Cartan–Thullenの定理
概要
Cartan–Thullenの定理（Cartan–Thullen theorem）とは、$\mathbb{C}^n$ の領域 $U$ について、$U$ が正則領域であることと、$U$ のコンパクト集合の正則凸包がいつもコンパクトであること（正則凸性）が同値であるという定理である。正則領域では、コンパクト集合 $K$ の正則凸包は $K$ より境界に近づかず、どの延長の組に沿っても延長できない正則関数が 1 つ存在する。領域の外の点を使う定義を内側の条件に言い換えるので、正則領域であることが双正則写像で保たれることが従う。
Cartan–Thullenの定理（Cartan–Thullen theorem）とは、$\mathbb{C}^n$ の領域 $U$ について、$U$ が正則領域であること（その上の正則関数がすべて一斉に境界を越えて延びるような場所がないこと）と、$U$ のコンパクト集合の正則凸包がいつもコンパクトであること（正則凸性）が同値である、という定理である。H. Cartan と P. Thullen が 1932 年に示した。
正則領域の定義は、領域の外にある点を使って述べられる。延長が起こるかどうかは、$U$ の外の開集合 $W$ の上の関数を見ないと判定できない。これに対し正則凸性は、$U$ のコンパクト集合と $U$ 上の正則関数だけで決まる、領域の内側の条件である。この言い換えによって、たとえば正則領域であることが双正則写像で保たれることがすぐに分かり（定義からは見えにくい）、正則凸性の概念は $\mathbb{C}^n$ の領域を離れて複素多様体の上でも意味をもつ（Stein多様体 の定義の条件の 1 つになる）。
定理には量的な形もある。正則領域では、コンパクト集合 $K$ の正則凸包は、$K$ 自身より境界に近づかない。さらに、正則領域の上には、どの境界の部分を越えても延ばせない正則関数が 1 つで存在する。この記事では、これら 4 つの条件の同値性を証明し、平面の領域・凸な領域・座標超平面の補集合が正則領域であること、Hartogs 図形が正則領域でないことを、定理を使って確かめる。
記号と準備
$\mathbb{C}^n$ の点を $z=(z_1,\dots,z_n)$ と書き、$\|z\|_\infty:=\max_j|z_j|$ とする。$a\in\mathbb{C}^n$、$r>0$ について $\Delta(a,r):=\{z\mid\|z-a\|_\infty< r\}$ は中心 $a$、多重半径がすべて $r$ の 多重円板 である。領域とは連結な開集合のことである。開集合 $U\subsetneq\mathbb{C}^n$ と $z\in U$ について
$$
d_U(z):=\sup\{r>0\mid\Delta(z,r)\subset U\}
$$
とおく（$U=\mathbb{C}^n$ なら $d_U\equiv\infty$）。$\Delta(z,d_U(z))$ は $\Delta(z,r)$（$r< d_U(z)$）の和集合なので $U$ に含まれ、その閉包は $U$ の外の点を含む（閉包が $U$ に含まれれば、コンパクト性からもう少し大きい多重円板も $U$ に含まれる）。また $|d_U(z)-d_U(w)|\le\|z-w\|_\infty$ であり、$d_U$ は連続で、コンパクト集合の上で正の最小値をとる。
$U$ 上の正則関数全体を $\mathcal{O}(U)$ と書く。次の基本事項を使う。
- 正則関数の偏導関数 $\partial^\alpha f$ は正則であり、$\Delta(a,r)\subset U$ なら $\Delta(a,r)$ の上で $f(z)=\sum_\alpha\frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}(z-a)^\alpha$ が成り立ち、級数は $\Delta(a,r)$ のコンパクト集合の上で正規収束する（多重円板 の系「導関数の積分表示と滑らかさ」、定理「冪級数展開」）。
- $\Delta(a,r)$ の上で $|f|\le M$ なら $|\partial^\alpha f(a)|\le M\,\alpha!\,r^{-|\alpha|}$ である（同記事の系「Cauchy の評価式と Liouville の定理」）。
- 正則関数の局所一様極限は正則である（多変数の正則関数 の定理「局所一様極限」）。とくに、$\Delta(a,r)$ のコンパクト集合の上で正規収束する冪級数の和は正則である。
