平行四辺形の条件

同義語：平行四辺形になるための条件平行四辺形の性質parallelogram criteria

概要

前提知識: 三角形の合同条件, 三角形の内角の和, 位置ベクトルと内分点, ベクトルの内積（高校数学）

高校での出発点：平行四辺形を座標で調べる

平行四辺形は「2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形」である。教科書では、平行四辺形の辺・角・対角線について成り立つ性質と、ある四角形が平行四辺形であると言うための条件を習う。まず座標で、平行四辺形とそうでない四角形を比べてみる。

平行四辺形の辺・角・対角線

$A(0,0)$、$B(5,1)$、$C(7,4)$、$D(2,3)$ とする。辺のベクトルは
$$ \overrightarrow{AB}=(5,1),\qquad \overrightarrow{DC}=(7-2,\,4-3)=(5,1),\qquad \overrightarrow{AD}=(2,3),\qquad \overrightarrow{BC}=(7-5,\,4-1)=(2,3) $$
で、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ である。特に $AB\parallel DC$、$AD\parallel BC$ で、四角形 $ABCD$ は平行四辺形である。
(1) 辺の長さ。$AB=CD=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$、$AD=BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ で、向かい合う辺の長さは等しい。
(2) 角。内積で余弦を求める（ベクトルの内積（高校数学））。$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=10+3=13$ から
$$ \cos A=\frac{13}{\sqrt{26}\,\sqrt{13}}=\frac{13}{13\sqrt2}=\frac1{\sqrt2},\qquad A=45^\circ $$
である。$\overrightarrow{BA}=(-5,-1)$、$\overrightarrow{BC}=(2,3)$ の内積は $-13$ なので $\cos B=-\dfrac1{\sqrt2}$、$B=135^\circ$ である。同じ計算で $C=45^\circ$、$D=135^\circ$ となり、向かい合う角は等しい。
(3) 対角線の中点。$AC$ の中点は $\left(\dfrac72,2\right)$、$BD$ の中点は $\left(\dfrac{5+2}2,\dfrac{1+3}2\right)=\left(\dfrac72,2\right)$ で、一致する。2 本の対角線は互いの中点で交わる。

平行四辺形でない四角形

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(5,3)$、$D(1,4)$ とする。$\overrightarrow{AB}=(6,0)$、$\overrightarrow{DC}=(4,-1)$ は平行でなく、$\overrightarrow{AD}=(1,4)$、$\overrightarrow{BC}=(-1,3)$ も平行でない。
(1) 辺の長さは $AB=6$、$BC=\sqrt{10}$、$CD=\sqrt{17}$、$DA=\sqrt{17}$ で、向かい合う辺 $AB$ と $CD$、$BC$ と $DA$ はどちらも等しくない。
(2) 角は、(1) と同じ内積の計算で $A\approx76.0^\circ$、$B\approx71.6^\circ$、$C\approx122.5^\circ$、$D=90^\circ$（$\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA}=(4)(-1)+(-1)(-4)=0$）で、向かい合う角も等しくない。4 つの和は $360^\circ$ である。
(3) $AC$ の中点は $\left(\dfrac52,\dfrac32\right)$、$BD$ の中点は $\left(\dfrac72,2\right)$ で、一致しない。

平行四辺形 ABCD では、2 本の対角線の中点が同じ点 M(3.5, 2) になる

平行四辺形でない四角形では、2 本の対角線の中点が別々の点になる

ex-pgc-start の平行四辺形では、向かい合う辺・向かい合う角が等しく、対角線は互いの中点で交わった。ex-pgc-start-non の四角形では、そのどれも成り立たなかった。この記事で答える問いは次の 3 つである。

平行四辺形では、いつも向かい合う辺・角が等しく、対角線は互いの中点で交わるか。→ thm-pgc-property
逆に、向かい合う辺が等しい四角形などは、いつも平行四辺形か。どの条件なら平行四辺形と言えるか。→ thm-pgc-criteria、ex-pgc-cx-ssa

ベクトルで言いかえると、どうなるか。→ prop-pgc-vector

高校の言葉	この記事の言葉	大学の言葉
平行四辺形の性質	thm-pgc-property	平行移動で辺が重なる
平行四辺形になるための条件	thm-pgc-criteria	性質の逆（判定条件）
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$	prop-pgc-vector	ベクトルの和の平行四辺形則
対角線が互いの中点で交わる	中点の一致 $\dfrac{\vec a+\vec c}2=\dfrac{\vec b+\vec d}2$	中点に関する点対称

言葉の準備

四角形と平行四辺形

平面の 4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ で、どの 3 点も一直線上にないものをとる。4 本の線分 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ が、隣り合うもの同士の端点以外で交わらないとき、この 4 本でできる図形を 四角形 $ABCD$ という。4 本の線分を辺、4 点を頂点という。

