圏の局所化

$\approx$ と圏．すべての道を同一視する関係は (a)(b)(c) を含み連結と両立するので、そのような関係は存在する。それらすべての共通部分も同値関係で、連結と両立し、(a)(b)(c) を含む。これが最小の $\approx$ である（$\mathcal C$ が小さく $S$ が集合なので、道の全体は集合であり、関係の全体も集合である）。両立性から合成 $[p']\circ[p]:=[p'*p]$ は代表によらず、列の連結は結合的で $e_X$ が両側の単位元なので、$\mathcal C[S^{-1}]$ は圏である。(a)(b) により $Q$ は恒等射と合成を保つ関手であり、(c) により $[s^-]$ は $Q(s)=[s^+]$ の逆射である。

分解の存在．$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が $S$ の元を同型射に送るとし、道の評価 $\operatorname{ev}_F$ を要点のとおり（$\operatorname{ev}_F(e_X)=\mathrm{id}_{F(X)}$）定める。$\operatorname{ev}_F(p)=\operatorname{ev}_F(p')$ という関係は同値関係で、$\operatorname{ev}_F(q*p*r)=\operatorname{ev}_F(q)\operatorname{ev}_F(p)\operatorname{ev}_F(r)$ だから連結と両立し、(a) は $F(\mathrm{id})=\mathrm{id}$、(b) は $F(g)F(f)=F(gf)$、(c) は $F(s)^{-1}F(s)=\mathrm{id}$、$F(s)F(s)^{-1}=\mathrm{id}$ から含む。従って $p\approx p'$ なら $\operatorname{ev}_F(p)=\operatorname{ev}_F(p')$ であり、$\bar F(X):=F(X)$、$\bar F([p]):=\operatorname{ev}_F(p)$ は関手で、$\bar F\circ Q=F$ を満たす。

分解の一意性．$G\circ Q=F$ なら $G([f^+])=F(f)$、$G([s^-])=G(Q(s))^{-1}=F(s)^{-1}$ である。道 $(t_1,\dots,t_n)$ の類は $[t_n]\circ\cdots\circ[t_1]$、$e_X$ の類は恒等射なので、$G$ は $\bar F$ と一致する。

自然変換．$F,F'\colon\mathcal C\to\mathcal E$ が $S$ を同型射に送り、$\alpha\colon F\Rightarrow F'$ が自然変換とする。$s\colon X\to Y$（$s\in S$）での自然性 $\alpha_YF(s)=F'(s)\alpha_X$ の左から $F'(s)^{-1}$、右から $F(s)^{-1}$ を掛けると $\alpha_XF(s)^{-1}=F'(s)^{-1}\alpha_Y$ となり、これは $[s^-]$ についての自然性である。$[f^+]$ についての自然性はもとの自然性そのもので、合成について自然性は保たれるから、同じ成分 $\alpha_X$ が自然変換 $\bar F\Rightarrow\bar F'$ を与える。逆に $\mathcal C[S^{-1}]$ 上の自然変換 $\beta$ から $\beta Q$ を作ると成分は変わらない。$Q$ が対象について恒等なので、この 2 つの対応は互いに逆で、恒等変換と合成を保つ。関手についても、$G\mapsto G\circ Q$ と $F\mapsto\bar F$ は互いに逆である（$G\circ Q$ は $S$ を同型射に送り、一意性から $\overline{G\circ Q}=G$）。$\blacksquare$

第 1 の屋根を $(fu)/(su)$（$u\colon W\to X'$、$su\in S$）に取り替える。もとの通分の四角形 $tf'=ft'$ について、屋根条件 (2)(a) を $t'\in S$ と $u$ に当てて $t''\in S$、$u'$ で $t'u'=ut''$ とすると、$t(f'u')=ft'u'=(fu)t''$ なので $(t'',f'u')$ は $fu$ と $t$ の通分の四角形である。これを使った合成は $(gf'u')/(sut'')=(gf'u')/(st'u')$ で、$(gf')/(st')$ の分母を $u'$ で細かくしたものだから同値である（$st'u'=sut''\in S$）。(i) により、どの通分の四角形を使っても同じ類になる。

