Jacobian判定法

同義語：Jacobiの判定法Jacobi判定法Jacobian criterion

概要

前提知識: 多項式環, 局所環, 局所化, Kähler微分

方程式の一次部分から何を判定するか

多項式の関係を満たす変数の像に、平方零の誤差を加えると、関係式の変化は偏導関数による一次式になる。Jacobian判定法は、この一次式を解けることを、代数の無限小持上げや点の正則性へ結び付ける方法である。ただし判定する性質には二つの種類がある。基礎環を固定した代数の形式的滑らかさと、局所環そのものの正則性である。任意の体では両者を無条件に同一視できない。
MatCRT §28の持上げ条件に沿って、必要な線形補正と分裂の証明を以下で行う。
本記事では環を可換単位環、環準同型を単位元を保つものとする。有限表示の余法線写像と局所標準表示を任意の基礎環上で扱い、有理点では余接空間の次元を具体的に計算する。標準表示から得る持上げの証明は、体の完全性、標数零、基礎環のNoether性のいずれも必要としない。有限表示とは、変数の数だけでなく関係イデアルの生成元数も有限であるという条件である。

形式的滑らかさと平方零試験

$A$ 代数 $B$ が形式的滑らかであるとは、任意の $A$ 代数 $C$、ある $r$ で $N^r=0$ となるイデアル $N\subset C$、$A$ 代数射 $B\to C/N$ に対し、これを持ち上げる射 $B\to C$ が存在することである。一意性も要求する場合は形式的エタールという。試験環や核に有限性は課さない。

平方零試験・単元・有限Nakayama

持上げの存在および一意性は $N^2=0$ の試験で判定できる。冪零商で単元になる元は元の環でも単元である。局所環 $(R,\mathfrak m)$ の有限生成加群 $M$ が $M=\mathfrak mM$ を満たせば $M=0$ である。

$N^r=0$ に対し $C/N^{i+1}\to C/N^i$ の核 $N^i/N^{i+1}$ は、$2i\ge i+1$ から平方零である。各段の持上げを有限回合成すれば存在が従い、二つの持上げが最初の商で一致するなら同じ帰納で最後まで一致する。
商での逆元を $d$ に持ち上げると $cd=1+z$、$z\in N$ となる。有限和 $\sum_{j=0}^{r-1}(-z)^j$ は $1+z$ の逆元である。従って $c$ も単元である。
最後に $M$ の生成元を $v_1,\ldots,v_s$ として $v_i=\sum_j a_{ij}v_j$、$a_{ij}\in\mathfrak m$ と書く。関係行列 $E-(a_{ij})$ に随伴行列を掛けると、その行列式が全生成元を零化する。行列式は剰余体で1なので局所環の単元であり、全生成元は零となる。空の生成列は既に零加群である。

小行列式が可逆な標準表示

標準表示は、局所化した多項式環 $P_h$ を $c$ 個の関係で割り、その $c$ 本の関係のJacobi行列に可逆な $c$ 次小行列式がある表示である。変数を並べ替えれば、その小行列式を最初の $c$ 変数で作れる。空の小行列式は1とする。まず局所化しない表示で計算し、その後で局所化の単元条件を合わせる。

標準滑らかな代数の形式的滑らかさ

$A$ を環、$P:=A[t_1,\dots,t_n]$、$f_1,\dots,f_c\in P$（$c\le n$）、$B:=P/(f_1,\dots,f_c)$ とし、Jacobi行列の $c\times c$ 小行列式
$$ \Delta:=\det\Bigl(\frac{\partial f_j}{\partial t_i}\Bigr)_{1\le i,j\le c} $$
の $B$ での像が単元であるとする（$B$ は $A$ 上標準滑らか（standard smooth）であるという。標準滑らかな代数を参照）。

