Zariski位相

1：どの素イデアルも $0$ を含む。素イデアルは $A$ と異なるので $A$ を含まない。
2：素イデアル $\mathfrak{p}$ がすべての $I_\lambda$ を含むことは、$I_\lambda$ たちの和 $\sum_\lambda I_\lambda$（$I_\lambda$ たちを含む最小のイデアル）を含むことと同値である。
3：$IJ\subset I\cap J\subset I$ かつ $I\cap J\subset J$ なので、$V(I)\cup V(J)\subset V(I\cap J)\subset V(IJ)$ である。逆に $\mathfrak{p}\in V(IJ)$ とし、$\mathfrak{p}\notin V(I)$ と仮定する。$a\in I\setminus\mathfrak{p}$ をとると、任意の $b\in J$ について $ab\in IJ\subset\mathfrak{p}$ で $a\notin\mathfrak{p}$ なので、$\mathfrak{p}$ が素であることから $b\in\mathfrak{p}$ である。よって $J\subset\mathfrak{p}$、すなわち $\mathfrak{p}\in V(J)$ である。ゆえに $V(IJ)\subset V(I)\cup V(J)$ であり、3 つの集合は一致する。
最後の主張：1 は $X$ と $\emptyset$ が閉集合であること、2 は任意個の共通部分で閉じていること、3 は（帰納法により）有限個の和集合で閉じていることを示す。$\square$

1：$J\subset\sqrt{I}$ とし、$\mathfrak{p}\in V(I)$ とする。$b\in J$ なら $b^n\in I\subset\mathfrak{p}$ となる $n$ があり、$\mathfrak{p}$ が素なので $b\in\mathfrak{p}$ である。よって $\mathfrak{p}\in V(J)$ である。逆に $V(I)\subset V(J)$ なら、$I$ を含むすべての素イデアルが $J$ を含むので、上の等式により $J\subset\bigcap_{\mathfrak{p}\in V(I)}\mathfrak{p}=\sqrt{I}$ である。$I\subset\sqrt{I}$ と $\sqrt{I}\subset\sqrt{I}$ に 1 を使えば $V(I)=V(\sqrt{I})$ である。
2：$J:=\bigcap_{\mathfrak{p}\in Y}\mathfrak{p}$ とおくと、$Y$ のどの点も $J$ を含むので $Y\subset V(J)$ である。$V(I)$ を $Y$ を含む任意の閉集合とすると、$Y$ の各点 $\mathfrak{p}$ は $I$ を含むので $I\subset J$、よって $V(J)\subset V(I)$ である。したがって $V(J)$ は $Y$ を含む最小の閉集合、すなわち $\overline{Y}$ である。
3：閉集合は $V(I)=V(\sqrt{I})$ と書けるので、根基イデアルに限っても全射である。$I,J$ が根基イデアルで $V(I)=V(J)$ なら、1 により $J\subset\sqrt{I}=I$ かつ $I\subset\sqrt{J}=J$ なので $I=J$ であり、単射である。包含の逆転は 1 による。逆写像の式は、$I$ が根基イデアルなら $\bigcap_{\mathfrak{p}\in V(I)}\mathfrak{p}=\sqrt{I}=I$ であることから従う。$\square$

1：$fg\notin\mathfrak{p}$ ⟺（$f\notin\mathfrak{p}$ かつ $g\notin\mathfrak{p}$）は、素イデアルの定義とその対偶（$f\in\mathfrak{p}$ なら $fg\in\mathfrak{p}$）である。$1$ はどの素イデアルにも属さず、$0$ はすべてに属する。
2：$D(f)=\emptyset$ ⟺ $V((f))=X=V(0)$ ⟺ $f\in\sqrt{0}$（prop-zariski-topology-radical の 1）⟺ $f$ は冪零である。$D(f)=X$ ⟺ $V((f))=\emptyset$ ⟺ $(f)=A$（$(f)\neq A$ なら $V((f))\neq\emptyset$ を上で見た）⟺ $f$ は単元である。
3：各 $D(f)$ は閉集合 $V((f))$ の補集合なので開集合である。開集合 $U=X\setminus V(I)$ と $\mathfrak{p}\in U$ をとる。$I\not\subset\mathfrak{p}$ なので $f\in I\setminus\mathfrak{p}$ がとれ、$\mathfrak{p}\in D(f)$ である。$\mathfrak{q}\in D(f)$ なら $f\in I$、$f\notin\mathfrak{q}$ より $I\not\subset\mathfrak{q}$、すなわち $\mathfrak{q}\in U$ なので、$D(f)\subset U$ である。よって任意の開集合は基本開集合の和集合であり、1 により基本開集合は有限個の共通部分で閉じているから、$\{D(f)\}$ は開基である。$\square$