- $U$ が連結なら一致の定理が成り立ち、$\mathcal{O}(U)$ は整域である（同記事の定理「多変数の一致の定理」、系「正則関数の環は整域」）。
$U\subset\mathbb{C}^n$ を領域とする。空でない開集合の組 $(V,W)$ で、$W$ が連結、$W\not\subset U$、$V\subset U\cap W$ を満たすものを $U$ の延長の組という。$f\in\mathcal{O}(U)$ が $(V,W)$ に沿って延長できるとは、$V$ の上で $F=f$ となる $F\in\mathcal{O}(W)$ があることをいう。すべての $f\in\mathcal{O}(U)$ が沿って延長できるような延長の組がないとき、$U$ を正則領域という。
これは 正則領域 の定義「正則領域」と同じである（Hor90 Definition 2.5.1、p. 36）。延長の組が 1 つもない領域は $U=\mathbb{C}^n$ だけで、$\mathbb{C}^n$ は正則領域である。
$U\subset\mathbb{C}^n$ を領域、$K\subset U$ をコンパクト集合とする。
$$
\widehat K_U:=\Bigl\{z\in U\Bigm||f(z)|\le\sup_K|f|\ \ (\text{すべての }f\in\mathcal{O}(U))\Bigr\}
$$
を $K$ の正則凸包という。$U$ のすべてのコンパクト集合 $K$ について $\widehat K_U$ がコンパクトであるとき、$U$ は正則凸であるという。
正則凸包 の命題「正則凸包の基本性質」により、$K\subset\widehat K_U$、$\widehat K_U$ は $U$ の中で閉集合で有界であり、$K\subset L$ なら $\widehat K_U\subset\widehat L_U$、すべての $f\in\mathcal{O}(U)$ について $\sup_{\widehat K_U}|f|=\sup_K|f|$ である。したがって、$\widehat K_U$ がコンパクトであることは、$\widehat K_U$ の閉包が $U$ に含まれることと同値である。
延長の組があると、延長が起こる境界の点を取り出せる。
$(V,W)$ を領域 $U$ の延長の組とし、$v\in V$ をとって、$U\cap W$ の $v$ を含む連結成分を $V'$ とする。このとき、$V'$ の閉包に属する点 $q\in W\setminus U$ がある。さらに、$f\in\mathcal{O}(U)$ と $F\in\mathcal{O}(W)$ が $V$ の上で一致すれば、$V'$ の上でも一致する。
要点：$V'$ は $W$ の空でない開集合で $W$ と異なるので、$W$ の連結性から $W$ の中で閉でない。閉包に属し $V'$ に属さない $W$ の点は $U$ の外にある。後半は一致の定理による。
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開集合の連結成分は開集合なので、$V'$ は空でない開集合で、$V'\subset U$ と $W\not\subset U$ から $V'\ne W$ である。$W$ は連結なので $V'$ は $W$ の中で閉でなく、$V'$ の閉包に属し $V'$ に属さない $q\in W$ がある。$q\in U$ なら、$q$ を含む $U\cap W$ の連結成分は $q$ の開近傍として $V'$ と交わるので $V'$ に等しく、$q\in V'$ となって矛盾する。よって $q\in W\setminus U$ である。後半は、$F-f$ が連結な開集合 $V'$ の上で正則で、空でない開集合 $V\cap V'$（$v$ を含む）の上で $0$ だから、一致の定理による。
主定理
証明に使う 2 つの補題を先に示す。1 つ目は、正則凸包の点では $K$ の点と同じ大きさの多重円板で Taylor 展開が収束する、という観察である。
$U\subset\mathbb{C}^n$ を領域、$K\subset U$ をコンパクト集合、$r>0$ とし、すべての $w\in K$ について $\Delta(w,r)\subset U$ とする。このとき、$f\in\mathcal{O}(U)$ と $z\in\widehat K_U$ について、$f$ の $z$ での Taylor 級数 $\sum_\alpha\frac{\partial^\alpha f(z)}{\alpha!}(w-z)^\alpha$ は $\Delta(z,r)$ のコンパクト集合の上で正規収束し、その和 $F$ は $\Delta(z,r)$ 上の正則関数で、$z$ の近くで $f$ に等しい。
