Kronecker–Weberの定理

1。$M$ の素イデアル $\mathfrak{q}\mid p$ の上には $N$ の素イデアル $\mathfrak{P}'$ があり（代数体における素イデアルの分解 の記事の命題「上にある素イデアルの存在と有限性」）、同記事の命題「分岐指数と剰余次数の乗法性」により $1=e(\mathfrak{P}'\mid p)=e(\mathfrak{P}'\mid\mathfrak{q})e(\mathfrak{q}\mid p)$ なので $e(\mathfrak{q}\mid p)=1$ である。

2。$\sigma\in I(\mathfrak{P}\mid p)$ は $\sigma(\mathcal{O}_M)=\mathcal{O}_M$ を満たし、$x\in\mathcal{O}_M$ について $\sigma(x)-x\in\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_M=\mathfrak{p}$ なので、$\sigma|_M\in I(\mathfrak{p}\mid p)$ である（分解群と惰性群 の記事の命題「分解群と惰性群の基本性質」の 3）。この制限の核は $I(\mathfrak{P}\mid p)\cap\operatorname{Gal}(N/M)$ で、同命題の 4 によりこれは Galois 拡大 $N/M$ の $\mathfrak{P}$ の惰性群であり、その位数は $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ である（同記事の系「惰性群の位数と完全列」）。よって像の位数は $e(\mathfrak{P}\mid p)/e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})=e(\mathfrak{p}\mid p)=\lvert I(\mathfrak{p}\mid p)\rvert$ であり、像は $I(\mathfrak{p}\mid p)$ 全体である。

3。$\sigma$ が $M_1$ と $M_2$ の上で恒等写像なら、$M_1\cup M_2$ で生成される $N$ の上で恒等写像なので、$\operatorname{Gal}(N/\mathbb{Q})\to\operatorname{Gal}(M_1/\mathbb{Q})\times\operatorname{Gal}(M_2/\mathbb{Q})$ は単射であり、2 により惰性群は惰性群に移る。両方の惰性群が自明なら $I(\mathfrak{P}\mid p)=1$ である。$\square$

準備。$\kappa:=\mathcal{O}_N/\mathfrak{Q}$ とする。差積と分岐 の記事の補題「指数の乗法性」により $\lvert\mathfrak{Q}^k/\mathfrak{Q}^{k+1}\rvert=\lvert\kappa\rvert$ で、$\mathfrak{Q}^k/\mathfrak{Q}^{k+1}$ は $\kappa$ 上のベクトル空間なので 1 次元である。$\pi\in\mathfrak{Q}\setminus\mathfrak{Q}^2$ をとると $\pi^k\notin\mathfrak{Q}^{k+1}$ なので、$\mathfrak{Q}^k$ の各元 $y$ は $y\equiv c\pi^k\pmod{\mathfrak{Q}^{k+1}}$（$c\in\mathcal{O}_N$）と書け、$c\bmod\mathfrak{Q}$ は一意である。$\sigma\in I$ は $\mathfrak{Q}$ を保ち（$I$ は分解群に含まれる）、すべての $x\in\mathcal{O}_N$ について $\sigma(x)\equiv x\pmod{\mathfrak{Q}}$ を満たす。

準同型 $\theta$。$\sigma\in I$ について $\sigma(\pi)\in\mathfrak{Q}\setminus\mathfrak{Q}^2$ なので $\sigma(\pi)\equiv c_\sigma\pi\pmod{\mathfrak{Q}^2}$、$c_\sigma\notin\mathfrak{Q}$ と書ける。$\theta(\sigma):=c_\sigma\bmod\mathfrak{Q}\in\kappa^\times$ とおく。$\tau(\pi)=c_\tau\pi+r$（$r\in\mathfrak{Q}^2$）とすると $\sigma\tau(\pi)=\sigma(c_\tau)\sigma(\pi)+\sigma(r)$ で、$\sigma(r)\in\mathfrak{Q}^2$、$\sigma(c_\tau)-c_\tau\in\mathfrak{Q}$ と $\sigma(\pi)\in\mathfrak{Q}$ から $\sigma(c_\tau)\sigma(\pi)\equiv c_\tau c_\sigma\pi\pmod{\mathfrak{Q}^2}$ である。よって $\theta(\sigma\tau)=\theta(\sigma)\theta(\tau)$ である。$\theta$ は $\pi$ の選び方によらない：別の $\pi'=u\pi+r$（$u\notin\mathfrak{Q}$、$r\in\mathfrak{Q}^2$）について、同じ計算で $\sigma(\pi')\equiv u\,c_\sigma\pi\equiv c_\sigma\pi'\pmod{\mathfrak{Q}^2}$ である。