第 2 の屋根を $(gv)/(tv)$（$v\colon Y''\to Y'$、$tv\in S$）に取り替える。$f$ と $tv$ の通分の四角形 $(tv)f''=ft''$ を取ると、$t(vf'')=ft''$ なので $(t'',vf'')$ は $f$ と $t$ の通分の四角形であり、どちらで合成しても $(gvf'')/(st'')$ になる。

和が代表によらないこと：$[a/\sigma]=[a'/\sigma']$ が $(u,u')$ で、$[b/\sigma]=[b'/\sigma']$ が $(w,w')$ で与えられているとする。$\sigma u$ と $\sigma w$ の共通の分母 $\sigma up=\sigma wq\in S$ を取ると、$\sigma(up)=\sigma(wq)$ なので簡約条件で $upc=wqc$（$c\in S$）とでき、さらに $\sigma'(u'pc)=\sigma upc=\sigma wqc=\sigma'(w'qc)$ なので $u'pcc'=w'qcc'$（$c'\in S$）とできる。$r:=upcc'=wqcc'$、$r':=u'pcc'=w'qcc'$ とおけば $\sigma r=\sigma'r'\in S$、$ar=a'r'$、$br=b'r'$ なので $(a+b)r=(a'+b')r'$ となり、$[(a+b)/\sigma]=[(a'+b')/\sigma']$ である。零元は $[0/\mathrm{id}]$、逆元は $[(-a)/\sigma]$ で、結合律・可換律は $\mathcal C$ の $\operatorname{Hom}$ のものから従う。

合成の双線形性：$[b_i/\tau]$（$i=1,2$）と $[a/\sigma]$ の合成は、同じ通分の四角形 $\tau a'=at'$ を使えば $[(b_ia')/(\sigma t')]$ なので、和をとると $([b_1/\tau]+[b_2/\tau])\circ[a/\sigma]$ に一致する。$[b/\tau]$ と $[a_i/\sigma]$ については、$a_i$ の通分の四角形 $\tau a'_i=a_it'_i$ を取り、$t'_1p_1=t'_2p_2=:\rho\in S$ と揃えると、$\tau(a'_1p_1+a'_2p_2)=(a_1+a_2)\rho$ なので $(\rho,a'_1p_1+a'_2p_2)$ は $a_1+a_2$ の通分の四角形であり、$[b/\tau]\circ[(a_1+a_2)/\sigma]=[(ba'_1p_1+ba'_2p_2)/(\sigma\rho)]$ は 2 つの合成 $[(ba'_ip_i)/(\sigma\rho)]$ の和である。

最後に、$Q(a+b)=[(a+b)/\mathrm{id}]=Q(a)+Q(b)$。零対象 $0$ について $\mathrm{id}_{Q(0)}=Q(\mathrm{id}_0)=Q(0\text{ の零射})=0$ なので $Q(0)$ は零対象である。$\mathcal C$ の直和の図式は等式で特徴づけられ、加法的な $Q$ はそれを保つ。$\mathcal C_S$ の対象はすべて $Q$ の像なので、$\mathcal C_S$ は有限直和をもつ。 $\blacksquare$

