有理関数体

存在：$\varphi=f_0/g_0$（$g_0\neq0$）と書き、$f_0,g_0$ のモニックな最大公約数を $d$ とする。$f_0=df_1$、$g_0=dg_1$ とおくと $f_0/g_0=f_1/g_1$（$f_0g_1=df_1g_1=f_1g_0$）であり、$f_1,g_1$ の最大公約数は $1$ である（公約元 $e$ があれば $de$ が $f_0,g_0$ の公約元になり、$d$ の最大性から $e$ は定数）。$g_1$ の最高次係数を $c$ として $f=f_1/c$、$g=g_1/c$ とすればよい。
一意性：$f/g=f'/g'$ がともに条件を満たすとする。$fg'=f'g$ である。$f,g$ の最大公約数は $1$ なので $uf+vg=1$ となる $u,v\in K[x]$ があり、
$$ g'=ufg'+vgg'=uf'g+vgg'=g(uf'+vg') $$
だから $g\mid g'$ である。対称に $g'\mid g$ なので $g'=cg$（$c\in K^\times$）であり、ともにモニックだから $c=1$、$g=g'$ である。すると $fg=f'g$ で $g\neq0$、$K[x]$ は整域なので $f=f'$ である。$\square$

$A:=K[x_1,\dots,x_{n-1}]$ とおくと $F=\operatorname{Frac}(A)$ であり、$A[x_n]=K[x_1,\dots,x_n]$ である（多項式環 の記事の定義「多変数の多項式環」）。$A\subset F$ から $A[x_n]\subset F[x_n]\subset F(x_n)$ であり、この包含 $j\colon A[x_n]\to F(x_n)$ は単射な環準同型である。
$F(x_n)$ の任意の元が $j(P)j(Q)^{-1}$（$P,Q\in A[x_n]$、$Q\neq0$）の形に書けることを示す。$F(x_n)$ の元は $R/S$（$R,S\in F[x_n]$、$S\neq0$）と書ける。$R$ と $S$ の係数は有限個の $F$ の元なので、それらの分母の積 $d\in A\setminus\{0\}$ をとれば $dR$ と $dS$ はともに $A[x_n]$ に属し、$R/S=(dR)/(dS)$ である。$dS\neq0$ である。
商体 の記事の系「整域を含む最小の体」の 3 により、$j$ は同型 $\operatorname{Frac}(A[x_n])\cong F(x_n)$ に延長される。左辺は $K(x_1,\dots,x_n)$ である。$\square$

