くし空間

$A:=\{0\}\cup T$ とおく。$z=(x,y)\in W$ とすると $|y-y_0|\le\|z-p\|<\varepsilon\le y_0$ だから $y>0$ である。$C$ の点で第二座標が正のものは極限の歯か歯の上にあるので、$x\in A$ となる。したがって第一座標をとる写像 $\pi\colon W\to A$ が定義でき、これは $\mathbb{R}^2$ の射影の制限だから連続である。
$A$ の連結部分集合は高々一点である。実際 $a< b$ を $A$ の二点とすると、$a< c< b$ かつ $c\notin A$ となる実数 $c$ が取れる。$b=1/m$ と書くとき、$1/(m+1)< c<1/m$ を満たす $c$ を取れば $c\notin A$ であり、$a\in A$ かつ $a< b=1/m$ から $a\le 1/(m+1)< c$ が従う（$a=0$ の場合も含む）。すると $A\cap(-\infty,c)$ と $A\cap(c,\infty)$ は $A$ の開集合で、交わらず、和が $A$ であり、それぞれ $a$ と $b$ を含む。$a,b$ をともに含む部分集合にこの分割を制限すれば、その部分集合の非空な開分割が得られるので、二点以上をもつ連結部分集合は存在しない。
$W$ の $p$ を含む連結成分を $K$ とすると、$\pi(K)$ は連結集合の連続像なので連結であり（連結空間 の連続像についての定理）、$\pi(p)=0$ を含む。よって $\pi(K)=\{0\}$、すなわち $K\subset\{0\}\times[0,1]$ である。

$z=(x,y)\in C$ に対し $\gamma_z\colon[0,1]\to\mathbb{R}^2$ を
$$\gamma_z(t):=\begin{cases}(x,(1-2t)y) & 0\le t\le \tfrac12,\\ ((2-2t)x,0) & \tfrac12\le t\le 1\end{cases}$$
と定める。$t=\tfrac12$ ではどちらの式も $(x,0)$ を与えるので矛盾なく定まり、二つの閉区間の上でそれぞれ連続だから $\gamma_z$ は連続である。値が $C$ に入ることを見る。$y=0$ のときは前半は $(x,0)$ で背骨に属する。$y>0$ のときは $z\in C$ より $x\in\{0\}\cup T$ で、このとき $\{x\}\times[0,1]\subset C$ だから前半の値は $C$ に属する。後半は $(2-2t)x\in[0,1]$（$x\in[0,1]$ より）なので背骨に属する。$\gamma_z(0)=z$、$\gamma_z(1)=(0,0)$ である。
よって $C$ の任意の点は原点と道で結べる。二点 $z_1,z_2$ に対しては $\gamma_{z_1}$ と $\gamma_{z_2}$ の逆向きをつなげばよい。弧状連結ならば連結であることは 連結空間 が証明つきで所有している。

$H\colon C\times[0,1]\to C$ を $H(z,t):=\gamma_z(t)$、すなわち
$$H\bigl((x,y),t\bigr):=\begin{cases}(x,(1-2t)y) & 0\le t\le \tfrac12,\\ ((2-2t)x,0) & \tfrac12\le t\le 1\end{cases}$$
で定める。値が $C$ に入ることは前の証明で見た。$C\times[0,1]$ を二つの閉集合 $C\times[0,\tfrac12]$ と $C\times[\tfrac12,1]$ に分けると、各式は座標の連続関数なので $H$ はそれぞれの上で連続であり、境界で一致するので $H$ は連続である。
$H(z,0)=z$、$H(z,1)=(0,0)$、そして $H\bigl((0,0),t\bigr)=(0,0)$ がすべての $t$ で成り立つ。定値写像 $r\colon C\to\{(0,0)\}$ は $\{(0,0)\}$ の上で恒等写像だからレトラクションであり、$H$ は恒等写像から包含と $r$ の合成へ向かう、$\{(0,0)\}$ の点を動かさないホモトピーである。変位レトラクトと強変位レトラクトの定義は 変位レトラクト が所有している。

上の $H$ が $H(\cdot,0)=\mathrm{id}_C$、$H(\cdot,1)=$ 定値写像 $(0,0)$ を満たすので、これがそのまま可縮性の定義を満たすホモトピーである。可縮性の定義は 可縮空間 が所有している。