自然変換の延長。この節の 2 つの命題は、def-catloc-localization の意味の局所化ならどれについても成り立つ。使うのは次の事実だけである。

関手 $F,G\colon\mathcal C[S^{-1}]\to\mathcal E$ と自然変換 $\lambda\colon FQ\Rightarrow GQ$ について、$\theta Q=\lambda$ となる自然変換 $\theta\colon F\Rightarrow G$ がただ 1 つある。小さい圏の構成では prop-catloc-existence の最後の主張、$\mathcal C_S$ では prop-catloc-natural-transformation である。一般の局所化では、$\mathcal E$ の射を対象とし可換な四角形を射とする圏 $\mathcal E^{\to}$ を考える。$X\mapsto\lambda_X$、$f\mapsto(FQf,GQf)$ は関手 $\Lambda\colon\mathcal C\to\mathcal E^{\to}$ で、$s\in S$ を同型射に送る（両成分が同型射）。よって $\Lambda=\bar\Lambda Q$ となる $\bar\Lambda$ がただ 1 つあり、始点・終点をとる関手と合成したものは、$Q$ との合成が $FQ$、$GQ$ になるので一意性から $F$、$G$ である。すなわち $\bar\Lambda$ は自然変換 $\theta\colon F\Rightarrow G$ で、$\theta Q=\lambda$ である。$\theta Q=\theta'Q$ なら、$\theta,\theta'$ の定める関手 $\mathcal C[S^{-1}]\to\mathcal E^{\to}$ は $Q$ との合成が等しいので一致し、$\theta=\theta'$ である。

終対象。$t_X\colon X\to e$ をただ 1 つの射とすると、$t\colon\mathrm{Id}_{\mathcal C}\Rightarrow\mathrm{const}_e$ は自然変換で、$Qt\colon\mathrm{Id}\circ Q\Rightarrow\mathrm{const}_{Q(e)}\circ Q$ は $\beta Q=Qt$ となる $\beta\colon\mathrm{Id}\Rightarrow\mathrm{const}_{Q(e)}$ に延びる。$\beta_{Q(e)}=Q(t_e)=Q(\mathrm{id}_e)=\mathrm{id}$ である。$\mathcal C[S^{-1}]$ の任意の対象 $z$ と射 $h\colon z\to Q(e)$ について、$\beta$ の $h$ についての自然性は $\beta_{Q(e)}\circ h=\beta_z$、すなわち $h=\beta_z$ である。よって $z$ から $Q(e)$ への射は $\beta_z$ ただ 1 つである（$z$ が $Q$ の像であることは使っていない）。始対象については、$\mathcal C[S^{-1}]^{\mathrm{op}}$ と $Q^{\mathrm{op}}$ が $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の $S$ による局所化になる（定義の条件は矢印を逆にしても同じ）ので、反対圏で同じ議論をすればよい。$\blacksquare$

$\eta,\varepsilon$ は $i\dashv j$ の単位・余単位、$Q\colon\mathcal C\to\mathcal C[S^{-1}]$、$Q'\colon\mathcal C'\to\mathcal C'[S'^{-1}]$ は局所化である。$\eta$、$\varepsilon$ の成分が $S$、$S'$ に属することは仮定しない。prf-catloc-terminal の「自然変換の延長」を使う。$Q'i(S)\subset Q'(S')$ は同型射なので $\bar i$ が、同様に $\bar j$ が定まる。$Q\eta\colon Q\Rightarrow Qji=\bar j\bar iQ$ と $Q'\varepsilon\colon\bar i\bar jQ'=Q'ij\Rightarrow Q'$ は、$\bar\eta Q=Q\eta$、$\bar\varepsilon Q'=Q'\varepsilon$ となる $\bar\eta\colon\mathrm{Id}\Rightarrow\bar j\bar i$、$\bar\varepsilon\colon\bar i\bar j\Rightarrow\mathrm{Id}$ に延びる。三角等式を示す。$X\in\mathcal C$ で $(\bar\varepsilon\bar i)_{QX}\circ\bar i(\bar\eta_{QX})=\bar\varepsilon_{Q'iX}\circ\bar iQ(\eta_X)=Q'(\varepsilon_{iX})\circ Q'(i\eta_X)=Q'(\varepsilon_{iX}\circ i\eta_X)=\mathrm{id}$ なので、自然変換 $(\bar\varepsilon\bar i)\circ(\bar i\bar\eta)\colon\bar i\Rightarrow\bar i$ は $Q$ と合成すると恒等変換になり、延長の一意性から恒等変換である。同様に $(\bar j\bar\varepsilon)\circ(\bar\eta\bar j)$ は $Q'$ と合成すると $Q(j\varepsilon_Y\circ\eta_{jY})=\mathrm{id}$ になるので恒等変換である。三角等式をみたす単位と余単位をもつので $\bar i\dashv\bar j$ である。$\blacksquare$