$f=\sum_ia_iy^i$、$g=\sum_ib_iy^i$ と書くと、$P(y)=\sum_i(a_i-ub_i)y^i$ である。$i\le n$ のうち $a_i,b_i$ の少なくとも一方が $0$ でないものについて $a_i-ub_i\neq0$ である。実際、$b_i\neq0$ なら $a_i-ub_i=0$ は $u=a_i/b_i\in K$ を意味し、$b_i=0$ なら $a_i-ub_i=a_i\neq0$ である。特に $y^n$ の係数は $0$ でなく、$P$ は $y$ について $n$ 次である。また $P(x)=f(x)-(f/g)g(x)=f-f=0$ なので、$x$ は $P$ の根である。$u\notin K$ から $f,g$ の少なくとも一方は定数でなく、$n\ge1$ である。
1：$x$ は $K(u)$ 係数の $0$ でない多項式 $P$ の根なので $K(u)$ 上代数的であり、$K(x)=K(u)(x)$ だから $[K(x):K(u)]\le n$ である（体の拡大 の記事の定理「単純拡大の構造」）。もし $u$ が $K$ 上代数的なら $[K(u):K]<\infty$ であり、次数の乗法性（体の拡大 の記事の定理「拡大次数の乗法性」）により $[K(x):K]<\infty$ となるが、これは ex-rational-function-field-transcendental に反する。よって $u$ は超越的である。
2：1 により、$T\mapsto u$ は多項式環の同型 $K[T]\cong K[u]$ を与える。これにより $P$ を 2 変数多項式 $\Phi(T,y):=f(y)-Tg(y)\in K[T][y]=K[y][T]$ に対応させる（変数の順序は 多項式環 の記事の系「多変数の普遍性と変数の順序」により入れ替えてよい）。$\Phi$ が $K[T,y]$ の既約元であることを示す。$\Phi$ は $y$ について $n\ge1$ 次なので $0$ でも単元でもない。$\Phi=AB$ と分解したとする。$K[y][T]$ で $T$ についての次数を比べると $\deg_TA+\deg_TB=\deg_T\Phi=1$（$g\neq0$ による）なので、たとえば $\deg_TA=0$、すなわち $A\in K[y]$ である。$B=B_0+B_1T$（$B_0,B_1\in K[y]$）と書いて係数を比べると $f=AB_0$、$-g=AB_1$ なので、$A$ は $f$ と $g$ の公約元であり、$f,g$ の最大公約数が $1$ だから $A$ は $0$ でない定数、すなわち単元である。よって $\Phi$ は既約元である。
$K[T]$ は一意分解整域であり（多項式環 の記事の定理「体上の一意分解」）、その商体は $K(T)$ である。$\Phi$ は $y$ について正の次数をもつ $K[T][y]$ の既約元なので、多項式環 の記事の命題「既約性の商体への遺伝」により $K(T)[y]$ で既約である。同型 $K(T)\cong K(u)$ で送れば、$P$ は $K(u)[y]$ で既約である。
3：2 により、$P$ を最高次係数で割ったものは $x$ の $K(u)$ 上の最小多項式であり、$[K(x):K(u)]=[K(u)(x):K(u)]=\deg P=n$ である。$\square$

$u\in K(x)\setminus K$ とする。prop-rational-function-field-degree の 1 により $u$ は超越的なので、体の拡大 の記事の定理「単純拡大の構造」の 2 により、$h\mapsto h(u)$（有理関数の $x$ に $u$ を代入する写像）は $K$ 上の体の単射準同型 $\sigma\colon K(x)\to K(x)$ を与え、その像は $K(u)$ である。$K$ 上の準同型は $x$ の像で決まる（$f/g$ の像は $f(\sigma(x))/g(\sigma(x))$ である）。また $\sigma(x)\in K$ となる $K$ 上の準同型は存在しない（$x-\sigma(x)\neq0$ が $0$ に送られ、単射性に反する）。
したがって $K$ 上の自己同型は、$u\in K(x)\setminus K$ で $K(u)=K(x)$、すなわち $[K(x):K(u)]=1$ となるものと一対一に対応する。prop-rational-function-field-degree の 3 により、これは既約分数表示 $u=f/g$ で $\max(\deg f,\deg g)=1$ となることと同値である。
この条件が $u=(ax+b)/(cx+d)$、$ad-bc\neq0$ と同値であることを示す。$\max(\deg f,\deg g)=1$ なら $f=ax+b$、$g=cx+d$ と書け、$ad-bc=0$ とすると $(a,b)$ と $(c,d)$ が比例する（どちらも $0$ でない）ので、$f$ と $g$ は定数倍の関係にあり、$u\in K$ となるか、$f,g$ が 1 次の公約元をもつことになって矛盾する。逆に $ad-bc\neq0$ なら、$ax+b$ と $cx+d$ は比例しないので $u\notin K$ であり、1 次の公約元をもたないので（もつなら両者は比例する）最大公約数は $1$ で、$\max(\deg f,\deg g)=1$ である。
群の構造について：$M\cdot x:=\sigma_M(x)=(ax+b)/(cx+d)$ と書くと、$\sigma_M\sigma_N(x)=\sigma_M\bigl(N\cdot x\bigr)$ は $N\cdot x$ の $x$ に $M\cdot x$ を代入したものであり、1 次分数式の合成の計算により $(NM)\cdot x$ に等しい。よって $\sigma_M\sigma_N=\sigma_{NM}$ であり、$M\mapsto\sigma_{M^{-1}}$ は群準同型である（$\sigma_{M^{-1}}\sigma_{N^{-1}}=\sigma_{N^{-1}M^{-1}}=\sigma_{(MN)^{-1}}$）。全射であることは上で示した。核について、$\sigma_M=\mathrm{id}$ は $(ax+b)/(cx+d)=x$、すなわち $ax+b=cx^2+dx$ を意味し、係数を比べて $c=0$、$b=0$、$a=d$ となる。よって核はスカラー行列の全体である。$\square$