辺 $AB$ と $CD$、辺 $BC$ と $DA$ を、それぞれ 向かい合う辺（対辺）という。
角 $A$ と $C$、角 $B$ と $D$ を、それぞれ 向かい合う角（対角）という。ここで角 $A$ は四角形の内側の角 $\angle DAB$ である。
線分 $AC$、$BD$ を 対角線 という。
2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形、つまり $AB\parallel DC$ かつ $AD\parallel BC$ である四角形を 平行四辺形 という。

辺どうしが交わる図形（ex-pgc-cx-crossed の図 8 のようなもの）は、この記事では四角形と呼ばない。そのような図形を区別するときは 自己交差する四角形 と呼ぶ。内側の角がすべて $180^\circ$ より小さい四角形を 凸四角形 という。
証明には、次の結果と事実を使う。

この記事で使う結果と事実

結果（証明は前提の記事にある）：

三角形の合同条件：2 辺とその間の角、1 辺とその両端の角、3 辺のどれかが等しい 2 つの三角形は合同である（三角形の合同条件）。
平行線の錯角：2 直線と横断線について、錯角が等しければ 2 直線は平行であり、逆に 2 直線が平行なら錯角は等しい（三角形の内角の和）。三角形の内角の和は $180^\circ$ である（同）。
図の位置関係についての事実（この記事では証明しない）：

四角形 $ABCD$ では、2 本の対角線の少なくとも一方、たとえば $AC$ について、残りの 2 頂点 $B$、$D$ は直線 $AC$ の反対側にある。このとき四角形は対角線 $AC$ で三角形 $ABC$ と $CDA$ に分かれ、角 $A$ は $\angle BAC+\angle CAD$、角 $C$ は $\angle BCA+\angle ACD$ に分かれる。
凸四角形では、どの辺についても、残りの 2 頂点はその辺を含む直線の同じ側にある。また、2 本の対角線は、両方の線分の端点でない点で交わる。

事実 (i) から、四角形の内角の和は、2 つの三角形の内角の和を合わせて $180^\circ+180^\circ=360^\circ$ である。ex-pgc-start-non の (2) でも、4 つの角の和は $360^\circ$ だった。
錯角を使うときは、2 点が横断線の反対側にあることを確かめる必要がある。以下の証明では、その確認に事実 (i)(ii) を使う。

主定理 1：平行四辺形の性質

平行四辺形の性質

平行四辺形 $ABCD$ について、次が成り立つ。

2 組の向かい合う辺の長さは、それぞれ等しい：$AB=CD$、$BC=DA$。
2 組の向かい合う角は、それぞれ等しい：$\angle A=\angle C$、$\angle B=\angle D$。
2 本の対角線は、互いの中点で交わる。

対角線 AC で平行四辺形を 2 つの三角形に分けると、同じ印の角が錯角として等しくなる

方針：対角線 $AC$ で 2 つの三角形 $ABC$、$CDA$ に分け、平行線の錯角から 2 つの三角形が合同であることを示す（図 3）。これで 1 と 2 が出る。3 は、1 と 2 から平行四辺形が凸四角形であることを確かめ、対角線の交点のまわりの 2 つの三角形の合同から示す。
段 1（どちらの対角線を使うか）。rem-pgc-facts の事実 (i) により、2 本の対角線の少なくとも一方について、残りの 2 頂点はその対角線の反対側にある。平行四辺形の定義は、頂点の名前を 1 つずつずらして $B$、$C$、$D$、$A$ と呼び直しても変わらず、定理の主張 1〜3 も変わらない。そこで、必要なら名前を付け替えて、$B$ と $D$ が直線 $AC$ の反対側にあるとしてよい。
段 2（錯角）。$AB\parallel DC$ で、横断線 $AC$ について $B$ と $D$ は反対側にあるので、$\angle BAC$ と $\angle DCA$ は錯角で、平行線の錯角は等しいから
$$ \angle BAC=\angle DCA $$
である。同じく $AD\parallel BC$ で、$D$ と $B$ は $AC$ の反対側にあるので、$\angle DAC$ と $\angle BCA$ は錯角で
$$ \angle DAC=\angle BCA $$
である。
段 3（合同）。三角形 $ABC$ と三角形 $CDA$ で、辺 $AC$ と辺 $CA$ は共通、その両端の角は段 2 により $\angle BAC=\angle DCA$、$\angle BCA=\angle DAC$ である。1 辺とその両端の角が等しいので、$\triangle ABC\equiv\triangle CDA$（頂点は $A\leftrightarrow C$、$B\leftrightarrow D$、$C\leftrightarrow A$ と対応）である。対応する辺と角を読むと
$$ AB=CD,\qquad BC=DA,\qquad \angle ABC=\angle CDA $$
である。これで 1 と、2 のうち $\angle B=\angle D$ が示された。
段 4（残りの角）。事実 (i) により、角 $A$ は $\angle BAC+\angle CAD$、角 $C$ は $\angle BCA+\angle ACD$ に分かれる。段 2 の 2 つの等式を足すと
$$ \angle A=\angle BAC+\angle CAD=\angle DCA+\angle BCA=\angle C $$
である。これで 2 が示された。
段 5（凸であること）。内角の和は $360^\circ$ なので、2 から $2\angle A+2\angle B=360^\circ$、つまり $\angle A+\angle B=180^\circ$ である。$\angle A$、$\angle B$ はどちらも正なので、どちらも $180^\circ$ より小さい。$\angle C=\angle A$、$\angle D=\angle B$ なので、4 つの角はすべて $180^\circ$ より小さく、平行四辺形は凸四角形である。
段 6（対角線の中点）。事実 (ii) により、2 本の対角線は、$A$ と $C$ の間にあり、$B$ と $D$ の間にもある点 $O$ で交わる。$O$ は線分 $BD$ の上で $B$ と $D$ の間にあるので、$A$ と $C$ は直線 $BD$ の反対側にあり、$AB\parallel DC$ の錯角から $\angle ABD=\angle CDB$ である。三角形 $OAB$ と三角形 $OCD$ で