単射。$\theta(\sigma)=1$、すなわち $\sigma(\pi)\equiv\pi\pmod{\mathfrak{Q}^2}$ とし、$\sigma$ の位数を $r$ とする（$q\nmid r$）。$k\ge1$ についての帰納法で、すべての $x\in\mathcal{O}_N$ について $\sigma(x)\equiv x\pmod{\mathfrak{Q}^k}$ を示す。$k=1$ は $\sigma\in I$ による。$k$ で成り立つとする。まず $y\in\mathfrak{Q}^k$ について $\sigma(y)\equiv y\pmod{\mathfrak{Q}^{k+1}}$ である：$y\equiv c\pi^k$ と書くと、$\sigma(\pi)=\pi+s$（$s\in\mathfrak{Q}^2$）から $\sigma(\pi)^k\equiv\pi^k\pmod{\mathfrak{Q}^{k+1}}$、$\sigma(c)\equiv c\pmod{\mathfrak{Q}}$ なので $\sigma(c\pi^k)\equiv c\pi^k$ で、$\sigma(y-c\pi^k)\in\mathfrak{Q}^{k+1}$ だからである。$x\in\mathcal{O}_N$ について $\delta:=\sigma(x)-x\in\mathfrak{Q}^k$ とおくと、$\sigma(\delta)\equiv\delta$ から $j$ についての帰納法で $\sigma^j(x)\equiv x+j\delta\pmod{\mathfrak{Q}^{k+1}}$ であり、$j=r$ として $r\delta\in\mathfrak{Q}^{k+1}$ を得る。$r\in\mathbb{Z}$ は $q$ で割り切れないので $r\notin\mathfrak{Q}$ で、$v_{\mathfrak{Q}}(r)=0$ から $\delta\in\mathfrak{Q}^{k+1}$ である。こうしてすべての $k$ で $\sigma(x)-x\in\mathfrak{Q}^k$ となり、$0$ でない元の付値は有限なので $\sigma(x)=x$、すなわち $\sigma=1$ である。

1。$\theta$ は単射なので、$I$ は有限体 $\kappa$ の乗法群の部分群と同型であり、巡回群である（有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）。

2。分解群と惰性群 の記事の定理「剰余体の Galois 群への全射」により、分解群の元 $\varphi$ で、すべての $x\in\mathcal{O}_N$ について $\varphi(x)\equiv x^q\pmod{\mathfrak{Q}}$ となるものがある。$\sigma\in I$ について $\tau:=\varphi\sigma\varphi^{-1}\in I$ の $\theta$ を一意化元 $\pi':=\varphi(\pi)$ で計算すると、$\tau(\pi')=\varphi(\sigma(\pi))\equiv\varphi(c_\sigma)\pi'\pmod{\mathfrak{Q}^2}$ なので $\theta(\tau)=\varphi(c_\sigma)\bmod\mathfrak{Q}=\theta(\sigma)^q$ である。Abel 拡大なら $\tau=\sigma$ なので $\theta(\sigma)^q=\theta(\sigma)$ で、$\theta(\sigma)$ は $X^q-X$ の $\kappa$ における根、すなわち素体 $\mathbb{F}_q$ の元である（$\mathbb{F}_q$ の $q$ 個の元がすべて根で、根は高々 $q$ 個）。よって $\theta$ は $I$ を $\mathbb{F}_q^\times$ の部分群に同型に移し、$\lvert I\rvert$ は $q-1$ を割る。$\square$

1。$E:=\mathbb{Q}(\pi)$、$\mathfrak{p}_E:=\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_E$ とする。$1=v(\pi)=e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}_E)v_{\mathfrak{p}_E}(\pi)$ から $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}_E)=1$ で、分岐指数の乗法性により $n=e(\mathfrak{P}\mid p)=e(\mathfrak{p}_E\mid p)\le[E:\mathbb{Q}]$ である（代数体における素イデアルの分解 の記事の命題「分岐指数と剰余次数の乗法性」と定理「基本等式」）。よって $E=N$ で、$\pi$ の最小多項式は $n$ 次であり、共役 $\sigma(\pi)$（$\sigma\in G$）の $n$ 個の 1 次式の積に等しい。その係数は $\sigma(\pi)\in\mathfrak{P}$ たちの基本対称式なので $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$ に入る。定数項 $\pm\prod_\sigma\sigma(\pi)$ の $v$ は $n$ で、$v(p)=n$ なので、定数項はちょうど 1 回だけ $p$ で割り切れる。

2。$\mathbb{Z}[\pi]$ と $\mathcal{O}_N$ はどちらも階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群なので、$\mathcal{O}_N/\mathbb{Z}[\pi]$ は有限群である（円分体 の記事の「2 つの補題」の節の包含 $\mathcal{O}_L\subset d(\alpha)^{-1}\mathbb{Z}[\alpha]$）。1 と同記事の補題「Eisenstein多項式と指数」により、この群には位数 $p$ の元がないので、その位数 $m$ は $p$ と互いに素で、$m\mathcal{O}_N\subset\mathbb{Z}[\pi]$ である。