分解 $g=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ の存在は、体上の多項式環での一意分解（多項式環 の記事の定理「体上の一意分解」）による。
存在、第 1 段：$q_i:=p_i^{e_i}$ とおき、$1/g=\sum_ib_i/q_i$ となる $b_i\in K[x]$ があることを $r$ についての帰納法で示す。$r=0$ なら $g=1$ で $h=f$ とすればよい。$r=1$ なら $b_1=1$ でよい。$r\ge2$ のとき $Q:=q_2\cdots q_r$ とおくと、$q_1$ と $Q$ の最大公約数は $1$ である（共通の既約因子は $p_1$ でなければならないが、$p_1$ は相異なる既約多項式 $p_2,\dots,p_r$ のどれも割り切らないので $Q$ を割り切らない。多項式環 の記事の命題「既約多項式に関する Euclid の補題」）。よって $sq_1+tQ=1$ となる $s,t\in K[x]$ があり、両辺を $g=q_1Q$ で割ると $1/g=t/q_1+s/Q$ である。$s/Q$ に帰納法の仮定を用いればよい。すると $f/g=\sum_ifb_i/p_i^{e_i}$ である。
存在、第 2 段：$c\in K[x]$、$p$ を定数でない多項式、$e\ge1$ とする。$c$ を $p$ で割り、商をさらに $p$ で割ることを繰り返すと、$c=c_0+c_1p+\dots+c_mp^m$（$\deg c_k<\deg p$）と書ける（$p$ 進展開）。よって
$$ \frac{c}{p^e}=\sum_{k< e}\frac{c_k}{p^{e-k}}+\sum_{k\ge e}c_kp^{k-e} $$
であり、第 1 の和は $j=e-k\in\{1,\dots,e\}$ についての $c_k/p^j$ の和、第 2 の和は多項式である。これを第 1 段の各項 $fb_i/p_i^{e_i}$ に適用し、多項式の部分をまとめて $h$ とすれば存在が示される。
一意性：2 つの表示の差をとると、$\deg a_{ij}<\deg p_i$ を満たす $a_{ij}$ と $h\in K[x]$ によって $h+\sum_{i,j}a_{ij}/p_i^j=0$ となる。すべての $a_{ij}$ が $0$ であることを示せば $h=0$ も従う。ある $a_{ij}\neq0$ があるとし、そのような $i$ を 1 つ固定し、$a_{ij}\neq0$ となる最大の $j$ を $j_0$ とする。$D:=\prod_{i'\neq i}p_{i'}^{e_{i'}}$ とおき、等式の両辺に $Dp_i^{j_0}$ を掛けると
$$ Da_{ij_0}+p_i\sum_{j< j_0}Da_{ij}p_i^{\,j_0-j-1}+p_i^{\,j_0}\Bigl(Dh+\sum_{i'\neq i}\sum_jDa_{i'j}p_{i'}^{-j}\Bigr)=0 $$
となり、各項は多項式である（$j\le e_{i'}$ なので $Dp_{i'}^{-j}\in K[x]$）。よって $p_i\mid Da_{ij_0}$ である。$p_i$ は既約で $D$ を割り切らないので、Euclid の補題により $p_i\mid a_{ij_0}$ となるが、$0\le\deg a_{ij_0}<\deg p_i$ なのでこれは $a_{ij_0}=0$ を意味し、矛盾する。
最後の主張：$\deg f<\deg g$ なら、$h=f/g-\sum_{i,j}a_{ij}/p_i^j$ の右辺の各項は $0$ か負の次数をもつので、定義の直後に述べた次数の不等式により、$h$ は $0$ であるか負の次数をもつ。多項式で負の次数をもつものはないので $h=0$ である。$\square$