$AB=CD$（段 3）、
$\angle OAB=\angle BAC=\angle DCA=\angle OCD$（$O$ は線分 $AC$ の上にあるので半直線 $AO$ は半直線 $AC$ と同じ。段 2）、
$\angle OBA=\angle DBA=\angle BDC=\angle ODC$（上の錯角）
なので、1 辺とその両端の角が等しく、$\triangle OAB\equiv\triangle OCD$ である。よって $OA=OC$、$OB=OD$ で、$O$ は 2 本の対角線の両方の中点である。これで 3 が示された。

性質を使って長さと角を求める

平行四辺形 $ABCD$ で $AB=7$、$BC=4$、$\angle A=60^\circ$ とする。thm-pgc-property の 1 から $CD=7$、$DA=4$ で、周の長さは $2(7+4)=22$ である。2 と段 5 の $\angle A+\angle B=180^\circ$ から $\angle B=120^\circ$、$\angle C=60^\circ$、$\angle D=120^\circ$ である。
対角線の長さを確かめる例を開く
(2) ex-pgc-start の平行四辺形で、対角線の交点を $O$ とすると $O\left(\dfrac72,2\right)$ で、$OA=\sqrt{\left(\dfrac72\right)^2+2^2}=\dfrac{\sqrt{65}}2$、$OC=\sqrt{\left(7-\dfrac72\right)^2+(4-2)^2}=\dfrac{\sqrt{65}}2$ である。対角線 $AC$ の長さは $\sqrt{65}$、$BD$ の長さは $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ で、2 本の対角線の長さは等しくない。3 は「長さが等しい」とは言っていない。

主定理 2：平行四辺形になるための条件

thm-pgc-property の 1〜3 の逆は成り立つか。答えは「どれも成り立つ」で、さらに「1 組の向かい合う辺が平行で長さが等しい」という条件でも平行四辺形になる。

平行四辺形になるための条件

四角形 $ABCD$ が次のどれか 1 つを満たせば、$ABCD$ は平行四辺形である。
(R1) 2 組の向かい合う辺の長さが、それぞれ等しい：$AB=CD$ かつ $BC=DA$。
(R2) 2 組の向かい合う角が、それぞれ等しい：$\angle A=\angle C$ かつ $\angle B=\angle D$。
(R3) 2 本の対角線が、互いの中点で交わる。
(R4) 1 組の向かい合う辺が、平行で長さが等しい：$AB\parallel DC$ かつ $AB=DC$。

以下、条件 (i)〜(iv) を 1 つずつ証明する。どの証明も「合同 → 錯角が等しい → 平行」の順に進み、thm-pgc-property の証明の逆向きになっている。