$0<\rho< r$ を固定し、$K_\rho:=\{w+b\mid w\in K,\ \|b\|_\infty\le\rho\}$ とおく。$K_\rho$ はコンパクト集合 $K\times\{\|b\|_\infty\le\rho\}$ の連続写像 $(w,b)\mapsto w+b$ による像なのでコンパクトであり、仮定から $K_\rho\subset U$ である。$M:=\sup_{K_\rho}|f|<\infty$ とおく。$w\in K$ なら $\Delta(w,\rho)\subset K_\rho$ なので、Cauchy の評価式により $|\partial^\alpha f(w)|\le M\alpha!\rho^{-|\alpha|}$ である。$\partial^\alpha f\in\mathcal{O}(U)$ なので、正則凸包の定義から
$$
|\partial^\alpha f(z)|\le\sup_K|\partial^\alpha f|\le M\,\alpha!\,\rho^{-|\alpha|}\qquad(z\in\widehat K_U)
$$
である。$0< s<\rho$ とすると、$\|w-z\|_\infty\le s$ で $\bigl|\frac{\partial^\alpha f(z)}{\alpha!}(w-z)^\alpha\bigr|\le M(s/\rho)^{|\alpha|}$ であり、$\sum_\alpha(s/\rho)^{|\alpha|}=(1-s/\rho)^{-n}<\infty$ だから、級数は $\{\|w-z\|_\infty\le s\}$ の上で正規収束する。$\Delta(z,r)$ のコンパクト集合は、ある $s<\rho< r$ について $\{\|w-z\|_\infty\le s\}$ に含まれるので、級数は $\Delta(z,r)$ のコンパクト集合の上で正規収束し、和 $F$ は正則である。$\Delta(z,\varepsilon)\subset U$ となる $\varepsilon>0$ をとれば、$\Delta(z,\varepsilon)$ の上で $F=f$ である（冪級数展開）。$\square$
同じ評価は Bochnerの管状領域定理 の補題「正則凸包の点での収束半径」にもある。2 つ目の補題は、正則凸な領域の上で、境界の近くに高い位数の零点を並べた正則関数を作る。
$U\subsetneq\mathbb{C}^n$ を正則凸な領域とし、$M\subset U$ を可算な稠密部分集合とする。このとき、恒等的に $0$ でない $f\in\mathcal{O}(U)$ で、次を満たすものがある：各 $\zeta\in M$ と各正の整数 $N$ について、$\Delta(\zeta,d_U(\zeta))$ の点 $z$ で、位数 $N$ 未満の $f$ の偏導関数（$f$ 自身を含む）がすべて $0$ になるものがある。
要点：$U$ を $\mathcal{O}(U)$ 凸なコンパクト集合 $K_1\subset K_2\subset\cdots$ で取り尽くし、$\zeta_1,\zeta_2,\dots$ を $M$ の各点が無限回現れる列とする。$\Delta(\zeta_j,d_U(\zeta_j))$ の中で $K_j$ の外の点 $z_j$ を選び、$K_j$ の上で $2^{-j}$ 以下、$z_j$ で $1$ になる $f_j\in\mathcal{O}(U)$ をとって、無限積 $f:=\prod_j(1-f_j)^j$ を作る。$(1-f_j)^j$ は $z_j$ で位数 $j$ 以上の零点をもつ。
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取り尽くし．正則凸包 の定理「正則凸性の言い換え」（1 ⇒ 2）により、$\mathcal{O}(U)$ 凸（$\widehat{(K_j)}_U=K_j$）なコンパクト集合 $K_1\subset K_2\subset\cdots$ で、$K_j$ が $K_{j+1}$ の内部に含まれ、$\bigcup_jK_j=U$ となるものがある。空な $K_j$（増大列の先頭の有限個）を取り除いて番号を付け直し、すべての $j$ で $K_j\ne\emptyset$ としてよい。$U$ のコンパクト集合は増大する開集合 $\operatorname{int}K_j$ で覆われるので、ある $K_j$ に含まれる。