前半。$\sigma(s):=(0,s)$ は極限の歯に沿う $C$ の中の道で $\sigma(0)=(0,0)$、$\sigma(1)=q$ である。
$$G(z,t):=\begin{cases}H(z,2t) & 0\le t\le\tfrac12,\\ \sigma(2t-1) & \tfrac12\le t\le 1\end{cases}$$
と定めると、$t=\tfrac12$ でどちらも $(0,0)$ なので連続に貼り合い、$G(z,0)=z$、$G(z,1)=q$ である。定値写像 $r_q\colon C\to\{q\}$ は $\{q\}$ の上で恒等だからレトラクションで、$G$ は恒等写像から包含と $r_q$ の合成へのホモトピーを与える。よって $\{q\}$ は変位レトラクトである。なお $G$ は $q$ を途中で動かす。
後半。$\{q\}$ が強変位レトラクトだとして矛盾を導く。すなわち連続写像 $F\colon C\times[0,1]\to C$ で
$$F(z,0)=z,\qquad F(z,1)=q,\qquad F(q,t)=q\ (\forall t)$$
を満たすものがあるとする。$U:=\{z\in C\mid \|z-q\|<1\}$ とおくと $U$ は $C$ の開集合で $q\in U$ である。$N:=F^{-1}(U)$ は $C\times[0,1]$ の開集合で、三番目の条件より $\{q\}\times[0,1]\subset N$ である。
各 $t\in[0,1]$ に対し
$$\rho(t):=\sup\Bigl\{r\in(0,1]\ \Bigm|\ \{z\in C\mid\|z-q\|< r\}\times\bigl((t-r,t+r)\cap[0,1]\bigr)\subset N\Bigr\}$$
とおく。$N$ は $(q,t)$ の近傍だから右辺の集合は空でなく、$\rho(t)>0$ である。またこの集合は $r$ について下に閉じているので、$0< r<\rho(t)$ ならば上の包含が成り立つ。$\rho$ は各 $t$ ごとに上限で定めており、添字ごとに一つずつ選んでいるわけではないので、ここで選択公理は使っていない。
$r(t):=\rho(t)/2$ とおくと開区間の族 $\{(t-r(t),t+r(t))\}_{t\in[0,1]}$ は $[0,1]$ を覆う。$[0,1]$ はコンパクトだから有限個の $t_1,\dots,t_k$ で覆える。$\delta:=\min_{1\le i\le k} r(t_i)>0$ とおき $V:=\{z\in C\mid\|z-q\|<\delta\}$ とする。任意の $t\in[0,1]$ はある $(t_i-r(t_i),t_i+r(t_i))$ に属し、$\delta\le r(t_i)<\rho(t_i)$ だから $V\times\{t\}\subset N$ である。したがって $F(V\times[0,1])\subset U$ となる。
$1/n<\delta$ を満たす $n$ を取り $z_n:=(1/n,1)\in C$ とおくと $\|z_n-q\|=1/n<\delta$ なので $z_n\in V$ である。すると $t\mapsto F(z_n,t)$ は $U$ の中の道で、$z_n$ と $q$ を結ぶ。その像は連結で $q$ を含むから、$U$ の $q$ を含む連結成分に含まれる。ところが補題を $Y=C$、$p=q$、$y_0=1$、$\varepsilon=1$ に当てると（このとき $W=U$）、その連結成分は $\{0\}\times[0,1]$ に含まれる。$z_n=(1/n,1)$ は第一座標が $0$ でないのでこれに属さず、矛盾である。

成り立たない側。$W:=\{z\in C\mid\|z-p\|< y_0\}$ とおくと $W$ は $p$ の開近傍である。$V$ を $V\subset W$ を満たす $p$ の任意の近傍とする。$V$ は $p$ の近傍だから、ある $\delta\in(0,y_0]$ について $\{z\in C\mid\|z-p\|<\delta\}\subset V$ となる。$1/n<\delta$ を満たす $n$ を取ると、$y_0\in[0,1]$ より $(1/n,y_0)\in C$ であり、$\|(1/n,y_0)-p\|=1/n<\delta$ だから $(1/n,y_0)\in V$ である。
一方、補題を $Y=V$、$\varepsilon=y_0$ に当てる。$V\subset W$ だから $\{z\in V\mid\|z-p\|< y_0\}=V$ であり、$V$ の $p$ を含む連結成分は $\{0\}\times[0,1]$ に含まれる。$(1/n,y_0)$ はそこに属さないから、$V$ は連結でない。よって $W$ の中には $p$ の連結な近傍が一つも無く、$C$ は $p$ で局所連結でない。弧状連結な集合は連結だから（連結空間）、$p$ で局所弧状連結でもない。
成り立つ側。$C$ の点は、原点・背骨の上の原点以外の点・歯の上の高さが正の点・極限の歯の上の高さが正の点のいずれかである。最初の三つについては、それぞれ上の三つの例で弧状連結な開近傍からなる基本近傍系を具体的に与えた。したがってそれらの点では局所弧状連結であり、弧状連結ならば連結なので局所連結でもある。
局所連結性・局所弧状連結性はすべての点で成り立つことを要求する性質なので、破れる点が一つでもあれば空間としては成り立たない。局所連結性の定義は 局所連結空間 が所有している。連結性との独立性については同記事を参照できる。局所弧状連結性の定義は 弧状連結空間 が所有している。