条件 (i) の証明。rem-pgc-facts の事実 (i) により、名前を 1 つずつずらして付け替えれば、$B$ と $D$ が直線 $AC$ の反対側にあるとしてよい（条件 (i) は付け替えても変わらない）。三角形 $ABC$ と三角形 $CDA$ で、$AB=CD$、$BC=DA$、$CA=AC$ なので、3 辺が等しく $\triangle ABC\equiv\triangle CDA$ である。よって $\angle BAC=\angle DCA$、$\angle BCA=\angle DAC$ である。$\angle BAC$ と $\angle DCA$ は横断線 $AC$ についての錯角（$B$、$D$ は反対側）で、等しいので $AB\parallel DC$ である。同じく $\angle DAC=\angle BCA$ から $AD\parallel BC$ である。
条件 (ii) の証明。内角の和は $360^\circ$ なので、$2\angle A+2\angle B=360^\circ$、つまり $\angle A+\angle B=180^\circ$ で、同じく $\angle A+\angle D=180^\circ$ である。thm-pgc-property の段 5 と同じ理由で、4 つの角はすべて $180^\circ$ より小さく、$ABCD$ は凸四角形である。辺 $AD$ を $A$ の先へ延ばした半直線の上に点 $D'$ をとると、$\angle D'AB=180^\circ-\angle DAB=180^\circ-\angle A=\angle B=\angle ABC$ である。事実 (ii) により $C$ と $D$ は直線 $AB$ の同じ側にあり、$D'$ は $D$ と反対側にあるので、$D'$ と $C$ は直線 $AB$ の反対側にある。したがって $\angle D'AB$ と $\angle ABC$ は横断線 $AB$ についての錯角で、等しいから $AD\parallel BC$ である。$\angle A+\angle D=180^\circ$ から、同じ議論（横断線 $AD$）で $AB\parallel DC$ である。
条件 (iii) の証明。2 本の対角線の交点 $O$ が、$AC$ の中点であり $BD$ の中点でもあるとする。三角形 $OAB$ と三角形 $OCD$ で、$OA=OC$、$OB=OD$、$\angle AOB=\angle COD$（対頂角）なので、2 辺とその間の角が等しく $\triangle OAB\equiv\triangle OCD$ である（図 4）。よって $\angle OAB=\angle OCD$、つまり $\angle CAB=\angle ACD$ である（$O$ は $A$ と $C$ の間にある）。$O$ は直線 $AC$ の上にあって $B$ と $D$ の間にあり、$B$ は直線 $AC$ の上にないので、$B$ と $D$ は直線 $AC$ の反対側にある。したがって 2 つの角は錯角で、$AB\parallel DC$ である。三角形 $OAD$ と $OCB$ で同じことをすると $AD\parallel BC$ である。
条件 (iv) の証明。名前を $B$、$A$、$D$、$C$ と付け替えると、条件 (iv) は変わらず、対角線 $AC$ と $BD$ が入れかわる。そこで事実 (i) により、$B$ と $D$ が直線 $AC$ の反対側にあるとしてよい。$AB\parallel DC$ で、横断線 $AC$ についての錯角は等しいので $\angle BAC=\angle DCA$ である。三角形 $ABC$ と三角形 $CDA$ で、$AB=CD$、$AC=CA$、間の角 $\angle BAC=\angle DCA$ なので、$\triangle ABC\equiv\triangle CDA$ である。よって $\angle BCA=\angle DAC$ で、これは横断線 $AC$ についての錯角なので $AD\parallel BC$ である。

対角線が互いの中点 O で交わると、対頂角をはさむ三角形 OAB と OCD が合同になる
条件 (iv) は、中点連結定理の合同による証明の中でも、その場の図形について示されて使われている。この記事の (iv) は、それをどの四角形にも使える形で述べたものである。

条件を使って平行四辺形と判定する

条件 (i)。$A(0,0)$、$B(4,1)$、$C(6,5)$、$D(2,4)$ で、$AB=\sqrt{17}$、$CD=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$、$BC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$、$DA=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$ である。2 組の向かい合う辺が等しいので、平行四辺形である。実際 $\overrightarrow{AB}=(4,1)=\overrightarrow{DC}$ である。
条件 (iii)・(iv) を使う例を開く
(2) 条件 (iii)。平行四辺形 $ABCD$ の対角線の交点を $O$ とし、対角線 $AC$ 上に $OP=OQ>0$ となる点 $P$、$Q$ を $O$ の両側にとる。$O$ は $PQ$ の中点で、thm-pgc-property の 3 により $BD$ の中点でもある。よって四角形 $PBQD$ は、対角線 $PQ$、$BD$ が互いの中点で交わるので平行四辺形である。
(3) 条件 (iv)。平行四辺形 $ABCD$ の辺 $AB$、$DC$ の中点を $M$、$N$ とする。$AM=\dfrac12AB=\dfrac12DC=DN$ で、$AM\parallel DN$（$AB\parallel DC$ の一部）なので、四角形 $AMND$ は 1 組の向かい合う辺が平行で等しく、平行四辺形である。

ベクトルで見ると 1 行になる

位置ベクトルを使うと、平行四辺形であることは 1 本の等式で書ける（位置ベクトルと内分点）。以下、点 $A$、$B$、$C$、$D$ の位置ベクトルを $\vec a$、$\vec b$、$\vec c$、$\vec d$ とする。

平行四辺形のベクトルによる言いかえ

平面の 4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ で、どの 3 点も一直線上にないものについて、次の 3 つは同値である。

$AB\parallel DC$ かつ $AD\parallel BC$。
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$。
$\dfrac{\vec a+\vec c}2=\dfrac{\vec b+\vec d}2$（線分 $AC$ の中点と線分 $BD$ の中点が一致する）。

2 と 3 が同値であること。$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ は $\vec b-\vec a=\vec c-\vec d$ であり、移項すると $\vec a+\vec c=\vec b+\vec d$、両辺を $2$ で割ると 3 になる。どの変形も逆にたどれる。
2 から 1。$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ なので $AB\parallel DC$ である。また $\overrightarrow{AD}=\vec d-\vec a$ と $\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$ は、$\vec a+\vec c=\vec b+\vec d$ から $\vec d-\vec a=\vec c-\vec b$ で等しく、$AD\parallel BC$ である。
1 から 2。$\overrightarrow{DC}=t\,\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}=s\,\overrightarrow{AD}$ と書き、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AD}$ が平行でないことから $t=s=1$ を出す。