点と関数の選択．$D_\zeta:=\Delta(\zeta,d_U(\zeta))$ と書く。$D_\zeta$ の閉包は $U$ の外の点を含む（記号の節）ので、$D_\zeta$ はコンパクト集合 $K_j\subset U$ に含まれない。そこで $z_j\in D_{\zeta_j}\setminus K_j$ をとる。$K_j=\widehat{(K_j)}_U$ なので、$g\in\mathcal{O}(U)$ で $|g(z_j)|>\sup_{K_j}|g|$ となるものがある。$g(z_j)\ne0$ であり、$f_j:=(g/g(z_j))^{N_j}$ とおいて $N_j$ を大きくとると、$f_j(z_j)=1$、$\sup_{K_j}|f_j|\le2^{-j}$ となる。
無限積の収束．$|w|\le\frac12$ なら、対数の主値について $|\operatorname{Log}(1-w)|\le\sum_{k\ge1}|w|^k/k\le2|w|$ である。$l$ を固定すると、$j\ge l$ では $K_l\subset K_j$ なので $K_l$ の上で $|f_j|\le2^{-j}\le\frac12$ であり、$g_j:=j\operatorname{Log}(1-f_j)$ は $\operatorname{int}K_l$ 上の正則関数で $|g_j|\le2j\,2^{-j}$ を満たす。$\sum_j2j\,2^{-j}<\infty$ なので $G_l:=\sum_{j\ge l}g_j$ は $\operatorname{int}K_l$ の上で一様に収束して正則であり、$\prod_{j=l}^N(1-f_j)^j=\exp\bigl(\sum_{j=l}^Ng_j\bigr)$ は $N\to\infty$ で $e^{G_l}$ に一様収束する。したがって部分積 $P_N:=\prod_{j=1}^N(1-f_j)^j$ は $\operatorname{int}K_l$ の上で $\prod_{j< l}(1-f_j)^j\cdot e^{G_l}$ に一様収束する。$l$ は任意なので、$P_N$ は $U$ 上で局所一様に収束し、極限 $f$ は正則である。
$f\not\equiv0$．$\operatorname{int}K_l\ne\emptyset$ となる $l$ をとる。$1-f_j$ は $K_j$ の上で $|1-f_j|\ge\frac12$ なので恒等的に $0$ でなく、$\mathcal{O}(U)$ は整域なので $\prod_{j< l}(1-f_j)^j$ も恒等的に $0$ でない。一致の定理により、これは空でない開集合 $\operatorname{int}K_l$ の上で恒等的に $0$ でなく、$e^{G_l}$ は零点をもたないので、$f$ は $\operatorname{int}K_l$ の上で恒等的に $0$ でない。
零点の位数．$j$ を固定すると、同じ議論で $\prod_{i\ne j}(1-f_i)^i$ も $U$ 上で局所一様に収束して正則関数 $h_j$ を定め、$f=(1-f_j)^jh_j$ である。$1-f_j$ は $z_j$ で $0$ なので、Leibniz の法則により $(1-f_j)^j$ の位数 $j$ 未満の偏導関数は $z_j$ ですべて $0$ であり、ふたたび Leibniz の法則により $f$ の位数 $j$ 未満の偏導関数も $z_j$ ですべて $0$ である。$\zeta\in M$ と $N$ が与えられたら、$\zeta_j=\zeta$ かつ $j\ge N$ となる $j$ をとれば $z=z_j\in D_\zeta$ が求める点である。$\square$
$U\subset\mathbb{C}^n$ を領域とする。次の 4 条件は同値である。
- $U$ は正則領域である。
- $U$ のすべてのコンパクト集合 $K$ について $\inf_{\widehat K_U}d_U=\inf_Kd_U$ である。
- $U$ は正則凸である。