1：prop-zariski-topology-radical の 2 を $Y=\{\mathfrak{p}\}$ に適用すればよい。
2：1 により、$\{\mathfrak{p}\}$ が閉 ⟺ $V(\mathfrak{p})=\{\mathfrak{p}\}$ ⟺ $\mathfrak{p}$ を含む素イデアルが $\mathfrak{p}$ だけ、である。$\mathfrak{p}$ が極大なら後者は明らかである。逆に $\mathfrak{p}$ を含む素イデアルが $\mathfrak{p}$ だけとする。$\mathfrak{p}\subset\mathfrak{m}\subsetneq A$ となるイデアル $\mathfrak{m}$ に対し、$\mathfrak{m}$ を含む極大イデアル $\mathfrak{n}$ が存在し（可換環 の記事の定理「極大イデアルの存在」を $A/\mathfrak{m}$ に適用する）、極大イデアルは素なので $\mathfrak{n}=\mathfrak{p}$、よって $\mathfrak{m}=\mathfrak{p}$ である。$\mathfrak{p}\neq A$ なので $\mathfrak{p}$ は極大である。
3：$\overline{\{\mathfrak{p}\}}=\overline{\{\mathfrak{q}\}}$ なら 1 により $\mathfrak{p}\subset\mathfrak{q}$ かつ $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$、すなわち $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}$ である。よって $\mathfrak{p}\neq\mathfrak{q}$ なら、たとえば $\mathfrak{q}\notin\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ であり、開集合 $X\setminus\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ は $\mathfrak{q}$ を含み $\mathfrak{p}$ を含まない（逆の場合も同様）。
4：$A\neq0$ なら $A$ は極大イデアルをもち（同じ定理）、それは素イデアルなので $X$ の点であり、2 により閉点である。$\square$

まず、一点集合の閉包 $\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ は既約である。空でなく、$\overline{\{\mathfrak{p}\}}=Z_1\cup Z_2$（閉集合）なら $\mathfrak{p}$ はどちらか、たとえば $Z_1$ に属し、$Z_1$ は $\mathfrak{p}$ を含む閉集合なので $\overline{\{\mathfrak{p}\}}\subset Z_1$ となるからである。
1：$\sqrt{I}=\mathfrak{p}$ が素なら、prop-zariski-topology-radical の 1 と prop-zariski-topology-closed-point の 1 により $V(I)=V(\mathfrak{p})=\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ であり、これは既約である。逆に $V(I)$ が既約とし、$J=\sqrt{I}$ とおく。$V(I)\neq\emptyset$ なので $J\neq A$ である。$ab\in J$ とすると $V(I)=V(J)\subset V(ab)=V(a)\cup V(b)$（prop-zariski-topology-axioms の 3）なので、$V(I)=(V(I)\cap V(a))\cup(V(I)\cap V(b))$ は閉集合の和であり、既約性からたとえば $V(I)\subset V(a)$ である。prop-zariski-topology-radical の 1 により $a\in\sqrt{I}=J$ である。よって $J$ は素イデアルである。
2：$V(\mathfrak{p})$ は既約閉集合である（1 で $I=\mathfrak{p}$、$\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$）。全射性：既約閉集合 $Z=V(I)$ に対し、1 により $\mathfrak{p}:=\sqrt{I}$ は素で $Z=V(\mathfrak{p})$ である。単射性は prop-zariski-topology-closed-point の 3 の証明のとおり、$V(\mathfrak{p})=V(\mathfrak{q})$ から $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}$ が従うことである。生成点について：$\overline{\{\eta\}}=Z=V(\mathfrak{p})$ なら $V(\eta)=V(\mathfrak{p})$ なので $\eta=\mathfrak{p}$ である。
3：$X=V(0)$ に 1 を適用する。整域では $\sqrt{0}=(0)$ は素イデアルであり、$\overline{\{(0)\}}=V((0))=X$ である。$\square$

1：代入 $f\mapsto f(a)$ は全射な環準同型 $k[x_1,\dots,x_n]\to k$ であり、その核は $\mathfrak{m}_a$ である。実際、$x_i-a_i$ は核に属し、逆に任意の $f$ は $x_i=(x_i-a_i)+a_i$ と書き換えて展開すれば $f=f(a)+g$、$g\in\mathfrak{m}_a$ と書けるので、$f(a)=0$ なら $f\in\mathfrak{m}_a$ である。環の第 1 同型定理（環準同型）により $k[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak{m}_a\cong k$ は体なので、$\mathfrak{m}_a$ は極大イデアルである。
2：$a\neq b$ なら、$a_i\neq b_i$ となる $i$ について $x_i-a_i\in\mathfrak{m}_a$ は $b$ で $0$ にならないので 1 により $\mathfrak{m}_b$ に属さず、$\mathfrak{m}_a\neq\mathfrak{m}_b$ である。1 により、$\iota(a)\in V(I)$ ⟺ $I\subset\mathfrak{m}_a$ ⟺ すべての $f\in I$ について $f(a)=0$ ⟺ $a\in Z(I)$ である。閉集合 $Z(S)=Z((S))$ はこうして閉集合 $V((S))$ の逆像であり、逆に部分空間 $\iota(k^n)$ の閉集合 $V(I)\cap\iota(k^n)$ は $\iota(Z(I))$ なので、$\iota$ は $k^n$ の閉集合と $\iota(k^n)$ の閉集合を一対一に対応させる。よって $\iota$ は像への同相写像である。
3：1 により $\iota(k^n)$ は閉点からなる（prop-zariski-topology-closed-point の 2）。逆に閉点は極大イデアルなので、thm-zariski-topology-nullstellensatz により $\mathfrak{m}_a$ の形である。$\square$