$U:=\{z\in C\mid\|z-p\|< y_0\}$ とおく。$V\subset U$ を $p$ の任意の近傍とし、包含写像 $\iota\colon V\to U$ が値 $c_0\in U$ の定値写像とホモトピックだったとする。そのホモトピー $F\colon V\times[0,1]\to U$ は、各 $v\in V$ に対して $U$ の中の道 $t\mapsto F(v,t)$ を与え、$v$ と $c_0$ を結ぶ。したがって $V$ のすべての点は $U$ の中で互いに道で結ばれ、$V$ は $U$ の一つの弧状連結成分に含まれる。弧状連結な集合は連結だから、その弧状連結成分は $U$ の一つの連結成分に含まれ、$p\in V$ よりそれは $p$ を含む連結成分である。補題（$Y=C$、$\varepsilon=y_0$、このとき $W=U$）により、その成分は $\{0\}\times[0,1]$ に含まれる。
ところが $V$ は $p$ の近傍だから、前の証明と同じく十分大きい $n$ について $(1/n,y_0)\in V$ となる。これは $\{0\}\times[0,1]$ に属さないので矛盾である。よってそのような $V$ は存在せず、$C$ は $p$ で局所可縮でない。

$D_0:=D\setminus\{(0,1)\}=\bigl([0,1]\times\{0\}\bigr)\cup\bigl(T\times[0,1]\bigr)$ とおく。$D_0$ の各点 $z$ に対し、$C$ の弧状連結性の証明で作った道 $\gamma_z$（歯を根元まで下り、背骨を左へ進む）は極限の歯を通らないので $D_0$ の中に留まる。よって $D_0$ は弧状連結で、したがって連結である。
$(1/n,1)\in D_0$ は $n\to\infty$ で $(0,1)$ に収束するから $(0,1)$ は $D_0$ の閉包に属し、$D_0\subset D\subset\overline{D_0}$ が成り立つ。連結集合 $A$ に対して $A\subset B\subset\overline{A}$ を満たす $B$ が連結であることは 連結空間 が証明つきで所有している。よって $D$ は連結である。

$\gamma\colon[0,1]\to D$ を $\gamma(0)=q$ を満たす道とし、$S:=\gamma^{-1}(\{q\})$ とおく。$\mathbb{R}^2$ は Hausdorff なので $\{q\}$ は $D$ の閉集合であり、$S$ は $[0,1]$ の閉集合である。
$S$ が開であることを見る。$t\in S$ とする。$W:=\{z\in D\mid\|z-q\|<1\}$ は $q$ の $D$ における開近傍である。補題を $Y=D$、$p=q$、$y_0=1$、$\varepsilon=1$ に当てると、$W$ の $q$ を含む連結成分は $\{0\}\times[0,1]$ に含まれる。ところが $D\cap(\{0\}\times[0,1])=\{(0,0),(0,1)\}$ であり、$\|(0,0)-q\|=1$ は $1$ より小さくないので $(0,0)\notin W$ である。よって $W\cap(\{0\}\times[0,1])=\{q\}$ となり、$W$ の $q$ を含む連結成分は $\{q\}$ である。$\gamma$ の連続性より、$t$ を含む $[0,1]$ の相対開区間 $I$ で $\gamma(I)\subset W$ となるものが取れる。$\gamma(I)$ は区間の連続像なので連結で、$q$ を含むから $\{q\}$ に含まれる。よって $I\subset S$ であり、$S$ は開である。
$[0,1]$ は連結で $S$ は空でない開かつ閉集合だから $S=[0,1]$、すなわち $\gamma$ は定値写像である。よって $q$ を他の点と結ぶ道は存在しない。

連結性。$A'$ の各点から $(1,0)$ へは、歯を根元まで下り、背骨を右へ進む道が取れる。この道は原点を通らず $A'$ の中に留まるので $A'$ は弧状連結、したがって連結である。$0< y\le1$ に対し $(1/n,y)\in A'$ は $(0,y)$ に収束するから $L\subset\overline{A'}$ であり、$A'\subset C'\subset\overline{A'}$ が成り立つ。よって 連結空間 の閉包についての命題により $C'$ は連結である。
弧状連結でないこと。$\gamma\colon[0,1]\to C'$ を道とし $S:=\gamma^{-1}(L)$ とおく。$\{0\}\times[0,1]$ は $\mathbb{R}^2$ の閉集合で $L=C'\cap(\{0\}\times[0,1])$ だから $L$ は $C'$ の閉集合であり、$S$ は閉である。
$S$ が開であることを見る。$t\in S$ とし $\gamma(t)=(0,y)$ とおく（$y>0$）。補題を $Y=C'$、$p=(0,y)$、$\varepsilon=y$ に当てると、$W:=\{z\in C'\mid\|z-(0,y)\|< y\}$ の $(0,y)$ を含む連結成分は $\{0\}\times[0,1]$、したがって $L$ に含まれる。連続性より、$t$ を含む相対開区間 $I$ で $\gamma(I)\subset W$ となるものが取れ、$\gamma(I)$ は連結で $(0,y)$ を含むからその成分に含まれ、ゆえに $L$ に含まれる。よって $I\subset S$ であり $S$ は開である。
$[0,1]$ は連結なので $S$ は $\emptyset$ か $[0,1]$ である。すなわち道は最初から最後まで $L$ の中にあるか、$L$ とまったく交わらないかのどちらかである。$L$ は線分なので弧状連結、$A'$ は上で見たとおり弧状連結だから、弧状連結成分はちょうど $L$ と $A'$ の二つである。とくに $(0,1)\in L$ と $(1,0)\in A'$ を結ぶ道は存在せず、$C'$ は弧状連結でない。