追跡曲線

方針：「接線が A を通る」ことから時刻と位置の関係を出し（段 1）、「道のりは速さ × 時間」から時刻の導関数を出す（段 2）。2 つを比べる（段 3）。
段 1（接線が A を通る）。条件 (ii) により、P の速度ベクトルは P から A へ向かう。速度ベクトルは道筋の接線の向きなので、点 $\bigl(x,y\bigr)$ での接線は $A(t)=(c,t)$ を通る。$x< c$ なので、接線の傾きは
$$ y'=\frac{t-y}{c-x} $$
である。両辺に $c-x$ を掛けて整理すると $t=y+(c-x)y'$ である。$x=0$ では $t=0$、$y(0)=0$ なので $0=0+c\,y'(0)$、つまり $y'(0)=0$ である（最初、A は P の真横にある）。
段 2（道のり）。P は時刻 $0$ から $t$ まで速さ $k$ で進むので、道のりは $kt$ である。一方、道のりは道筋の長さ $\displaystyle\int_0^x\sqrt{1+y'(v)^2}\,dv$ である（媒介変数表示と曲線の長さ）。よって
$$ t=\frac1k\int_0^x\sqrt{1+y'(v)^2}\,dv,\qquad \frac{dt}{dx}=\frac1k\sqrt{1+(y')^2} $$
である（微分積分学の基本定理）。
段 3（2 つを比べる）。段 1 の式 $t=y+(c-x)y'$ を $x$ で微分すると、積の微分により
$$ \frac{dt}{dx}=y'+\bigl(-y'+(c-x)y''\bigr)=(c-x)y'' $$
である。段 2 と比べて $(c-x)y''=\dfrac1k\sqrt{1+(y')^2}$ を得る。$\square$

段 1（$p=y'$ を求める）。$p=y'$ とおくと、prop-pur-ode により $p'=\dfrac{\sqrt{1+p^2}}{k(c-x)}$、$p(0)=0$ である。懸垂線の方程式（高校数学） の主定理 2 の証明と同じく、$\bigl(\sinh^{-1}v\bigr)'=\dfrac1{\sqrt{v^2+1}}$ を使うと
$$ \frac{d}{dx}\sinh^{-1}p=\frac{p'}{\sqrt{1+p^2}}=\frac1{k(c-x)}=\frac{d}{dx}\left(-\frac1k\log(c-x)\right) $$
である。導関数が等しいので差は定数で、$x=0$ での値 $\sinh^{-1}0=0$ と $-\dfrac1k\log c$ から
$$ \sinh^{-1}p=-\frac1k\log(c-x)+\frac1k\log c=-\frac1k\log u $$
である。$w=-\dfrac1k\log u$ とおくと $e^{w}=u^{-\frac1k}$、$e^{-w}=u^{\frac1k}$ なので
$$ p=\sinh w=\frac{e^w-e^{-w}}2=\frac12\left(u^{-\frac1k}-u^{\frac1k}\right) $$
である。
段 2（$y$ を求める）。$y(0)=0$ なので $y(x)=\displaystyle\int_0^xp\,dx$ である。$x=c(1-v)$ と置換すると $dx=-c\,dv$、$x=0$ のとき $v=1$、$x$ のとき $v=u$ で
$$ y=\int_1^u\frac12\left(v^{-\frac1k}-v^{\frac1k}\right)(-c)\,dv=\frac c2\int_u^1\left(v^{-\frac1k}-v^{\frac1k}\right)dv $$
である。
段 3（時刻と距離）。prop-pur-ode の $t=y+(c-x)p$ に $c-x=cu$ と段 1 の $p$ を入れると
$$ t=y+cu\cdot\frac12\left(u^{-\frac1k}-u^{\frac1k}\right)=y+\frac c2\left(u^{1-\frac1k}-u^{1+\frac1k}\right) $$
である。P と A の $x$ 座標の差は $c-x=cu$、$y$ 座標の差は $t-y=(c-x)p=cup$ なので
$$ \mathrm{PA}=\sqrt{(cu)^2+(cup)^2}=cu\sqrt{1+p^2}=cu\cosh w=cu\cdot\frac12\left(u^{-\frac1k}+u^{\frac1k}\right)=\frac c2\left(u^{1-\frac1k}+u^{1+\frac1k}\right) $$
である（$\sqrt{1+\sinh^2w}=\cosh w$）。$\square$