$A\to B$ は形式的滑らかである。
$c=n$ ならば $A\to B$ は形式的エタールである。

$C'$ を $A$ 代数、$N\subset C'$ を $N^2=0$ をみたすイデアル、$u\colon B\to C'/N$ を $A$ 代数の準同型とする（先の平方零試験の補題）。$u(t_i)$ の $C'$ への持上げ $c_i$ を選び、$c:=(c_1,\dots,c_n)$ とおく。$f_j(c)\in C'$ の $C'/N$ での像は $u(f_j)=0$ なので $f_j(c)\in N$ である。$c$ を $N$ の元で修正する。$\nu=(\nu_1,\dots,\nu_n)\in N^n$ に対し、$N^2=0$ により Taylor 展開は 1 次で止まり、
$$ f_j(c+\nu)=f_j(c)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f_j}{\partial t_i}(c)\,\nu_i $$
である（$f_j$ を各変数について展開すれば、$\nu$ の 2 次以上の項は $N^2=0$ で消える）。$J:=\bigl(\frac{\partial f_j}{\partial t_i}(c)\bigr)_{1\le j,i\le c}$（第 $j$ 行第 $i$ 列）とおくと、$\det J$ の $C'/N$ での像は $u(\Delta)$ で単元だから、単元持上げの補題により $\det J$ は $C'$ の単元であり、$J$ は $C'$ 上の可逆行列である。そこで $\nu_i:=0$（$i>c$）とし、$(\nu_1,\dots,\nu_c)^{\mathsf T}:=-J^{-1}(f_1(c),\dots,f_c(c))^{\mathsf T}$ とおく。$f_j(c)\in N$ なので $\nu_i\in N$ であり、上の展開により $f_j(c+\nu)=f_j(c)-f_j(c)=0$（$1\le j\le c$）である。よって $t_i\mapsto c_i+\nu_i$ は $A$ 代数の準同型 $P\to C'$ で $f_1,\dots,f_c$ を $0$ に送り、$\tilde{u}\colon B\to C'$ を誘導する。$\pi\circ\tilde{u}$ は $t_i$ を $u(t_i)$ に送るので $u$ に一致する。
$c=n$ とし、$\tilde{u},\tilde{u}'$ を $u$ の 2 つの持上げとする。$c_i:=\tilde{u}(t_i)$、$c_i':=\tilde{u}'(t_i)$ とおくと $\nu_i:=c_i'-c_i\in N$ であり、$0=f_j(c')-f_j(c)=\sum_i\frac{\partial f_j}{\partial t_i}(c)\nu_i$、すなわち $J\nu=0$ である。$J$ は $n\times n$ の可逆行列なので $\nu=0$、よって $\tilde{u}=\tilde{u}'$ である。$\square$

余法線分裂による判定

任意環 $A$ 上の有限表示 $B=P/J$、$P=A[t_1,\ldots,t_n]$ に対し、$B$ が形式的滑らかであることと、余法線写像
$$\delta:J/J^2\longrightarrow B^n,\quad \bar f\longmapsto(\overline{\partial f/\partial t_i})_i$$
が分裂単射であることは同値である。その余核は $\Omega_{B/A}$ であり、有限生成射影加群である。

定理を直接証明する。$T=J/J^2$、$F=\Omega_{P/A}\otimes_PB$、$\delta:T\to F$ とおく。任意の $B$ 加群 $M$ に対して、$A$ 導分 $P\to M$ は $B$ 線型写像 $F\to M$ と同じものである。$F$ は $dt_1,\ldots,dt_n$ を基底にもつ自由加群である。
まず $B$ が形式的滑らかなら、平方零拡大 $P/J^2\to B$ の恒等写像は $A$ 代数の切断 $s:B\to P/J^2$ をもつ。$p\in P$ に対して
$$D(p)=p\bmod J^2-s(p\bmod J)\in T$$
とおく。二つの環準同型の差は平方零イデアルに値を取るので、積を展開すると $D(pq)=\bar pD(q)+\bar qD(p)$ となり、$A$ 上零である。したがって $D$ は $A$ 導分である。対応する写像 $r:F\to T$ は、$i\in J$ に対し $r(\delta(\bar i))=D(i)=\bar i$ を満たす。よって $r\delta=1_T$ であり、$\delta$ は分裂単射となる。右側の完全性も直接確かめられる。$F$ 上の線型写像は $P$ 上の導分であり、$\delta(T)$ を殺すことは $D(J)=0$ と同値である。この条件の下では $\bar D(p+J)=D(p)$ が代表に依存せず $B$ 上の導分を定め、逆に $B$ の導分は $J$ を殺す。従って $F/\delta(T)$ は導分を表す加群 $\Omega_{B/A}$ と同型である。普遍導分を互いに送る写像の合成は生成元 $db$ 上で恒等となるので、同型は普遍性だけの形式的主張ではなく実際に構成される。商 $\Omega_{B/A}$ は有限自由加群 $F$ の直和因子なので有限生成射影である。
逆に $r\delta=1_T$ を満たす $B$ 線型写像 $r:F\to T$ があるとする。平方零イデアル $N\subset C'$ と $A$ 代数射 $u:B\to C'/N$ を取る。各 $u(\bar t_i)$ の持上げを選ぶことで、$u$ に適合する $A$ 代数射 $v:P\to C'$ が得られる。$v(J)\subset N$、$N^2=0$ なので $v$ は $B$ 線型写像 $h:T\to N$ を誘導する。ここで $N$ の $B$ 作用は $u$ を通じて定める。
$hr:F\to N$ に対応する導分を $D:P\to N$ とし、$v'(p)=v(p)-D(p)$ とおく。$N^2=0$ と導分の積則から $v'$ は環準同型であり、$A$ の元では $D=0$ なので $A$ 代数射でもある。$i\in J$ について $D(i)=hr\delta(\bar i)=h(\bar i)=v(i)$、したがって $v'(J)=0$ である。よって $v'$ は $B\to C'$ に降下し、$u$ を持ち上げる。平方零核での持上げから一般の冪零核での持上げは、先の平方零試験で証明した有限反復によって従う。これで判定の両方向が示された。