詳細

$AB\parallel DC$ なので、実数 $t$ を使って $\vec c-\vec d=t(\vec b-\vec a)$ と書ける。$AD\parallel BC$ なので、実数 $s$ を使って $\vec c-\vec b=s(\vec d-\vec a)$ と書ける。2 式を引くと $\vec b-\vec d=t(\vec b-\vec a)-s(\vec d-\vec a)$ である。左辺は $(\vec b-\vec a)-(\vec d-\vec a)$ と書けるので、移項して

$$(1-t)(\vec b-\vec a)=(1-s)(\vec d-\vec a)$$

を得る。$A$、$B$、$D$ は一直線上にないので、$\vec b-\vec a$ と $\vec d-\vec a$ は平行でなく、どちらも $\vec 0$ でない。平行でない 2 つのベクトルの実数倍が等しいのは、両方の係数が $0$ のときだけなので、$t=1$、$s=1$ である。よって $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ である。

prop-pgc-vector から、平行四辺形の性質のいくつかは計算だけで出る。2 から $AB=DC$、$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ から $AD=BC$（thm-pgc-property の 1）、3 から対角線の中点の一致（同じく 3）である。さらに、対角線の中点 $M$ は線分 $BD$ の上にあって $B$ と $D$ の間にあるので、$B$ と $D$ は直線 $AC$ の反対側にある。rem-pgc-facts の事実 (i) の、平行四辺形の場合はこうして確かめられる。

4 つ目の頂点を求める

$A(1,1)$、$B(5,2)$、$C(6,6)$ とする。四角形 $ABCD$ が平行四辺形になる $D$ は、$\vec d=\vec a+\vec c-\vec b=(1+6-5,\,1+6-2)=(2,5)$ である。確かめ：$\overrightarrow{AB}=(4,1)$、$\overrightarrow{DC}=(6-2,\,6-5)=(4,1)$ で等しい。
頂点の順を変えた場合を開く
(2) 同じ 3 点で、四角形 $ABDC$（頂点の順が $A$、$B$、$D$、$C$）が平行四辺形になる $D$ は、$\vec a+\vec d=\vec b+\vec c$ から $\vec d=(5+6-1,\,2+6-1)=(10,7)$ である。3 点を頂点にもつ平行四辺形の 4 つ目の頂点は、どの 2 点を対角線の両端にするかで 3 通りある。(1) は $AC$、(2) は $BC$ を対角線にした場合で、$AB$ を対角線にすると $\vec d=\vec a+\vec b-\vec c=(0,-3)$ である（四角形 $ADBC$）。

一方、thm-pgc-criteria の条件 (i)・(ii) は、ベクトルの 1 本の等式には直せない。ex-pgc-cx-crossed のように、2 組の向かい合う辺の長さが等しくても、辺が交わってしまう 4 点があるからである。条件 (i)・(iv) の証明で「四角形である（自己交差しない）」ことを事実 (i) の形で使ったのは、このためである（(iv) の場合は ex-pgc-cx-crossed の (2)）。

長方形・ひし形・正方形

4 つの角がすべて等しい四角形を 長方形 という。内角の和は $360^\circ$ なので、長方形の角はすべて $90^\circ$ である。4 つの辺の長さがすべて等しい四角形を ひし形 という。長方形でありひし形でもある四角形を 正方形 という。

長方形は 2 組の向かい合う角が等しいので、thm-pgc-criteria の条件 (ii) により平行四辺形である。ひし形は 2 組の向かい合う辺が等しいので、条件 (i) により平行四辺形である。どちらも平行四辺形の特別な場合なので、対角線で見分けられる。

対角線による長方形・ひし形・正方形の判定

平行四辺形 $ABCD$ について、次が成り立つ。

$ABCD$ が長方形であることと、$AC=BD$（2 本の対角線の長さが等しい）は同値である。
$ABCD$ がひし形であることと、$AC\perp BD$（2 本の対角線が直交する）は同値である。
$ABCD$ が正方形であることと、$AC=BD$ かつ $AC\perp BD$ は同値である。
特に、四角形の 2 本の対角線が、互いの中点で交わり、長さが等しく、直交するならば、その四角形は正方形である。

要点：$\vec u=\overrightarrow{AB}$、$\vec v=\overrightarrow{AD}$ とおくと $\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v$、$\overrightarrow{BD}=\vec v-\vec u$ で、内積の展開から
$$ AC^2-BD^2=4\,\vec u\cdot\vec v,\qquad \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=AD^2-AB^2 $$
である。$AC=BD$ は $\angle A=90^\circ$ と、$AC\perp BD$ は $AB=AD$ と同値になる。最後の主張は、thm-pgc-criteria の条件 (iii) で平行四辺形になり、3 を使えばよい。