- ある $f\in\mathcal{O}(U)$ があって、$f$ は $U$ のどの延長の組に沿っても延長できない。
$U=\mathbb{C}^n$ なら、延長の組がないので 1 と 4 が成り立ち（4 の $f$ は何でもよい）、2 は両辺が $\infty$ で成り立ち、3 は $\widehat K_U$ が $\mathbb{C}^n$ の有界閉集合なので成り立つ。以下 $U\ne\mathbb{C}^n$ とし、$K=\emptyset$ のときは両辺を $\infty$ と読む（$\widehat\emptyset_U=\emptyset$。$f\equiv1$ を使う）。
1 ⇒ 2．$K\subset\widehat K_U$ なので $\inf_{\widehat K_U}d_U\le\inf_Kd_U=:r$ である。$r>0$ で、すべての $w\in K$ について $\Delta(w,r)\subset U$ である。逆向きの不等式を示すため、$z\in\widehat K_U$ について $\Delta(z,r)\not\subset U$ と仮定する。$W:=\Delta(z,r)$ は連結で $W\not\subset U$ であり、$\Delta(z,\varepsilon)\subset U$ となる $\varepsilon\in(0,r)$ について $V:=\Delta(z,\varepsilon)\subset U\cap W$ である。lem-ct-taylor により、すべての $f\in\mathcal{O}(U)$ に $W$ 上の正則関数 $F$ があって $z$ の近くで $F=f$ であり、$V$ は連結なので一致の定理により $V$ の上で $F=f$ である。これは $U$ が正則領域であることに反する。よって $\Delta(z,r)\subset U$、すなわち $d_U(z)\ge r$ である。
2 ⇒ 3．$K\subset U$ をコンパクトとし、$r:=\inf_Kd_U>0$ とおく。2 により $\widehat K_U$ の各点 $z$ で $\Delta(z,r)\subset U$ である。$\widehat K_U$ の点列 $z_k$ が $z\in\mathbb{C}^n$ に収束すれば、$\|z_k-z\|_\infty< r$ となる $k$ について $z\in\Delta(z_k,r)\subset U$ であり、$\widehat K_U$ は $U$ の中で閉なので $z\in\widehat K_U$ である。よって $\widehat K_U$ は $\mathbb{C}^n$ の有界閉集合で、コンパクトである。
3 ⇒ 4．$M\subset U$ を可算な稠密部分集合（たとえば実部・虚部が有理数の点の全体）とし、$f$ を lem-ct-zeros の関数とする。延長の組 $(V,W)$ と、$V$ の上で $F=f$ となる $F\in\mathcal{O}(W)$ があったとして矛盾を導く。lem-ct-boundary の $V'$ と $q\in W\setminus U$ をとると、$V'$ の上で $F=f$ である。$\Delta(q,3\varepsilon)\subset W$ となる $\varepsilon>0$ をとる。$q$ は $V'$ の閉包に属するので、空でない開集合 $V'\cap\Delta(q,\varepsilon)$ は $M$ の点 $\zeta$ を含む。$q\notin U$ なので $d_U(\zeta)\le\|\zeta-q\|_\infty<\varepsilon$ であり、$D:=\Delta(\zeta,d_U(\zeta))$ の閉包 $\overline D$ は $\Delta(q,2\varepsilon)\subset W$ に含まれる。$D$ は $U\cap W$ に含まれる連結集合で $\zeta\in V'$ を含むので、$D\subset V'$ であり、$D$ の上で $F=f$、したがって偏導関数も $D$ の上で一致する。