形式的滑らかさから局所標準表示を作る

上の分裂条件から、有限表示の形式的滑らかな代数には各点の近傍でJacobi小行列式が可逆となる表示があることも直接示せる。ここで局所標準表示は、多項式環の一つの元を反転した環を有限個の関係で割る表示を許す。

局所標準表示の存在

$B=P/J$、$P=A[t_1,\ldots,t_n]$ が有限表示で、$B$ が $A$ 上形式的滑らかなら、任意の素イデアル $\mathfrak q\subset B$ に対し、その逆像 $\mathfrak p\subset P$ に属さない $h\in P$ と $f_1,\ldots,f_c\in J$ が存在し、
$$B_{\bar h}=P_h/(f_1,\ldots,f_c)$$
となる。また $f_i$ のJacobi行列のある $c\times c$ 小行列式は $B_{\bar h}$ の単元である。$c=0$ では空行列式を $1$ とする。

先の分裂列により $T=J/J^2$ は有限自由 $B$ 加群の直和因子である。まず局所環上の有限生成射影加群は自由であることを確認する。剰余体上の基底を持ち上げて自由加群から全射を作る。全射性は有限Nakayamaによる。射影性でこの全射は分裂し、その核も有限自由加群の直和因子だから有限生成である。剰余体上の写像は基底により同型なので、分裂を剰余体へテンソルすると核の剰余は零になる。再びNakayamaで核は零となる。ここでNakayamaは、有限生成元の関係行列 $E-C$ の行列式が極大イデアルを法として $1$、したがって単元であることから従う。
従って $T_{\mathfrak q}$ の基底を $f_1,\ldots,f_c\in J$ の剰余で選べる。分数で選んだ基底は分母を単元倍してこの形に直せる。分裂単射 $T_{\mathfrak q}\to B_{\mathfrak q}^n$ を剰余体へテンソルしても単射であり、その行列は階数 $c$ をもつ。よってある $c$ 次小行列式 $\Delta$ は $\mathfrak q$ に属さない。
$J$ は有限生成 $P$ 加群である。$P_{\mathfrak p}$ では選んだ基底から
$$J_{\mathfrak p}=(f_1,\ldots,f_c)P_{\mathfrak p}+J_{\mathfrak p}^2$$
となる。有限生成加群 $Q=J_{\mathfrak p}/(f_1,\ldots,f_c)P_{\mathfrak p}$ は $Q=J_{\mathfrak p}Q$ を満たし、$J_{\mathfrak p}$ は局所環の極大イデアルに含まれるのでNakayamaで $Q=0$。有限生成の商 $J/(f_1,\ldots,f_c)$ の各生成元は $\mathfrak p$ で局所化すると零になるため、有限個の零化分母の積 $s\notin\mathfrak p$ を選べる。すると $J_s=(f_1,\ldots,f_c)P_s$ である。$\Delta$ の多項式代表を $d\notin\mathfrak p$ とし、$h=sd$ と置けば表示と行列式の可逆性がともに得られる。
この局所標準表示は形式的滑らかである。平方零商への写像に変数像を持ち上げると $h$ の像は単元に持ち上がり、先のJacobi補正で関係を零にできる。補正後も $h$ の像は同じ平方零商で単元なので局所化写像を定める。一般の冪零核は先の有限反復で扱える。この議論は基礎環のNoether性を使わない。