詳しい証明を開く

prop-pgc-vector により $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec u+\vec v$、$\overrightarrow{BD}=\vec v-\vec u$ である。内積を展開すると（ベクトルの内積（高校数学））

$$\lvert\vec u+\vec v\rvert^2-\lvert\vec v-\vec u\rvert^2=\bigl(\lvert\vec u\rvert^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\lvert\vec v\rvert^2\bigr)-\bigl(\lvert\vec v\rvert^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\lvert\vec u\rvert^2\bigr)=4\,\vec u\cdot\vec v,$$

$$(\vec u+\vec v)\cdot(\vec v-\vec u)=\lvert\vec v\rvert^2-\lvert\vec u\rvert^2$$

である。

1。$AC=BD$ は、1 つ目の式から $\vec u\cdot\vec v=0$、つまり $\angle A=90^\circ$ と同値である。平行四辺形では $\angle C=\angle A$、$\angle B=\angle D=180^\circ-\angle A$（thm-pgc-property の段 5）なので、$\angle A=90^\circ$ は 4 つの角がすべて $90^\circ$ であること、つまり長方形であることと同値である。

2。$AC\perp BD$ は、2 つ目の式から $\lvert\vec u\rvert=\lvert\vec v\rvert$、つまり $AB=AD$ と同値である。平行四辺形では $CD=AB$、$BC=AD$ なので、$AB=AD$ は 4 辺がすべて等しいこと、つまりひし形であることと同値である。

3 は 1 と 2 を合わせたものである。

長方形 ABCD では 2 本の対角線の長さが等しい

ひし形 ABCD では 2 本の対角線が中点で直交する

対角線で見分ける

$A(0,0)$、$B(4,2)$、$C(3,4)$、$D(-1,2)$。$\overrightarrow{AB}=(4,2)=\overrightarrow{DC}$ なので平行四辺形である。$AC^2=3^2+4^2=25$、$BD^2=5^2+0^2=25$ で対角線の長さが等しいので、長方形である。確かめ：$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(4)(-1)+(2)(2)=0$。
$A(0,0)$、$B(5,0)$、$C(9,3)$、$D(4,3)$。$\overrightarrow{AB}=(5,0)=\overrightarrow{DC}$ なので平行四辺形である。$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(9)(-1)+(3)(3)=0$ で対角線が直交するので、ひし形である。確かめ：$AB=5$、$AD=\sqrt{4^2+3^2}=5$。$AC^2=90$、$BD^2=10$ で、長方形ではない。
どちらでもない例を開く
(3) ex-pgc-start の平行四辺形では $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(7)(-3)+(4)(2)=-13\ne0$、$AC^2=65\ne13=BD^2$ で、長方形でもひし形でもない。

例と反例：条件を弱めると成り立たない

thm-pgc-criteria の 4 つの条件は、それぞれ少し弱めるだけで平行四辺形とは言えなくなる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
条件 (iv) の「平行な辺が等しい」を「もう 1 組の辺が等しい」に替える	等脚台形 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(4,2)$、$D(2,2)$	平行四辺形である（$AD\parallel BC$ でない）
条件 (iii) の「互いの中点で交わる」を「対角線の長さが等しい」に替える	同じ等脚台形	平行四辺形である
条件 (i) で、四角形であること（辺が交わらないこと）を外す	$A(0,0)$、$B(1,2)$、$C(4,0)$、$D(3,2)$	2 組の向かい合う辺が平行
条件 (iv) で、四角形であることを外す	$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(1,2)$、$D(5,2)$	$AD\parallel BC$
条件 (i)・(ii) を 1 組ずつに減らす（1 組の辺と 1 組の角）	凸四角形 $A(0,0)$、$B(9,-3)$、$C(10,4)$、$D(1,1)$	平行四辺形である

等脚台形では 1 組の辺が平行で、もう 1 組の辺と 2 本の対角線の長さが等しいが、平行四辺形ではない

辺 BC と DA が交わる 4 点では、向かい合う辺の長さが 2 組とも等しくても平行にならない

反例：等脚台形

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(4,2)$、$D(2,2)$ とする（図 7）。$AB$ と $DC$ はどちらも $x$ 軸に平行で $AB\parallel DC$ である。$AD=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8$、$BC=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt8$ で、もう 1 組の辺 $AD$ と $BC$ の長さは等しい。対角線も $AC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$、$BD=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{20}$ で等しい。
しかし $\overrightarrow{AD}=(2,2)$ と $\overrightarrow{BC}=(-2,2)$ は平行でなく、$ABCD$ は平行四辺形ではない。$AB=6\ne2=DC$ なので条件 (iv) は満たされず、$AC$ の中点 $(2,1)$ と $BD$ の中点 $(4,1)$ は違うので条件 (iii) も満たされない。

崩れる理由を開く

条件 (iv) では「平行な 2 辺が等しい」ことが要る。平行でない側の 2 辺が等しいだけなら、この例のように、$A$ と $B$、$D$ と $C$ がそれぞれ直線 $x=3$ について対称な台形ができる。cor-pgc-special の 1 は、平行四辺形であることを先に知っている場合の判定で、対角線が等しいだけでは平行四辺形にさえならない。