lem-ct-zeros により、各 $N$ について $D$ の点 $x_N$ で、位数 $N$ 未満の $F$ の偏導関数がすべて $0$ になるものがある。$\overline D$ はコンパクトなので、部分列が $a\in\overline D\subset W$ に収束する。各 $\alpha$ について、$N>|\alpha|$ なら $\partial^\alpha F(x_N)=0$ なので、連続性から $\partial^\alpha F(a)=0$ である。$a$ を中心とする $W$ の中の多重円板の上で $F$ の Taylor 展開は $0$ なので $F$ は $a$ の近くで $0$ であり、一致の定理により $W$ の上で $F\equiv0$ である。すると $V'$ の上で $f=0$ となり、一致の定理により $f\equiv0$ となって、lem-ct-zeros に反する。
4 ⇒ 1．4 の $f$ が沿って延長できない延長の組はないので、すべての $f\in\mathcal{O}(U)$ が沿って延長できる延長の組はない。$\square$
この定理と証明の骨組みは Hor90 Theorem 2.5.5（pp. 38–39）による。そこでは距離を一般の多重円板やノルムで測り、3 ⇒ 4 を同じ無限積で示している。1 ⇒ 2 の評価は同書の Lemma 2.5.3（p. 37）にあたる。Leb26t Theorem 2.6.3（p. 100）は 1・2・3 の同値を Euclid 距離で述べ、3 ⇒ 1 を境界に近づく点列の上で有界でない関数で示している。
2 は、正則凸包が $K$ より境界に近づかないことを述べている。3 は 2 を「近づかない」から「はみ出さない」に弱めたものだが、定理によれば両者は同値である。4 は、正則領域であることを「延長の組ごとに、それに沿って延長できない関数がある」から「1 つの関数がどの延長の組に沿っても延長できない」に強めたものである。
例
定理の 2・3 は、外の点を使わずに正則領域であることを確かめる手段になる。
- 平面の領域．$n=1$ とし、$U\subsetneq\mathbb{C}$ を領域、$K\subset U$ を空でないコンパクト集合とする。$q\notin U$ について $g(w):=\frac1{w-q}\in\mathcal{O}(U)$ だから、$z\in\widehat K_U$ なら $|z-q|^{-1}\le\sup_{w\in K}|w-q|^{-1}$、すなわち $|z-q|\ge\min_{w\in K}|w-q|\ge\inf_Kd_U$ である。$q\notin U$ について下限をとると $d_U(z)\ge\inf_Kd_U$ であり、定理の 2 が成り立つ。よって $\mathbb{C}$ のすべての領域は正則領域である。
- 凸な領域．$U\subset\mathbb{C}^n$ を凸な領域とする。正則凸包 の命題「正則凸包の基本性質」の 4 により、$\widehat K_U$ は $K$ の閉凸包に含まれる。凸包 の定理「コンパクト集合の凸包」により $K$ の凸包はコンパクトで閉凸包に等しく、$U$ は凸なのでこれは $U$ に含まれる。$\widehat K_U$ は $U$ の中で閉なので、コンパクト集合の閉部分集合としてコンパクトである。よって $U$ は正則凸で、正則領域である。
- 座標超平面の補集合．$U:=\{z\in\mathbb{C}^n\mid z_1\ne0\}$ は凸でないが、正則領域である。空でないコンパクト集合 $K\subset U$ について $m:=\min_K|z_1|>0$ とおくと、$1/z_1\in\mathcal{O}(U)$ から $\widehat K_U$ の上で $|z_1|\ge m$ である。$\widehat K_U$ は有界で、その閉包は $\{|z_1|\ge m\}\subset U$ に含まれるので、$\widehat K_U$ はコンパクトである。
$$
H:=\Bigl\{(z,w)\in\mathbb{C}^2\ \Bigm|\ |z|<1,\ |w|<1,\ \bigl(|z|>\tfrac12\ \text{または}\ |w|<\tfrac12\bigr)\Bigr\}
$$
は正則凸でなく、したがって正則領域でない。$K:=\{(z,w)\mid|z|=\frac34,\ |w|\le\frac12\}$ は $H$ のコンパクト集合である。$|s|<\frac12$ なら、閉円板 $\{(\zeta,s)\mid|\zeta|\le\frac34\}$ は $H$ に含まれ、その縁は $K$ に含まれる。$f\in\mathcal{O}(H)$ について $\zeta\mapsto f(\zeta,s)$ に 1 変数の最大値原理を使うと $|f(0,s)|\le\max_{|\zeta|=3/4}|f(\zeta,s)|\le\sup_K|f|$ なので、$(0,s)\in\widehat K_H$ である。$s\to\frac12$ とすると $(0,s)$ は $H$ に属さない点 $(0,\frac12)$ に収束するので、$\widehat K_H$ はコンパクトでない。$\widehat K_H$ の点 $(0,s)$ では $d_H(0,s)\le\frac12-|s|\to0$ なので、定理の 2 も成り立たない。