局所の持上げから大域の持上げへ

有限表示の場合の局所判定

有限表示 $A$ 代数 $B$ が、各素イデアルの近傍で $A$ 上形式的滑らかであれば、$B$ 自身も $A$ 上形式的滑らかである。従って各点での局所標準表示の存在からも形式的滑らかさが従う。

$B=P/J$、$P=A[t_1,\ldots,t_n]$ と書き、$J$ を有限生成とする。$T=J/J^2$、$F=B^n$ と置き、余法線写像を $\delta:T\to F$ とする。$T$ は有限生成である。近傍の基本開集合を $D(b_i)$ として選ぶ。これらが全素イデアルを覆うなら、$b_i$ の生成イデアルは全環である。真のイデアルなら極大イデアルに含まれて被覆に反するからである。従って有限個を選んで $(b_1,\ldots,b_m)=B$ とできる。
$g_i\in P$ を $b_i$ の代表とする。形式的滑らかさにより、平方零全射 $(P/J^2)_{g_i}\to B_{b_i}$ は $A$ 代数の切断をもつ。切断と自然射の差を取ると、先の証明と同じ積の展開で導分 $P_{g_i}\to T_{b_i}$ を得る。局所化した多項式環の導分も変数の値で決まり、$D(g_i^{-1})=-g_i^{-2}D(g_i)$ により反転元へ一意に延長される。従ってこの導分から $r_i:F_{b_i}\to T_{b_i}$ が得られ、$r_i\delta_{b_i}=1_{T_{b_i}}$ となる。
$F$ は有限自由なので、各基底の $r_i$ による像の分母を共通の冪で払える。ある $a_i\ge0$ と $B$ 線型写像 $R_i:F\to T$ を選んで、局所化後に $(R_i)_{b_i}=b_i^{a_i}r_i$ とできる。このとき $R_i\delta-b_i^{a_i}1_T$ は局所化すると零である。$T$ の有限個の生成元の像がそれぞれある $b_i$ の冪で零化されるので、共通の $c_i$ により $b_i^{c_i}(R_i\delta-b_i^{a_i}1_T)=0$。従って $S_i=b_i^{c_i}R_i$、$N_i=a_i+c_i$ と置けば $S_i\delta=b_i^{N_i}1_T$ を大域で得る。
必要なら双方をさらに $b_i$ 倍して $N_i\ge1$ とする。冪 $b_i^{N_i}$ の生成イデアルも全環である。これを含む素イデアルは全ての $b_i$ を含むことになり、被覆に反するからである。よって $\sum_i u_i b_i^{N_i}=1$ となる $u_i\in B$ がある。$r=\sum_i u_i S_i$ とすれば $r\delta=1_T$。先に証明した分裂条件の逆方向により、任意の平方零商への写像が持ち上がり、有限反復で任意の冪零核も扱える。
局所標準表示は直前のJacobi補正で形式的滑らかなので、後半も従う。$B=0$ の場合は $T=F=0$ で分裂条件が自明となり、同じ結論である。この証明は基礎環のNoether性も $T$ の有限表示性も仮定しない。用いたのは関係イデアルの有限生成と $F$ の有限自由性である。

正方形の場合と一意性

小行列式による存在と、行列全体の可逆性による一意性は異なる。関係の数が変数の数に等しい標準表示では自由な誤差方向がなくなり、形式的エタール性を得る。余法線写像でも、分裂単射から同型へ条件が強まる。