方針：lem-pur-solution の式で $u\to+0$（P が直線 $x=c$ に近づく）としたときの、時刻 $t$ と距離 PA の極限を調べる。
段 0（$u$ と時刻の対応）。prop-pur-ode の証明の段 2 により $\dfrac{dt}{dx}=\dfrac1k\sqrt{1+(y')^2}>0$ なので、$x$ が増える（$u$ が減る）と時刻 $t$ は増える。したがって、$u$ が $1$ から $0$ に向かって減るとき、時刻は $0$ から、ある値 $t_\infty$（有限の値か $\infty$）まで増えていく。$t_\infty$ は $u\to+0$ のときの $t$ の極限である。
段 1（$k>1$）。$1-\dfrac1k>0$ なので、$u\to+0$ のとき $u^{1-\frac1k}\to0$、$u^{1+\frac1k}\to0$ である。lem-pur-solution の後の式から
$$ y\to\frac c2\left(\frac1{1-\frac1k}-\frac1{1+\frac1k}\right)=\frac c2\left(\frac k{k-1}-\frac k{k+1}\right)=\frac c2\cdot\frac{k(k+1)-k(k-1)}{k^2-1}=\frac{ck}{k^2-1} $$
で、$t$ も同じ値 $t^*=\dfrac{ck}{k^2-1}$ に近づき、距離 PA は $0$ に近づく。時刻 $t^*$ より前は $u>0$ で PA $>0$ なので、P はまだ A に追いついていない。時刻 $t^*$ には、P の位置は $\bigl(c,\,t^*\bigr)$ に近づき、A も $\bigl(c,\,t^*\bigr)$ にあるので、P は A に追いつく。道のりは速さ × 時間で $kt^*=\dfrac{ck^2}{k^2-1}$ である。
段 2（$k=1$）。$y=\dfrac c2\left(-\log u-\dfrac{1-u^2}2\right)\to\infty$（$u\to+0$）で、$t\ge y$（lem-pur-solution の $t$ の式の第 2 項は $\dfrac c2(1-u^2)\ge0$）なので $t_\infty=\infty$ である。つまり、どの時刻でも P は $u>0$ の位置にある。そのときの距離は
$$ \mathrm{PA}=\frac c2\left(u^0+u^2\right)=\frac c2\left(1+u^2\right)>\frac c2 $$
で、$0$ にならない。時刻が進むと $u$ は減るので距離も減り、$u\to+0$ で $\dfrac c2$ に近づく。
段 3（$k<1$）。$\dfrac1k>1$ なので、$u\to+0$ のとき $v^{-\frac1k}$ の積分 $\displaystyle\int_u^1v^{-\frac1k}\,dv=\frac{u^{1-\frac1k}-1}{\frac1k-1}$ は $\infty$ に発散し（$1-\dfrac1k<0$）、$y\to\infty$、$t_\infty=\infty$ である。距離は $\mathrm{PA}\ge\dfrac c2u^{1-\frac1k}\to\infty$ である。どの時刻でも $\mathrm{PA}>0$ なので追いつかない。$\square$

方針：となりの 2 匹 $P_i$、$P_{i+1}$ の距離の 2 乗を微分する。2 匹の速度ベクトルのなす角が、正 $n$ 角形の外角 $\dfrac{2\pi}n$ であることを使う。
段 1（記号）。$\vec w=\overrightarrow{P_iP_{i+1}}$、$d=\lvert\vec w\rvert$ とし、$\vec e=\dfrac{\vec w}d$（$P_i$ から $P_{i+1}$ へ向かう長さ $1$ のベクトル）、$\vec e\,'$ を $P_{i+1}$ から $P_{i+2}$ へ向かう長さ $1$ のベクトルとする。規則により、$P_i$ の速度は $v\vec e$、$P_{i+1}$ の速度は $v\vec e\,'$ である。
段 2（2 つの向きのなす角）。O のまわりに $\dfrac{2\pi}n$ 回す回転は、rem-pur-symmetry により $P_i$ を $P_{i+1}$ に、$P_{i+1}$ を $P_{i+2}$ に移す。回転は向きを $\dfrac{2\pi}n$ 回すので、$\vec e\,'$ は $\vec e$ を $\dfrac{2\pi}n$ 回したベクトルである。長さ $1$ の 2 つのベクトルのなす角が $\dfrac{2\pi}n$ なので、内積は $\vec e\cdot\vec e\,'=\cos\dfrac{2\pi}n$ である（ベクトルの内積）。
段 3（距離の変化の速さ）。$\vec w$ は $P_{i+1}$ の位置から $P_i$ の位置を引いたものなので、その時間の導関数は速度の差 $v\vec e\,'-v\vec e$ である。$d^2=\vec w\cdot\vec w$ を成分で書いて積の微分をすると $\dfrac{d}{dt}(d^2)=2\,\vec w\cdot\dfrac{d\vec w}{dt}$ なので
$$ 2d\,d'=2\,d\vec e\cdot\bigl(v\vec e\,'-v\vec e\bigr)=2dv\left(\cos\frac{2\pi}n-1\right) $$
である（$\vec e\cdot\vec e=1$）。$d>0$ の間、両辺を $2d$ で割ると
$$ d'=-v\left(1-\cos\frac{2\pi}n\right) $$
で、右辺は定数である。
段 4（出会う時刻と道のり）。$d(0)=1$ なので $d(t)=1-v\left(1-\cos\dfrac{2\pi}n\right)t$ で、$d$ は時刻 $T$ に $0$ になる。正 $n$ 角形の中心から頂点までの距離は $\dfrac d{2\sin\frac\pi n}$ で、これも $0$ に近づくので、全員が O に集まる。1 匹の道のりは速さ × 時間で $vT=\dfrac1{1-\cos\frac{2\pi}n}$ である。$\square$