ex-ct-hartogs は Leb26t Exercise 2.6.6（p. 99）の主張である。議論は、円板の族の縁が $K$ にとどまったまま中心が境界へ近づくことを使っている。$H$ の上の正則関数は実際に双円板 $\{|z|<1,\ |w|<1\}$ 全体へ延びる（Leb26t Theorem 2.1.4、p. 49。この記事では証明しない）。定理の 1 ⇒ 3 を使うと、延長の組を具体的に作らなくても、$H$ が正則領域でないことが分かる。
帰結
- $U,U'\subset\mathbb{C}^n$ を領域、$\varphi\colon U\to U'$ を 双正則写像 とする。$U$ が正則領域であることと $U'$ が正則領域であることは同値である。
- $U\subsetneq\mathbb{C}^n$ を正則領域とし、$f$ を定理の 4 の関数とする。各 $z\in U$ と $r>d_U(z)$ について、$z$ の近くで $f$ と一致する $\Delta(z,r)$ 上の正則関数はない。とくに、$f$ の $z$ での Taylor 級数が正規収束する多重円板 $\Delta(z,\cdot)$ の半径の上限はちょうど $d_U(z)$ である。
1：$g\in\mathcal{O}(U')$ なら $g\circ\varphi\in\mathcal{O}(U)$ であり（正則写像 の命題「正則関数の引き戻しによる判定」）、$\varphi^{-1}$ についても同じなので、$g\mapsto g\circ\varphi$ は $\mathcal{O}(U')$ から $\mathcal{O}(U)$ への全単射である。コンパクト集合 $K\subset U$ と $z\in U$ について
$$
z\in\widehat K_U\iff|g(\varphi(z))|\le\sup_{\varphi(K)}|g|\ \ (g\in\mathcal{O}(U'))\iff\varphi(z)\in\widehat{\varphi(K)}_{U'}
$$
だから $\varphi(\widehat K_U)=\widehat{\varphi(K)}_{U'}$ である。$\varphi$ は同相写像で、$U'$ のコンパクト集合はすべて $\varphi(K)$ の形なので、$U$ が正則凸であることと $U'$ が正則凸であることは同値である。定理の 1 ⇔ 3 により主張を得る。
2：そのような $F\in\mathcal{O}(\Delta(z,r))$ があれば、$W:=\Delta(z,r)$ は連結で、$d_U(z)< r$ から $W\not\subset U$ であり、$V:=\Delta(z,d_U(z))\subset U\cap W$ は連結なので一致の定理により $V$ の上で $F=f$ である。これは $f$ が延長の組 $(V,W)$ に沿って延長できることを意味し、4 に反する。Taylor 級数が $\Delta(z,r)$ のコンパクト集合の上で正規収束すれば、その和がそのような $F$ になる。半径 $d_U(z)$ では正規収束する（記号の節の冪級数展開）。$\square$
1 は定義からは見えにくい。定義は $U$ の外の開集合 $W$ を使うが、$\varphi$ は $U$ の外では定義されていないからである。正則凸性に言い換えると、$U$ の内側だけの議論で済む。正則領域の交わりや正則関数の不等式で定まる部分集合が正則領域になることも、2・3 から導かれる（正則領域 の命題「正則領域を作る操作」）。
反例：条件を替えた場合
| 替える条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 凸包を $\mathcal{O}(U)$ で定める（多項式に替える） | $U=\{1<\lvert z\rvert<2\}\subset\mathbb{C}$、$K=\{\lvert z\rvert=\frac32\}$ | 1 ⇒ 3 |
