Hopfの補題

平行移動して $y=0$ としてよい。$r:=|x|$ と書き、円環 $A:=\{x\mid R/2<|x|< R\}$ を考える。
段 0（仮定 3 を仮定 2 に帰着する）．仮定 3 の場合、$B$ の上で $u< u(x_0)=0$ である。$c^+:=\max(c,0)$、$c^-:=\max(-c,0)$ とし、$c$ を $c^+$ に替えた作用素を $L^+$ とすると、$L^+u=Lu+c^-u\le Lu\le0$ である（$c^-\ge0$、$u<0$）。$L^+$ は $B$ の上で一様楕円型で係数が有界、0 階の係数は $c^+\ge0$ で、$u(x_0)=0\ge0$ なので、仮定 2 の場合に帰着する。仮定 1 は仮定 2 と同じく「$B$ の上で $c\ge0$ かつ $c\,u(x_0)\ge0$」をみたす。以下ではこの 2 つの性質だけを使う。
段 1（障壁関数）．$\alpha>0$ について
$$ v(x):=e^{-\alpha r^2}-e^{-\alpha R^2} $$
とおく。$v$ は滑らかで、$|x|< R$ では $v>0$、$|x|=R$ では $v=0$、$|x|\le R$ では $v\le e^{-\alpha r^2}$ である。$\partial_iv=-2\alpha x_ie^{-\alpha r^2}$、$\partial_i\partial_jv=(4\alpha^2x_ix_j-2\alpha\delta_{ij})e^{-\alpha r^2}$ だから
$$ Lv=e^{-\alpha r^2}\Bigl(-4\alpha^2\sum_{i,j}a^{ij}x_ix_j+2\alpha\sum_ia^{ii}-2\alpha\sum_ib^ix_i\Bigr)+c\,v $$
である。$\Lambda:=\sup_B\max_{i,j}|a^{ij}|$、$\beta:=\sup_B|b|$（$b=(b^1,\dots,b^n)$）、$\gamma:=\sup_Bc$ とおく。一様楕円性から $\sum a^{ij}x_ix_j\ge\theta r^2$、また $\sum a^{ii}\le n\Lambda$、$|\sum b^ix_i|\le\beta r$ であり、$c\ge0$ と $0\le v\le e^{-\alpha r^2}$ から $c\,v\le\gamma e^{-\alpha r^2}$ である。$A$ の上では $R/2< r< R$ なので
$$ Lv\le e^{-\alpha r^2}\bigl(-\alpha^2\theta R^2+2\alpha(n\Lambda+\beta R)+\gamma\bigr) $$
となる。右辺の括弧は $\alpha\to\infty$ で $-\infty$ に発散するので、$\alpha$ を十分大きくとって固定すれば、$A$ の上で $Lv<0$ である。
段 2（比較する関数）．内側の球面 $S:=\{|x|=R/2\}$ は $B$ に含まれるコンパクト集合で、その上で $u< u(x_0)$ だから、$\delta:=\min_S\bigl(u(x_0)-u\bigr)>0$ である。$\varepsilon:=\delta$ とし、$\overline A$ の上で
$$ w:=u-u(x_0)+\varepsilon v $$
とおく。$S$ の上では $v<1$ なので $w<-\delta+\varepsilon=0$ である。外側の球面 $|x|=R$ の上では $v=0$ で、$u\le u(x_0)$（$B$ で $u< u(x_0)$ と連続性による）なので $w\le0$ である。$A$ の中では、$c\,u(x_0)\ge0$ と段 1 から
$$ Lw=Lu-c\,u(x_0)+\varepsilon Lv<0 $$
である。
段 3（$\overline A$ の上で $w\le0$）．$\overline A$ はコンパクトなので $w$ は最大値をとる。最大値が正なら、それは $\partial A$ ではとられないので、内点 $x_1\in A$ でとられる。楕円型偏微分方程式 の補題「内部の最大点での符号」により $\nabla w(x_1)=0$、$\sum a^{ij}\partial_i\partial_jw(x_1)\le0$ なので、$Lw(x_1)\ge c(x_1)w(x_1)\ge0$ となり、$Lw<0$ に反する。よって $\overline A$ の上で $w\le0$ である。
段 4（法線方向の傾き）．$\mu\cdot\nu>0$ とし、$\varphi(t):=v(x_0-t\mu)$ とおく。$|x_0-t\mu|\to R$（$t\downarrow0$）と前節の計算から、十分小さい $t>0$ で $x_0-t\mu\in A$ なので、段 3 から $u(x_0)-u(x_0-t\mu)\ge\varepsilon\varphi(t)$ である。$\varphi(0)=0$ であり、
$$ \varphi'(0)=-\alpha e^{-\alpha R^2}\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}|x_0-t\mu|^2=2\alpha e^{-\alpha R^2}\,x_0\cdot\mu=2\alpha R\,e^{-\alpha R^2}\,(\mu\cdot\nu)>0 $$
である。したがって
$$ \liminf_{t\downarrow0}\frac{u(x_0)-u(x_0-t\mu)}{t}\ge\varepsilon\,\varphi'(0)>0 $$
を得る。後半の主張はこの不等式から直ちに従う（$C^1$ 級なら差分商は $\nabla u(x_0)\cdot\mu$ に収束し、$\mu=\nu$ とすればよい）。$\square$