余法線同型と形式的エタール性

有限表示 $B=P/J$ について、余法線写像 $\delta:J/J^2\to B^n$ が同型であることと、$B$ が形式的エタールであることは同値である。

形式的エタールなら存在条件から $\delta$ は分裂単射である。一意性から $\Omega_{B/A}=0$ が従う。実際、任意の $B$ 加群 $M$ に対し $B\oplus M$ の積を $(b,m)(b',m')=(bb',bm'+b'm)$ と置く。導分 $D:B\to M$ は恒等写像の持上げ $b\mapsto(b,D(b))$ を定める。一意性から零導分と一致する。普遍導分を $M=\Omega_{B/A}$ に取れば全生成元 $db$ が零となる。既に証明した余核の記述から $\delta$ は全射でもあり、同型となる。
逆に同型なら分裂単射であり、存在条件を満たす。二つの平方零持上げの差は、核を $B$ 加群と見て値を取る導分である。二つの射が同じ商で一致するため核上の $B$ 作用は一致し、積の差を展開すると導分則になる。この導分は $\Omega_{B/A}=0$ を経由するので零である。一般冪零試験は有限反復により従う。

局所標準表示の構成で $J/J^2\cong B^n$ を使えば、各点の近傍の関係をちょうど $n$ 個選べる。対応する正方形Jacobi行列式が単元となる。逆にその近傍が全素点を覆うなら、余法線写像の核と余核は全素局所化で零になるので大域で零である。非零加群の元 $v$ の零化イデアルは真なので、これを含む極大イデアルで $v$ は零にならない。従って全素局所化で零の加群は零である。この局所検出は加群の有限性を必要としない。

体上の有理点：行列の階数と余接空間

次の計算は、関係が独立であることや完全交叉であることを仮定しない。行列の行数は関係の生成元数であり、局所次元と同じ量ではない。正則性を判定するためには、行列の階数だけでなく、その点の局所環の次元も必要である。

有理点の余接空間

$k$ を任意の体、$P=k[X_1,\ldots,X_n]$、$I=(f_1,\ldots,f_m)$、$B=P/I$ とする。$a\in k^n$ が全 $f_i$ の零点であるとし、$R=B_{\mathfrak m_a/I}$、$\mathfrak m_a=(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$ とする。$J(a)=(\partial f_i/\partial X_j(a))$ の $k$ 上の階数を $r$ と置くと
$$\dim_k\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2=n-r.$$
従って $R$ は $\dim R=n-r$ のとき、かつそのときに限り正則である。

$Y_j=X_j-a_j$ に変数を移し、$a=0$ としてよい。$S=P_{\mathfrak m_0}$、$\mathfrak n=\mathfrak m_0S$ と置く。$P/\mathfrak m_0^2$ の元は定数と一次式で一意に表される。定数項が非零の分母 $s$ は $c+\ell$ と書け、その逆はこの商で $c^{-1}-c^{-2}\ell$ となる。従って局所化してもこの商は変わらず、$\mathfrak n/\mathfrak n^2$ は $Y_j$ の類を基底とする $n$ 次元空間である。
多項式の単項式を展開すると、任意の標数で
$$f_i(Y)=\sum_j\frac{\partial f_i}{\partial Y_j}(0)Y_j+g_i(Y),\qquad g_i\in\mathfrak m_0^2$$
となる。定数項は零である。$\sum_i h_if_i$ の一次項は、各 $h_i$ の定数項で上の一次項を線形結合したものになる。局所化した係数についても同じことが、定数項が非零の分母の逆の式から従う。従って $IS$ の $\mathfrak n/\mathfrak n^2$ 内の像は、$J(0)$ の行ベクトルが張る空間である。
$\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2=\mathfrak n/(\mathfrak n^2+IS)$ だから、その次元は $n-r$ となる。体上有限変数多項式環はNoetherである。必要な有限性は次の先頭係数の議論で得られる。Noether環 $C$ の $C[T]$ 内のイデアル $J$ を取る。$J=0$ なら空集合で生成されるので有限生成である。以下 $J\ne0$ とする。その先頭係数イデアルから有限個の多項式を選び、その次数の最大値を $N$ とする。高い次数の項はこれらの $T$ 倍で順に消せる。次数 $N$ 未満の残余部分は有限自由 $C$ 加群の部分加群で、有限生成である。有限自由の部分加群の有限性は、第一座標の像と残りの座標の核を用いた階数帰納で従う。選んだ多項式は少なくとも一つあり、$N=0$ なら残余部分は零でよい。この議論を変数ごとに反復し、商と局所化にも有限生成イデアルの生成元を移せばNoether性を得る。
よって $R$ はNoether局所環であり、正則性の定義は埋込次元とKrull次元の一致である。埋込次元は $\dim_k\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2$ となる。有限Nakayamaにより剰余空間の基底の持上げが極大イデアルを生成し、逆に任意の生成系がこの空間を生成するため、その最小数はこの次元に等しい。