反例：辺が交わる 4 点

$A(0,0)$、$B(1,2)$、$C(4,0)$、$D(3,2)$ とする（図 8）。$AB=\sqrt5=CD$、$BC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}=DA$ で、2 組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい。しかし $\overrightarrow{AB}=(1,2)$ と $\overrightarrow{DC}=(1,-2)$ は平行でない。辺 $BC$ と辺 $DA$ は点 $\left(2,\dfrac43\right)$ で交わり（それぞれの線分を $1:2$ に内分する点）、$ABCD$ は四角形ではない。$B$ と $D$ は直線 $AC$（$x$ 軸）の同じ側にあり、thm-pgc-criteria の条件 (i) の証明の錯角の議論が使えない。
条件 (iv) の場合を開く
(2) $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(1,2)$、$D(5,2)$ とする。$AB$ と $DC$ はどちらも $x$ 軸に平行で、長さはどちらも $4$ である。しかし $\overrightarrow{AB}=(4,0)$、$\overrightarrow{DC}=(-4,0)$ で向きが逆であり、$\overrightarrow{AD}=(5,2)$ と $\overrightarrow{BC}=(-3,2)$ は平行でない。辺 $BC$ と辺 $DA$ は点 $\left(\dfrac52,1\right)$ で交わる。prop-pgc-vector の 2 で、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ と向きまで込めて書いたのは、この 4 点を除くためである。

AB と CD が等しく、角 A と角 C が等しい凸四角形 ABCD。同じ条件を満たす平行四辺形 ABC'D（破線）とは C の位置だけが違う

反例：1 組の辺と 1 組の角が等しい凸四角形

$A(0,0)$、$B(9,-3)$、$C(10,4)$、$D(1,1)$ とする（図 9）。
(1) 辺。$AB^2=9^2+3^2=90$、$CD^2=9^2+3^2=90$ で、$AB=CD$ である。
(2) 角。$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(9)(1)+(-3)(1)=6$、$\overrightarrow{CB}=(-1,-7)$、$\overrightarrow{CD}=(-9,-3)$ の内積は $9+21=30$ で
$$ \cos A=\frac6{\sqrt{90}\,\sqrt2}=\frac6{6\sqrt5}=\frac1{\sqrt5},\qquad \cos C=\frac{30}{\sqrt{50}\,\sqrt{90}}=\frac{30}{30\sqrt5}=\frac1{\sqrt5} $$
なので、$\angle A=\angle C$（約 $63.4^\circ$）である。残りの角は $\angle B\approx79.7^\circ$、$\angle D\approx153.4^\circ$ で、4 つとも $180^\circ$ より小さい凸四角形である。
(3) しかし $\overrightarrow{AB}=(9,-3)$、$\overrightarrow{DC}=(9,3)$ は平行でなく、$ABCD$ は平行四辺形ではない。
なぜこうなるか。三角形 $ABD$ と三角形 $CDB$ は、辺 $BD$ が共通で、$AB=CD$、辺 $BD$ の向かいの角 $\angle A=\angle C$ が等しい。これは「2 辺と、その間にない角」が等しいということで、三角形の合同条件ではない。三角形の決定で「2 辺と間にない角」から三角形が 2 つできる場合と同じ現象である（三角形の決定と解の個数）。

円で 2 つの位置を見る

$\vec b+\vec d-\vec a$ で作った点 $C'(10,-2)$ をとると $ABC'D$ は平行四辺形で、$C'D=AB$、$\angle BC'D=\angle A$ である。4 点 $B$、$C$、$C'$、$D$ は円 $x^2+y^2-12x-2y+12=0$（中心 $(6,1)$、半径 $5$）の上にあり、$C$ と $C'$ はどちらも弦 $BD$ から見て同じ側にある。同じ弧の上の点から弦 $BD$ を見込む角は等しい（円周角の定理（高校数学））ので $\angle BCD=\angle BC'D=\angle A$ となり、さらに $C$ と $C'$ はどちらも $D$ から距離 $\sqrt{90}$ の点である。弦 $BD$ を $\angle A$ で見込む点の円と、$D$ を中心とする半径 $AB$ の円が 2 点で交わるので、$C$ の位置が 2 通りある。

条件と証明の道具の一覧

条件	証明で使う合同条件	平行を出す角	ベクトルでの形
定義：2 組の対辺が平行	—	—	$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$（prop-pgc-vector）
条件 (i)：2 組の対辺が等しい	3 辺	対角線 $AC$ での錯角	1 本の等式にならない
条件 (ii)：2 組の対角が等しい	使わない（内角の和）	延長線をとった錯角	1 本の等式にならない
条件 (iii)：対角線が互いの中点で交わる	2 辺と間の角（対頂角）	対角線 $AC$ での錯角	$\vec a+\vec c=\vec b+\vec d$
条件 (iv)：1 組の対辺が平行で等しい	2 辺と間の角	対角線 $AC$ での錯角	四角形なら $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

