非輪状空間

点 $x_0\in X$ を選ぶと、対 $(X,x_0)$ の長完全列は一点への写像で分裂するので、任意の係数で $\tilde H_n(X;G)\cong H_n(X,x_0;G)$、$\tilde H^n(X;G)\cong H^n(X,x_0;G)$ である。普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」の 2 つの短完全列を対 $(X,x_0)$ に当てる。1 なら、整数係数の群 $H_k(X,x_0)$ がすべて $0$ なので、$\otimes G$・$\operatorname{Tor}$・$\operatorname{Hom}$・$\operatorname{Ext}$ の項がすべて $0$ になり、2 と 3 が従う。2 から 1 は $G=\mathbb Z$ とすればよい。3 なら、短完全列から $\operatorname{Hom}(H_n(X,x_0),G)=0$ がすべての $G$ で成り立つ。$G=H_n(X,x_0)$ とすると恒等写像が $0$ なので $H_n(X,x_0)=0$ であり、1 が従う。$\square$

$X$ は弧状連結なので、Hurewiczの定理 の定理「1 次元の Hurewicz の定理」により $\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}}\cong H_1(X)=0$ である。アーベル化が自明であることは、交換子群が全体に等しいこと、すなわち完全群であることにほかならない（完全群 の定義「完全群」）。$\square$

1 ⇒ 2：可縮な空間は一点とホモトピー同値なので、ホモロジーと基本群は一点のものと同型であり、非輪状で単連結である。
2 ⇒ 1：$X$ の $0$ 胞体 $x_0$ を選び、包含 $i\colon\{x_0\}\to X$ を考える。$\{x_0\}$ と $X$ はどちらも単連結な CW 複体である。$X$ が非輪状なので、$i$ はすべての次数のホモロジーに同型を誘導する（$n\ge1$ では両辺とも $0$、$n=0$ では $X$ が弧状連結なので $\mathbb Z\to\mathbb Z$ の同型）。Hurewiczの定理 の系「ホモロジーによる Whitehead の定理」により $i$ はホモトピー同値であり、$X$ は可縮である。$\square$

$SX$ は $X\times[0,1]$ の積の CW 構造から CW 複体になる（Hat02 Chapter 0、p. 9）。$X$ は弧状連結なので、懸垂 の定理「懸垂の単連結性」により $SX$ は単連結である。同記事の定理「懸垂同型」により $\tilde H_{k+1}(SX)\cong\tilde H_k(X)=0$（$k\ge0$）かつ $\tilde H_0(SX)=0$ なので、$SX$ は非輪状である。acy-thm-contractible により $SX$ は可縮である。$\square$

$K$ の胞体鎖複体は $0\to\mathbb Z^n\xrightarrow{d_2}\mathbb Z^n\xrightarrow{d_1}\mathbb Z\to0$ で、$0$ 胞体が 1 つなので $d_1=0$ である（胞体ホモロジー の定理「胞体境界公式」）。よって $H_1(K)=\operatorname{coker}d_2$、$H_2(K)=\ker d_2$ であり、3 次以上は $0$ である。$K$ は弧状連結なので、Hurewiczの定理 の定理「1 次元の Hurewicz の定理」により $H_1(K)\cong\Gamma^{\mathrm{ab}}$ である。非輪状なら $\Gamma^{\mathrm{ab}}=0$ で、$\Gamma$ は完全群である。逆に $\Gamma$ が完全群なら $d_2\colon\mathbb Z^n\to\mathbb Z^n$ は全射である。像が自由なので $\mathbb Z^n\cong\ker d_2\oplus\mathbb Z^n$ と分裂し、階数を比べると $\ker d_2$ は階数 $0$ の自由アーベル群（自由アーベル群の部分群は自由）、すなわち $0$ である。よって $H_2(K)=0$ でもあり、$K$ は非輪状である。$\square$