3。$mx=h(\pi)$（$h\in\mathbb{Z}[X]$）と書くと、$m(\sigma(x)-x)=h(\sigma(\pi))-h(\pi)$ は $\mathcal{O}_N$ の中で $\sigma(\pi)-\pi$ で割り切れる（$X^j-Y^j$ は $X-Y$ で割り切れる）。$v(m)=0$ なので主張を得る。$\square$

lem-kw-tame-inertia の証明の準備と同じく、$\mathfrak{P}^j$ の元は $\mathfrak{P}^{j+1}$ を法として $c\pi^j$（$c\in\mathcal{O}_N$）と書け、$c\bmod\mathfrak{P}\in\mathbb{F}_p$ は一意である。

1。$\sigma\in G_0=G$ について $\sigma(\pi)\equiv c_\sigma\pi\pmod{\mathfrak{P}^2}$ とおくと、lem-kw-tame-inertia の証明の「準同型 $\theta$」の段と同じ計算で、$\sigma\mapsto c_\sigma\bmod\mathfrak{P}$ は準同型 $G\to\mathbb{F}_p^\times$ である。その核は $\sigma(\pi)\equiv\pi\pmod{\mathfrak{P}^2}$、すなわち $i_G(\sigma)\ge2$ となる元の全体で、$G_1$ に等しい。$n$ が $p$ の冪なら $G/G_1$ は位数 $p-1$ の群 $\mathbb{F}_p^\times$ の部分群で位数が $p$ の冪なので、自明である。

2。$\sigma\in G_k$ について $\sigma(\pi)-\pi\equiv c_\sigma\pi^{k+1}\pmod{\mathfrak{P}^{k+2}}$ とおき、$\psi(\sigma):=c_\sigma\bmod\mathfrak{P}\in\mathbb{F}_p$ とする。$\sigma,\tau\in G_k$ について $\sigma\tau(\pi)-\pi=\sigma(\tau(\pi)-\pi)+(\sigma(\pi)-\pi)$ である。$\tau(\pi)-\pi=c_\tau\pi^{k+1}+r$（$r\in\mathfrak{P}^{k+2}$）とすると $\sigma(\tau(\pi)-\pi)\equiv\sigma(c_\tau)\sigma(\pi)^{k+1}\pmod{\mathfrak{P}^{k+2}}$ で、$\sigma(\pi)=\pi+s$（$s\in\mathfrak{P}^{k+1}\subset\mathfrak{P}^2$）から $\sigma(\pi)^{k+1}\equiv\pi^{k+1}\pmod{\mathfrak{P}^{k+2}}$、$\sigma(c_\tau)\equiv c_\tau\pmod{\mathfrak{P}}$ である。よって $\sigma\tau(\pi)-\pi\equiv(c_\tau+c_\sigma)\pi^{k+1}\pmod{\mathfrak{P}^{k+2}}$ で、$\psi$ は準同型 $G_k\to\mathbb{F}_p$ である。その核は $i_G(\sigma)\ge k+2$ となる元の全体、すなわち $G_{k+1}$ である。$\square$

準備。$\mathfrak{p}_M:=\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_M$ とすると、$n=e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}_M)e(\mathfrak{p}_M\mid p)$ で $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}_M)\le[N:M]$、$e(\mathfrak{p}_M\mid p)\le[M:\mathbb{Q}]$（基本等式）なので、どちらも等号で、$p$ は $M$ で完全分岐し、$v|_M=\lvert H\rvert\,v_M$（$v_M:=v_{\mathfrak{p}_M}$）である。$\pi_M\in\mathcal{O}_M$ を $v_M(\pi_M)=1$ となる元とし、$i_{G/H}$ は $\pi_M$ と $v_M$ で計算する。$f(X):=\prod_{h\in H}(X-h(\pi))$ は、$N=M(\pi)$ と $\lvert H\rvert=[N:M]$ から $\pi$ の $M$ 上の最小多項式で、係数は代数的整数かつ $M$ の元なので $\mathcal{O}_M$ に入る。

$\tau\ne1$ を $s\in G$ に持ち上げ、$a:=s(\pi_M)-\pi_M$ とおくと $v(a)=\lvert H\rvert\,i_{G/H}(\tau)$ である。$s(f)(X)=\prod_{h\in H}(X-sh(\pi))$ で、$sH$ は $\sigma|_M=\tau$ となる $\sigma$ の全体（どれも $1$ でない）なので、$$v\bigl(s(f)(\pi)\bigr)=\sum_{\sigma|_M=\tau}v(\pi-\sigma(\pi))=\sum_{\sigma|_M=\tau}i_G(\sigma)$$である。よって $v(a)=v(s(f)(\pi))$ を示せばよい。

