格子(数論)

1．$e_i^\vee:=\sum_j(G^{-1})_{ij}e_j$ とおくと $e_i^\vee\cdot e_k=\sum_j(G^{-1})_{ij}G_{jk}=\delta_{ik}$ である。$y\in L_{\mathbb{Q}}$ を $y=\sum_jc_je_j^\vee$ と書くと $c_j=y\cdot e_j$ なので、$y\in L^\vee$ はすべての $c_j\in\mathbb{Z}$ と同値であり、$L^\vee=\bigoplus_j\mathbb{Z}e_j^\vee$ である。$e_i^\vee\cdot e_l^\vee=\sum_j(G^{-1})_{ij}\,e_j\cdot e_l^\vee=(G^{-1})_{il}$ なので Gram 行列は $G^{-1}$ で、非退化である。$e^\vee$ の双対基底は $e$ なので $(L^\vee)^\vee=L$ で、$\det G^{-1}=(\det G)^{-1}$ である。
2．$L$ が整なら $e_i\cdot e_j\in\mathbb{Z}$ なので $e_i\in L^\vee$ である。$e_i=\sum_jG_{ij}e_j^\vee$ なので、$L^\vee$ を基底 $e^\vee$ で $\mathbb{Z}^n$ と同一視すると、$L$ は $G\mathbb{Z}^n$ に対応する（$G$ は対称）。$G$ の Smith 標準形を $\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$ とすると、$\det G\neq0$ からすべての $d_i\neq0$ で、Smith標準形 の記事の命題「Smith 標準形による余核の分解」により $\mathbb{Z}^n/G\mathbb{Z}^n\cong\bigoplus_i\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$ である。基本変形の行列の行列式は $\pm1$ なので $\prod_i\lvert d_i\rvert=\lvert\det G\rvert$ であり、$\lvert L^\vee/L\rvert=\lvert\det G\rvert$ となる。
3．$M$ は自由 $\mathbb{Z}$ 加群 $L$ の部分群なので階数 $n$ の自由加群であり（自由アーベル群）、その基底 $f_j=\sum_iP_{ij}e_i$ の行列 $P$ は整数行列で、$M_{\mathbb{Q}}=L_{\mathbb{Q}}$ から $\det P\neq0$ である。Gram 行列は $P^{\mathsf T}GP$ なので $\operatorname{disc}(M)=(\det P)^2\operatorname{disc}(L)\neq0$ で、$M$ は格子である。2 と同じ Smith 標準形の議論で $[L:M]=\lvert\mathbb{Z}^n/P\mathbb{Z}^n\rvert=\lvert\det P\rvert$ である。
4．2 により、$L^\vee=L$ と $\lvert\operatorname{disc}(L)\rvert=1$ は同値である。$\square$

$L^\vee$ は階数 $n$ の自由加群なので、その部分群 $M$ も自由で、$L$ を含むので階数 $n$ である。$M$ に thm-latnt-dual の 3 を当てる（$L\subset M$ の組で）と、$M$ は格子で $[M:L]$ は有限、$\operatorname{disc}(L)=[M:L]^2\operatorname{disc}(M)$ である。$x=x_0+l$、$y=y_0+l'$（$x_0,y_0$ は代表元、$l,l'\in L$）について $x\cdot y=x_0\cdot y_0+x_0\cdot l'+l\cdot y_0+l\cdot l'$ で、$M\subset L^\vee$ と $L$ が整であることから後ろの 3 項は整数である。よって整であることは代表元どうしの値で決まる。最後の主張は thm-latnt-dual の 4 による。$\square$

$x\in L$ について $x\cdot e\in\mathbb{Z}$ なので $x=(x\cdot e)e+\bigl(x-(x\cdot e)e\bigr)$ で、第 2 項は $e^\perp$ に入る。$ae\in e^\perp$ なら $a=ae\cdot e=0$ なので和は直和で、$e$ と $e^\perp$ は直交する。$e^\perp$ は自由加群 $L$ の部分群なので自由で、階数は $n-1$ である。$e$ と $e^\perp$ の基底を合わせた $L$ の基底での Gram 行列は $1$ と $e^\perp$ の Gram 行列 $G'$ のブロック対角なので、$\operatorname{disc}(L)=\det G'\neq0$ である。よって $e^\perp$ は格子で、整であり、thm-latnt-dual の 4 から最後の主張が従う。正定値性は制限で保たれる。$\square$

上で見たように、$L=M\mathbb{Z}^n\subset\mathbb{R}^n$（標準内積）、$\lvert\det M\rvert=\sqrt{\operatorname{disc}(L)}$ とみてよい。$r>0$ を $\omega_nr^n=2^n\sqrt{\operatorname{disc}(L)}$ で定め、半径 $r$ の閉球 $B$ をとる。$K:=M^{-1}B$ は原点について対称な有界閉凸集合で、体積は $\omega_nr^n/\lvert\det M\rvert=2^n$ である。Minkowskiの凸体定理 の記事の系「有界な閉集合の場合」により $0$ でない $z\in\mathbb{Z}^n\cap K$ があり、$x:=Mz\in L\cap B$ は $0$ でなく、$x\cdot x\le r^2=4\,(\sqrt{\operatorname{disc}(L)}/\omega_n)^{2/n}$ である。

$n$ についての帰納法による。$n=0$ では自明である。$1\le n\le4$ とし、$L$ を階数 $n$ の正定値ユニモジュラー格子とする。正定値なので $\operatorname{disc}(L)>0$（Gram 行列は正定値対称行列である）で、thm-latnt-dual の 4 から $\operatorname{disc}(L)=1$ である。lem-latnt-short-vector により $0$ でない $e\in L$ で $e\cdot e<2$ となるものがある。$L$ は整で正定値なので $e\cdot e$ は正の整数であり、$e\cdot e=1$ である。lem-latnt-split により $L=\mathbb{Z}e\oplus e^\perp$ で、$e^\perp$ は階数 $n-1$ の正定値ユニモジュラー格子である。帰納法の仮定から $e^\perp\cong\mathbb{Z}^{n-1}$ で、$\mathbb{Z}e\cong\mathbb{Z}$（$e\cdot e=1$）と合わせて $L\cong\mathbb{Z}^n$ である。$\square$