1． 胞体鎖複体は $0\to\mathbb Z^2\xrightarrow{d_2}\mathbb Z^2\xrightarrow{d_1}\mathbb Z\to0$ である。$0$ 胞体は 1 つなので、胞体ホモロジー の定理「胞体境界公式」により $d_1=0$ である。同定理の $d_2$ の係数は、接着写像の語を一方の円周につぶしたループの写像度であり、$\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$ の中ではその文字の指数の和である。$a^5b^{-3}$ は $(5,-3)$、$b^3(ab)^{-2}=b^3b^{-1}a^{-1}b^{-1}a^{-1}$ は $(-2,1)$ を与えるので、
$$ d_2=\begin{pmatrix}5&-2\\-3&1\end{pmatrix},\qquad\det d_2=5-6=-1 $$
であり（Hat02 Example 2.38、p. 142）、$d_2$ は $\mathbb Z^2$ の自己同型である。よって $H_2(X)=\ker d_2=0$、$H_1(X)=\mathbb Z^2/\operatorname{im}d_2=0$、$H_0(X)=\mathbb Z$ であり、3 次以上の胞体はないので $X$ は非輪状である。
2． $2$ 胞体の貼り付けは、$\pi_1(S^1\vee S^1)$ を接着写像の語が生成する正規部分群で割る（Hat02 Proposition 1.26、p. 50）ので、表示が得られる。置換の積を写像の合成（右から先に作用）とし、$\sigma:=(1\,2\,3\,4\,5)$、$\tau:=(2\,5\,3)$ とおくと、
$$ \sigma\tau=(1\,2)(4\,5),\qquad\sigma^5=\tau^3=(\sigma\tau)^2=1 $$
である（$\sigma\tau$ は $1\mapsto2\mapsto1$、$3\mapsto3$、$4\mapsto5\mapsto4$）。よって $a\mapsto\sigma$、$b\mapsto\tau$ は 2 つの関係子を恒等置換に写し、準同型 $\rho\colon\pi_1(X)\to S_5$ を定める（群の表示 の命題「表示からの準同型」）。$\sigma,\tau$ は偶置換なので像 $H$ は $A_5$ に入り、位数 $5$ と $3$ の元を含むので、$|H|$ は $15$ の倍数で $60$ の約数、すなわち $15,30,60$ のいずれかである。$|H|=15$ または $30$ なら、指数 $k=4$ または $2$ であり、$A_5$ の剰余類 $A_5/H$ への左からの作用は準同型 $A_5\to S_k$ を与える。その核は $H$ に含まれる正規部分群なので、交代群 の定理「交代群の単純性」により自明であり、$A_5$ が $S_k$（位数 $24$ または $2$）に埋め込まれることになって矛盾する。よって $H=A_5$ で、$\rho$ は $A_5$ への全射である。可縮な空間の基本群は自明なので、$X$ は可縮でない。$\square$

$x$ を $B$ の中心とする。$P\setminus\{x\}$ は $B\setminus\{x\}$ を半径方向に押し出して $M$ に変位レトラクトするので、包含 $(P,M)\to(P,P\setminus\{x\})$ は 5 項補題によりホモロジーの同型を誘導する。閉集合 $P\setminus\operatorname{int}B$ を切除すると $H_k(P,P\setminus\{x\})\cong H_k(\operatorname{int}B,\operatorname{int}B\setminus\{x\})\cong\tilde H_{k-1}(S^2)$ であり（$\operatorname{int}B$ は可縮で、$\operatorname{int}B\setminus\{x\}$ は $S^2$ とホモトピー同値）、これは $k=3$ で $\mathbb Z$、ほかで $0$ である。$P$ は連結な閉 $3$ 次元多様体で $H_3(P)\cong\mathbb Z$ なので、Hat02 Theorem 3.26（p. 236）により $\mathbb Z$ 向き付け可能で、$H_3(P)\to H_3(P,P\setminus\{x\})$ は同型である（向き付け不可能なら $H_3(P)=0$ になる）。
対 $(P,M)$ の長完全列
$$ H_4(P,M)=0\to H_3(M)\to H_3(P)\xrightarrow{\cong}H_3(P,M)\to H_2(M)\to H_2(P)=0 $$
から $H_3(M)=0$、$H_2(M)=0$ であり、$H_2(P,M)=H_1(P,M)=0$ と $H_1(P)=0$ から $H_1(M)=0$、同様に $\tilde H_0(M)=0$ である。$4$ 次以上は $P$ と $(P,M)$ の両方で $0$ なので $M$ でも $0$ である。
基本群：$U:=P\setminus\{x\}$（$M$ とホモトピー同値）と $V:=\operatorname{int}B$ に Seifert–van Kampen の定理を当てると、$U\cap V\cong S^2\times(0,1)$ は単連結なので、$\pi_1(P)\cong\pi_1(U)\ast\pi_1(V)=\pi_1(M)$ である（van Kampenの定理 の系「群の表示による記述」）。$\pi_1(P)$ は位数 $120$ の二項 $20$ 面体群である（Poincaréホモロジー球面 の定理「Poincaré ホモロジー球面の基本性質」）。$\square$