$n=m=0$ では $B=k$、$r=0$、次元も余接空間も零であり正則である。$I=P$ では有理点は存在しないので、この点ごとの主張は空である。零関係だけの場合は行列は零だが、関係の無い多項式環と同じ局所環であり、正則性に矛盾しない。表示の冗長な関係を行数で数えて次元から引く誤りを、この計算は避けている。

反例と実際の計算

反例：純非分離閉点の正則性

素数 $p$ と $k=\mathbf F_p(s)$ に対し $L=k[u]/(u^p-s)$ を考える。$s$ が $k$ の $p$ 乗でないことは、$s=0$ における有理関数の零の位数が1であるのに、$p$ 乗の位数は $p$ の倍数となることから分かる。代数閉包で $X^p-s=(X-u)^p$ である。もし次数 $0< d< p$ のモニック約元が $k[X]$ に存在すれば、それは $(X-u)^d$ で、その次の係数 $-du$ が $k$ に入る。$d$ は標数で非零なので $u\in k$ となって矛盾する。従って $L$ は体で、その唯一の局所環は次元零の正則局所環である。
一方、式の偏導関数は零である。この点は $k$ 有理点でないので、上の有理点定理に反しない。$L$ へ底変換すると $L[X]/((X-u)^p)$ となり非被約である。さらに $L[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ への $u\mapsto u$ と $u\mapsto u+\varepsilon$ は、同じ商射の異なる二つの持上げである。形式的滑らかさも直接失敗する。試験環 $C=k[X]/((X^p-s)^2)$、$N=(X^p-s)$、商 $C/N=L$ を取る。$u$ の持上げ候補は $X+(X^p-s)h$ と書け、標数 $p$ でその $p$ 乗は $X^p$ となるので $u^p=s$ を満たさない。$N^2=0$ でも関係の持上げは存在しない。

反例：微分加群の自由性だけでは不十分

体 $k$ の標数を $p>0$ とし、$B=k[X]/(X^p)$ とする。余法線微分は零なので、$\Omega_{B/k}$ は $dX$ を基底とする自由 $B$ 加群である。しかし $B$ は形式的滑らかでない。$C=k[T]/(T^{p+1})$、$N=(T^p)$ は平方零であり、$B\to C/N$ の $X\mapsto T$ を持ち上げるには $X$ の像を $T+aT^p$ としなければならない。この $p$ 乗は $T^p\ne0$ となり、関係を保てない。余核の射影性だけから余法線写像の単射性まで結論することはできない。

原点の接空間を計算する

任意の体 $k$ 上で $B=k[X,Y]/(XY)$ を取る。原点では行列 $(Y,X)$ は零なので、余接空間は二次元である。一方、局所環の次元は1である。素イデアルは $X$ または $Y$ を含み、その各枝は $k[Y]_{(Y)}$ または $k[X]_{(X)}$ になる。これらの素鎖は零と極大イデアルだけで、原点に至る鎖長は1だからである。従って原点は正則でない。$X$ を反転した部分では $Y=0$ となり、表示 $k[X,X^{-1}]$ を得る。この部分の形式的滑らかさは多項式の自由な持上げと単元持上げから直接従う。
次に体 $k$ 上で $f=Y-X^2$ を取る。$\partial f/\partial Y=1$ であるから標準表示の小行列式は至る所単元である。商は $k[X]$ に同型であり、変数像を自由に持ち上げることで形式的滑らかさも直接分かる。これは、関係式の次数の高さではなく、その一次変化を解く可逆性が判定に効くことを示す。

有限表示の平坦性と幾何的正則ファイバー

以下で幾何的正則とは、体 $k$ 上の環が任意の有限体拡大後にすべての素点で正則であることをいう。ここでは局所標準表示（prop-jac-criterion-local-standard-presentation）を標準滑らかな代数の平坦性とファイバーの正則性の定理に当てて、平坦性と、任意の体拡大後の全素点の正則性を導く。局所環の次元を変数の個数から無条件に引き算するという主張ではない。

