺が $0$（または滑らか） | $n=1$、$u(x)=x\lvert x\rvert/2$、$u''=\operatorname{sgn}x$ | $u$ が $C^2$ 級であること |
| 等式 $\int u\Delta\varphi=0$ | $n=1$、$u(x)=\lvert x\rvert$（$\varphi\ge0$ なら $\int u\varphi''\ge0$） | $u$ が滑らかであること |
| $\Omega$ 全体で弱調和 | $\Gamma$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ でだけ弱調和 | $\mathbb{R}^n$ 上の調和関数に等しいこと |
| 結論の「ほとんど至る所」 | $u=\mathbf 1_{\{0\}}$（原点でだけ $1$） | $u$ そのものが連続であること |
1 行目：$\xi=x-t$、$\eta=x+t$ と変数を替えると $\partial_t^2-\partial_x^2=-4\partial_\xi\partial_\eta$、$dt\,dx=\frac12d\xi\,d\eta$ なので、$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^2)$ について $\int\!\!\int u\,(\varphi_{tt}-\varphi_{xx})\,dt\,dx=-2\int_{\xi>0}\Bigl(\int_{\mathbb{R}}\partial_\eta(\partial_\xi\varphi)\,d\eta\Bigr)d\xi=0$ である（内側の積分はコンパクトな台をもつ関数の導関数の積分なので $0$）。よって $u$ は波動方程式の弱解だが、直線 $x=t$ で跳びをもち、ほとんど至る所で連続関数に等しくなることもない。満たさない性質は「作用素が Laplace 作用素（楕円型）」である。
2〜5 行目の確認を開く
2 行目：$u'(x)=|x|$ は連続で、$|x|$ の弱微分は $\operatorname{sgn}x$ である（Sobolev空間の基本事項 の記事の例「絶対値関数」）ので、$\int u\varphi''=-\int|x|\varphi'=\int\operatorname{sgn}(x)\varphi$、すなわち超関数の意味で $u''=\operatorname{sgn}x$ である。$u$ は $C^1$ 級だが $x=0$ で 2 階微分できない。右辺 $\operatorname{sgn}x$ は有界だが滑らかでないので、cor-weyl-poisson の仮定を満たさない。
3 行目：$\int|x|\varphi''dx=-\int\operatorname{sgn}(x)\varphi'dx=2\varphi(0)$ なので、$\varphi\ge0$ なら $\ge0$ である（弱い意味で $u''\ge0$、すなわち弱劣調和）。$|x|$ は $0$ で微分できない。等式を不等式に弱めると滑らかさは出ない。
4 行目：ex-weyl-fundamental のとおり。
5 行目：$u=\mathbf 1_{\{0\}}$ はほとんど至る所 $0$ なので弱調和で、Weyl の補題の $h$ は $0$ である。$u$ 自身は原点で不連続である。結論は「ほとんど至る所で等しい調和関数がある」であって、「$u$ が調和」ではない。
補足
- Laplace 作用素のように「$Pu$ が滑らかなら $u$ も滑らか」という性質をもつ微分作用素 $P$ を 準楕円型（hypoelliptic）という。cor-weyl-poisson は $\Delta$ が準楕円型であることを述べており、1 行目の反例は波動作用素が準楕円型でないことを示している。一般の楕円型作用素が準楕円型であることは 楕円正則性 の記事で扱う。
- 証明で使ったのは平均値の性質（lem-weyl-mean-value）だけで、Fourier 変換や Sobolev 空間は使っていない。一般の楕円型作用素では平均値の性質がないので、別の方法（Sobolev 空間での評価や擬微分作用素）が必要になる。
- 複素 Hodge 理論へ向かう一連の記事では、コンパクト Riemann 多様体の上で、Hilbert 空間の直交射影によって「弱い意味の調和形式」を作り、この補題の一般化（楕円正則性）によってそれが滑らかな調和形式であることを示す。Hodge分解 の証明の解析的な部分がこれにあたる。
関連項目
- 前提: 超関数, 調和関数, 畳み込み
- 比較: Sobolev空間の基本事項, Harnackの不等式
- 直後に読む: Green関数, 楕円正則性
- 発展: 楕円型作用素, Hodge分解
参考文献
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