$v(s(f)(\pi))\ge v(a)$。lem-kw-uniformizer の 3 を $M$ に使うと、$f$ の各係数 $c\in\mathcal{O}_M$ について $v_M(s(c)-c)\ge v_M(a)$ である。$f(\pi)=0$ なので $s(f)(\pi)=s(f)(\pi)-f(\pi)=\sum_j(s(c_j)-c_j)\pi^j$ で、各項の $v$ は $v(a)$ 以上である。

$v(a)\ge v(s(f)(\pi))$。lem-kw-uniformizer の 2 の $m$ について $m\pi_M=h(\pi)$（$h\in\mathbb{Z}[X]$）と書く。$h(X)-m\pi_M\in\mathcal{O}_M[X]$ は $\pi$ を根にもつので、モニックな $f$ で割り切れ、$h(X)-m\pi_M=f(X)k(X)$、$k\in\mathcal{O}_M[X]$ である（係数が $\mathcal{O}_M$ に入るモニック多項式による割り算）。$s$ を係数に施すと $h$ の係数は整数なので $h(X)-m\,s(\pi_M)=s(f)(X)\,s(k)(X)$ で、$X=\pi$ を代入して $h(\pi)=m\pi_M$ を使うと $-m\,a=s(f)(\pi)\,s(k)(\pi)$ である。$v(m)=0$、$v(s(k)(\pi))\ge0$ から主張を得る。

最後の式。$\sigma\notin H$ の和を $\tau=\sigma|_M$ ごとにまとめると $\sum_{\tau\ne1}\lvert H\rvert\,i_{G/H}(\tau)=\lvert H\rvert\,d(M)$ である。$\square$

$e:=\lvert I_q(K)\rvert$ は $[K:\mathbb{Q}]$ を割るので $p$ の冪で、$q$ で割り切れない。lem-kw-tame-inertia の 2 により $e\mid q-1$ である。$\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_q)/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$ は位数 $q-1$ の巡回群なので（有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）、$\mathbb{Q}(\zeta_q)$ には $e$ 次の部分体 $F$ がただ 1 つある。$q$ は $\mathbb{Q}(\zeta_q)$ で完全分岐するので（円分体 の記事の命題「素数冪の円分体」の 5）、lem-kw-inertia の 2 により $I_q(F)=\operatorname{Gal}(F/\mathbb{Q})$、$\lvert I_q(F)\rvert=e$ である。$F$ で分岐する素数は $q$ だけである（同記事の定理「円分体の判別式」と lem-kw-inertia の 1）。

$N:=KF$、$I:=I_q(N)$ とおく。$\lvert\operatorname{Gal}(N/\mathbb{Q})\rvert$ は $[K:\mathbb{Q}][F:\mathbb{Q}]$ を割るので $p$ の冪であり、$I$ の位数は $q$ で割り切れない。lem-kw-tame-inertia の 1 により $I$ は巡回群である。lem-kw-inertia の 3 により $I$ は $I_q(K)\times I_q(F)$ に単射で埋め込まれ、両成分とも位数 $e$ なので、$I$ の元の位数は $e$ を割り、巡回群 $I$ の位数は $e$ 以下である。一方 lem-kw-inertia の 2 により制限 $I\to I_q(K)$ は全射なので $\lvert I\rvert\ge e$ であり、$\lvert I\rvert=e$ である。同じく制限 $I\to I_q(F)$ も全射で位数が等しいので同型であり、$$I\cap\operatorname{Gal}(N/F)=\{1\}$$である。

$K':=N^I$ とおく。$\operatorname{Gal}(K'/\mathbb{Q})\cong\operatorname{Gal}(N/\mathbb{Q})/I$ は位数が $p$ の冪の Abel 群である。lem-kw-inertia の 2 により $q$ の $K'$ での惰性群は $I$ の像、すなわち自明なので、$q$ は $K'$ で分岐しない。$q$ 以外の素数 $\ell$ が $K'$ で分岐すれば、lem-kw-inertia の 1 により $N$ でも分岐し、3 により $K$ か $F$ で分岐するが、$F$ で分岐するのは $q$ だけなので、$\ell$ は $K$ で分岐する。これで 1 が示された。最後に、無限次Galois理論 の記事の系「中間体の束」（有限次の場合は Galois理論 の記事の系「共通部分と合成体の対応」）により $\operatorname{Gal}(N/K'F)=I\cap\operatorname{Gal}(N/F)=\{1\}$ なので $K'F=N\supset K$ である。$\square$