$\overline B$ は $\partial\Omega$ の $x_0$ 以外の点を含むかもしれないので、$u$ は $\overline B$ の上で連続とは限らない。そこで $y':=(y+x_0)/2$、$B':=B(y',R/2)$ とおく。$x\in\overline{B'}$ なら
$$ |x-y|\le|x-y'|+|y'-y|\le\frac R2+\frac R2=R $$
であり、等号は $|x-y'|=R/2$ かつ $x-y'$ が $y'-y$ と同じ向きのとき、すなわち $x=y'+(y'-y)=x_0$ のときに限る。よって $\overline{B'}\subset B\cup\{x_0\}\subset\Omega\cup\{x_0\}$ であり、$u\in C^2(B')\cap C(\overline{B'})$ である。$B'\subset B$ なので $L$ は $B'$ の上で一様楕円型で係数が有界であり、$B'$ の上で $u< u(x_0)$ である。$x_0\in\partial B'$ で、$B'$ の外向き単位法線は $(x_0-y')/(R/2)=(x_0-y)/R=\nu$ である。thm-hl-ball を $B'$ に当てはめればよい。$\square$

$K:=\max_{|x'|\le\rho}\|D^2g(x')\|$（作用素ノルム）とおく。Taylorの定理 により、$|x'|<\rho$ で $g(x')\le\frac K2|x'|^2$ である（$g(0)=0$、$\nabla g(0)=0$）。$s>0$ を $2s<\rho$ かつ $Ks\le1$ となるようにとり、$B:=B(se_n,s)$ とおく。$x\in B$ なら $|x'|^2+(x_n-s)^2< s^2$ なので、$|x'|< s<\rho$、$0< x_n<2s<\rho$ であり $x\in Q$ である。さらに
$$ x_n>s-\sqrt{s^2-|x'|^2}=\frac{|x'|^2}{s+\sqrt{s^2-|x'|^2}}\ge\frac{|x'|^2}{2s}\ge\frac K2|x'|^2\ge g(x') $$
だから $x\in\Omega\cap Q$ である。よって $B\subset\Omega$ であり、$0\in\partial B$、外向き単位法線は $(0-se_n)/s=-e_n$ である。$\square$

$u$ が定数でないと仮定して矛盾を導く。$\overline\Omega$ はコンパクトなので、$u$ は $\overline\Omega$ のある点で最大値 $M$ をとる。もし $\Omega$ の点で $M$ をとれば、最大値原理(楕円型偏微分方程式) の定理「強最大値原理」（$c\equiv0$ の場合）により $u$ は $\Omega$ で定数になり、仮定に反する。よって $\Omega$ の上で $u< M$ であり、ある $x_0\in\partial\Omega$ で $u(x_0)=M$ である。
prop-hl-c2 により $\Omega$ は $x_0$ で内部球の条件をみたし、その球の外向き単位法線は $\nu(x_0)$ である。cor-hl-domain（仮定 1）を $\mu=\nu(x_0)$ で使うと
$$ \liminf_{t\downarrow0}\frac{u(x_0)-u(x_0-t\nu(x_0))}{t}>0 $$
である。一方、$0<\tau\le t$ について $x_0-\tau\nu(x_0)\in\Omega$（$t$ が小さいとき）であり、1 変数の平均値の定理と $\nabla u$ の $\overline\Omega$ 上での連続性から、左辺の差分商は $\nabla u(x_0)\cdot\nu(x_0)=0$ に収束する。これは矛盾である。
後半は、2 つの解の差に前半を当てはめればよい。$\square$