有限表示形式的滑らか代数の平坦性

任意の可換環 $A$ 上の有限表示形式的滑らか代数 $B$ は、全任意 $A$ 加群の単射を $B$ テンソルによって保つ、すなわち $A$ 上平坦である。

$B=0$ ならテンソル積は零なので結論は成立する。以下 $B\ne0$ とする。prop-jac-criterion-local-standard-presentation により各素点の基本開近傍 $B_b$ は可逆な小行列式を持つ標準Jacobi表示となる。標準滑らかな代数の命題「局所化を許した表示」により各 $B_b$ は $A$ 上標準滑らかであり、標準滑らかな代数の定理「標準滑らかな代数は平坦」により $A$ 上平坦である。
任意の単射 $U\to V$ のテンソル後の核を $K$ とする。分数の核像計算とテンソル結合の両逆により、$K_b$ は $U\otimes_AB_b\to V\otimes_AB_b$ の核に一致し、従って零である。非零 $z\in K$ があれば、真イデアル $\operatorname{Ann}_B(z)$ を含む極大イデアル $\mathfrak q$ を選べる。その点では $z/1\ne0$ である。零なら $s\notin\mathfrak q$ が $sz=0$ を満たし、$s\in\operatorname{Ann}(z)\subset\mathfrak q$ となる矛盾だからである。点を覆う基本開 $D(b)$ では $b\notin\mathfrak q$ なので $K_b=0$ は $K_{\mathfrak q}=0$ を与え、矛盾する。従って $K=0$。核の有限生成性も基礎環のNoether性も使っていない。

有限表示の形式的滑らかさと幾何的正則ファイバー

有限表示の形式的滑らかな $A$ 代数 $B$ は $A$ 上平坦であり、任意の素点 $\mathfrak p$ 上のファイバーは幾何的正則である。

平坦性は cor-jac-criterion-finitely-presented-flat による。prop-jac-criterion-local-standard-presentation により、$\operatorname{Spec}B$ は局所化を許した標準Jacobi表示 $B_{\bar h}=P_h/(f_1,\ldots,f_c)$ をもつ開部分 $D(\bar h)$ で覆われ、標準滑らかな代数の命題「局所化を許した表示」により各 $B_{\bar h}$ は $A$ 上標準滑らかである。素イデアル $\mathfrak p\subset A$ と体拡大 $K/\kappa(\mathfrak p)$ を取る。$\bar h$ たちは $B$ の単位イデアルを生成するので、$B\otimes_AK$ の各素イデアルはある $\bar h\otimes1$ を含まず、そこでの局所環は $B_{\bar h}\otimes_AK$ の局所環と同型なので、標準滑らかな代数の定理「幾何的に正則なファイバー」により正則局所環である。従って任意の体拡大後にも全点で正則であり、特に幾何的正則性の定義に現れる有限体拡大後にも正則となる。この証明は平坦かつ幾何的正則ファイバーという条件から形式的滑らかさを導く逆方向を含まない。

一般閉点と幾何学的正則性を区別する

有限表示形式的滑らか代数の平坦性と幾何的正則ファイバーへの前向きは jac-georeg-cor-fs-jgr-formally-smooth-fibers で、局所標準表示に標準滑らかな代数の定理を当てて示した。一方、幾何的正則性からの一般逆方向や、完全体上での有限型代数の正則性と幾何的正則性の一般比較は別の命題である。特に剰余体が基礎体と異なる閉点で、行列の階数を有理点の式へそのまま代入してはいけない。純非分離拡大の反例は、その必要性を最小の体代数で示す。任意素点の局所環の次元は相対次元とは異なり、例えば体上の直線の生成点の局所環は次元0である。
標準表示の全点での存在とは、各点ごとに近傍と関係式を選べるという意味である。全空間に一つの同じ小行列式が可逆であることを要求してはいない。近傍の余法線分裂を有限個選び、分母を払い、単位イデアルを生成する冪の係数で足し合わせることで、大域の形式的持上げが得られた。この有限表示性に支えられた構成が、点ごとの判定を環全体の性質に戻す役割を担う。