条件 (i)・(ii) は、辺や角の「大きさ」しか見ていないので、ex-pgc-cx-crossed のような向きの違いを区別できない。そのため証明に、図の位置関係（rem-pgc-facts）が入る。条件 (iii) は向きまで込めた条件で、そのままベクトルの等式 $\vec a+\vec c=\vec b+\vec d$ に直せる。条件 (iv) は、四角形である（辺が交わらない）ことと合わせて初めて $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ になる（ex-pgc-cx-crossed の (2) では $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{DC}$）。

大学数学で見る：平行移動と点対称

prop-pgc-vector の $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ は、「辺 $DC$ は、辺 $AB$ を平行移動したものである」と読める。大学の線形代数では、ベクトルは向きと大きさだけをもつもので、始点を平行移動しても同じベクトルとみなす。この見方では、平行四辺形 $ABCD$ は $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ という ベクトルの和の平行四辺形則 の図そのものである（ベクトル空間）。2 本の対角線の長さの 2 乗の和が 4 辺の長さの 2 乗の和に等しいこと（平行四辺形の法則）は、中線定理（高校数学）で扱う。

点対称とアフィン変換の話を開く

$\vec a+\vec c=\vec b+\vec d$ は、対角線の中点 $M$（位置ベクトル $\vec m$）に関する点対称 $\vec x\mapsto2\vec m-\vec x$ が、$A$ と $C$、$B$ と $D$ を入れかえることを言っている。平行四辺形は、ある点に関して点対称な四角形である。

平面の変換 $\vec x\mapsto R\vec x+\vec t$（$R$ は行列式が $0$ でない $2\times2$ 行列）をアフィン変換という。この変換で $\overrightarrow{AB}$ は $R\overrightarrow{AB}$ に移るので、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ は移した後も保たれ、平行四辺形は平行四辺形に移る。一方、長さや角は保たれないので、長方形・ひし形・正方形は一般に保たれない。たとえば $R=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ は正方形を、正方形でない長方形に移す。平行四辺形の性質のうち「対角線が互いの中点で交わる」はアフィン変換で保たれる性質で、「対角線の長さが等しい」は保たれない性質である。行列による変換の面積の変わり方は 1次変換と行列式：面積の拡大率で扱う。

演習

1 組の対辺が平行で 1 組の対角が等しい四角形

四角形 $ABCD$ で $AB\parallel DC$ かつ $\angle A=\angle C$ ならば、$ABCD$ は平行四辺形であることを示せ。ただし、1 組の対辺が平行な四角形は凸四角形であること（図の位置関係）は使ってよい。

解答を開く

$ABCD$ は凸四角形なので、rem-pgc-facts の事実 (ii) により $B$ と $C$ は直線 $AD$ の同じ側にある。辺 $AB$ を $A$ の先へ延ばした点 $B'$ をとると、$B'$ と $C$ は直線 $AD$ の反対側にあり、$\angle B'AD$ と $\angle ADC$ は横断線 $AD$ についての錯角である。$AB\parallel DC$ なので錯角は等しく、$\angle ADC=\angle B'AD=180^\circ-\angle A$、つまり $\angle A+\angle D=180^\circ$ である。同じく横断線 $BC$ について $\angle B+\angle C=180^\circ$ である。$\angle A=\angle C$ なので $\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-\angle A=\angle D$ である。2 組の向かい合う角が等しいので、thm-pgc-criteria の条件 (ii) により平行四辺形である。

座標で判定する

$A(-2,1)$、$B(3,-1)$、$C(5,4)$、$D(0,6)$ について、四角形 $ABCD$ が平行四辺形・長方形・ひし形・正方形のどれにあたるかを調べよ。

解答を開く

$AC$ の中点は $\left(\dfrac32,\dfrac52\right)$、$BD$ の中点も $\left(\dfrac32,\dfrac52\right)$ で一致するので、条件 (iii) により平行四辺形である。$\overrightarrow{AC}=(7,3)$、$\overrightarrow{BD}=(-3,7)$ で、$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-21+21=0$ なので対角線は直交し、$AC^2=58=BD^2$ なので長さも等しい。cor-pgc-special の 3 により正方形である。確かめ：$\overrightarrow{AB}=(5,-2)$、$\overrightarrow{AD}=(2,5)$ で、長さはどちらも $\sqrt{29}$、内積は $10-10=0$。

さらに先へ

どんな四角形でも、4 辺の中点を結ぶと平行四辺形になる（Varignonの定理）。証明には中点連結定理と、この記事の平行四辺形の定義を使う。
四角形の各辺の外側に正方形を立てると、向かい合う正方形の中心を結ぶ 2 本の線分は長さが等しく直交する（Van Aubelの定理（四角形））。もとの四角形が平行四辺形なら、4 つの中心は cor-pgc-special の最後の主張により正方形の頂点になる（Thébaultの定理）。
円に内接する平行四辺形は長方形である（円に内接する四角形）。