| 凸包を $\mathcal{O}(U)$ で定める（連続関数に替える） | Hartogs 図形 $H$ | 3 ⇒ 1 |
| 凸包がコンパクト（$U$ の中で閉かつ有界に弱める） | Hartogs 図形 $H$ | 3 ⇒ 1 |
| 写像の正則性（実線形同型に替える） | $\{z_1\ne0\}\subset\mathbb{C}^2$ と $T(z_1,z_2)=(x_1+ix_2,\ y_1+iy_2)$ | 帰結の 1 |
各行の対象が、替えた条件以外を満たし、結論を満たさないことを確かめる。
各行の確認を開く
1 行目：$U$ は平面の領域なので正則領域である（ex-ct-examples の 1）。多項式 $P$ について、最大値原理により $|z|\le\frac32$ で $|P(z)|\le\max_{|w|=3/2}|P(w)|$ なので、多項式で定めた $K$ の凸包は閉円板 $\{|z|\le\frac32\}$ を含み、$U$ に含まれない点 $0$ を含む。$z$ を $\mathbb{C}$ 全体から選んだこの凸包はコンパクトだが $U$ の部分集合でなく、$z$ を $U$ の点に限った凸包 $U\cap\{\lvert z\rvert\le\frac32\}=\{1<\lvert z\rvert\le\frac32\}$ は円周 $\lvert z\rvert=1$ に近づく点列を含むのでコンパクトでない。どちらの読み方でも「凸包がコンパクトで $U$ に含まれる」が成り立たない。
2 行目：凸包を連続関数全体で定めると、$z\notin K$ に対し $K$ への距離 $\operatorname{dist}(\cdot,K)$ は $K$ の上で $0$、$z$ で正なので、$K$ の凸包は $K$ 自身でありコンパクトである。一方 $H$ は正則領域でない（ex-ct-hartogs）。
3 行目：正則凸包 の命題「正則凸包の基本性質」により、どの領域でも $\widehat K_U$ は $U$ の中で閉かつ有界である。$H$ でもそうだが、$H$ は正則領域でない。$U$ の中で閉であることと、$\mathbb{C}^n$ の中で閉である（コンパクトである）ことの差が、定理の 3 の内容である。
4 行目：$z_j=x_j+iy_j$ とする。$T$ は実座標の並べ替えで、$\mathbb{C}^2=\mathbb{R}^4$ の実線形同型である。$\{z_1\ne0\}$ は正則領域である（ex-ct-examples の 3）。$\{z_1=0\}=\{x_1=y_1=0\}$ は $T$ で $\{\operatorname{Re}w_1=\operatorname{Re}w_2=0\}$ に移るので、$T(\{z_1\ne0\})=\{w\mid(\operatorname{Re}w_1,\operatorname{Re}w_2)\ne(0,0)\}$ は底が $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ の管状領域である。底は連結だが凸でないので、Bochnerの管状領域定理 の系「管状領域が正則領域であるための条件」により、これは正則領域でない。
4 行目は、正則領域であることが実の座標変換では保たれず、複素構造に結びついた性質であることを示す。
補足
- 擬凸性との一致：$\mathbb{C}^n$ の領域が正則領域であることは、擬凸であることとも同値である（Levi 問題。正則領域 の定理「正則領域と擬凸領域の一致」）。正則領域 ⇒ 擬凸 は、定理の 3 から境界までの距離の対数の多重劣調和性を導いて示され、逆向きは $\bar\partial$ 方程式の $L^2$ 評価を使う（∂̄方程式のL²評価）。
- 複素多様体：正則凸性は複素多様体の上でも定義でき、Stein多様体 の定義の条件の 1 つになる。$\mathbb{C}^n$ の領域では座標関数が点を分離し局所座標を与えるので、Stein であることは正則凸であること、すなわち正則領域であることと同値である（Stein空間）。
関連項目
- 前提: 正則領域, 正則凸包, 多重円板, 多変数の正則関数
- 比較: Bochnerの管状領域定理, Hartogsの拡張定理, 凸包
- 応用: 擬凸領域, Levi形式
- 発展: Stein多様体, Stein空間, ∂̄方程式のL²評価
参考文献
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