Brauer群の純性

$U$ を $X$ 上エタールとし、$j:U\setminus Y_U\to U$ を開埋め込みとする。$U$ は正則な $X$ 上エタールなので正則であり、$Y_U$ は $U$ の中で余次元 $d>0$ だから、$U\setminus Y_U$ は $U$ で稠密である。
(1) $\mathcal H^0_Y(\mathbb G_m)(U)$ は、$U\setminus Y_U$ に制限すると $1$ になる $U$ 上の単数の全体である。$U$ は正則なので被約であり、被約なスキームの上では、稠密開集合の上で $1$ に等しい切断は $1$ である。よってこの群は自明である。
(2) 任意のアーベル層 $F$ について、台付きコホモロジーの定義から層の完全列
$$ 0\to\mathcal H^0_Y(F)\to F\to j_*j^*F\to\mathcal H^1_Y(F)\to0 $$
がある（$j_*j^*$ は $U$ ごとに上のように作る）。(1) により $\mathcal H^1_Y(\mathbb G_m)$ は $\mathbb G_m\to j_*\mathbb G_m$ の余核である。$d\geq2$ のとき、$U$ は正則ゆえ正規で、$Y_U$ は余次元 $2$ 以上だから、$U\setminus Y_U$ 上の単数は $U$ 上の単数に一意に延びる（正規ネータースキームについての Hartogs 型の延長。延長は局所的な問題なので、局所ネーターな $U$ でもアフィン開集合ごとに確かめればよい）。よって $\mathbb G_m\to j_*\mathbb G_m$ は同型であり、余核は $0$ である。
(3) $d=1$ とする。$U$ の局所環は正則なので一意分解整域であり（AB59）、$U$ 上の Weil 因子は局所的に主因子である。$U\setminus Y_U$ 上の単数 $g$ に因子 $\operatorname{div}(g)$ を対応させると、$\operatorname{div}(g)$ は $Y_U$ に台をもつ。この対応 $j_*\mathbb G_m\to\mathcal{D}iv_Y$ の核は $U$ 上の単数、すなわち $\mathbb G_m$ の像である。また、$Y_U$ に台をもつ因子 $D$ は、局所的に $D=\operatorname{div}(h)$ と書け、このとき $h$ は $D$ の台の外、とくに $U\setminus Y_U$ 上で単数である。よって対応は層として全射であり、$\mathcal H^1_Y(\mathbb G_m)\cong\mathcal{D}iv_Y$ を得る。

1. 準備の基本事実 2 により、$\mathcal H^i_Y(\mathbb G_m)$ の $\bar y$ での茎は $H^i_{\bar Y}(\bar X,\mathbb G_m)$ である。$\bar X$ は狭義局所なので $H^j(\bar X,\mathbb G_m)=0$（$j\geq1$）。基本事実 1 の長完全列
   $$ H^{i-1}(\bar X,\mathbb G_m)\to H^{i-1}(\bar X\setminus\bar Y,\mathbb G_m)\to H^i_{\bar Y}(\bar X,\mathbb G_m)\to H^i(\bar X,\mathbb G_m) $$
   で、$i\geq2$ なら両端が $0$ なので、中央の同型を得る。
2. 1. を $i=2$ に当てると、茎は $H^1(\bar X\setminus\bar Y,\mathbb G_m)=\operatorname{Pic}(\bar X\setminus\bar Y)$ である。$\bar X$ は正則局所環のスペクトルなので、局所環は一意分解整域であり（AB59）、因子類群 $\operatorname{Cl}(\bar X)$ は $0$ である。開集合の因子類群は全体の因子類群の商なので $\operatorname{Cl}(\bar X\setminus\bar Y)=0$ であり、正則スキームでは $\operatorname{Pic}=\operatorname{Cl}$ だから $\operatorname{Pic}(\bar X\setminus\bar Y)=0$ である。すべての茎が $0$ なので層も $0$ である。
3. 1. により、茎は $H^{i-1}(\bar X\setminus\bar Y,\mathbb G_m)$（$i-1\geq2$）である。$\bar X$ はネーター正則であり、$\bar X\setminus\bar Y$ はその開集合なのでネーター正則である。基本事実 3 によりこの群は捩れ群である。

狭義局所化に帰着する。$\bar y$ を $y\in Y$ の上の幾何的点とすると、$\bar X$ は狭義 Hensel な離散付値環 $A$ のスペクトルで、$\bar Y$ はその閉点、$\bar X\setminus\bar Y=\operatorname{Spec}\tilde K$（$\tilde K$ は $A$ の分数体）である。茎の公式により、示すべきは $\mathrm{Br}'(\tilde K)=0$、あるいはその $\ell$ 準素成分が $0$ であることである。
(1) $A$ の剰余体は $k(y)$ の分離閉包である。$k(y)$ が完全なら分離閉包は代数閉包に等しいので、$A$ は剰余体が代数閉な Hensel 離散付値環になる。このような $A$ の分数体の Brauer 群は $0$ である。原論文 GrBrIII はこれを定理 (1.1) で excellent の仮定のもとに示し、巻末の正誤表で、J.-P. Serre の指摘によりこの仮定が不要であると補っている（引用。該当箇所は未確認）。体では $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ なので、$\mathrm{Br}'(\tilde K)=0$ である。
(2) $\ell$ が剰余標数と異なるとき、剰余体が分離閉な次元 $1$ の狭義局所環の分数体 $\tilde K$ について、$\ell$ コホモロジー次元は $1$ 以下であり、$H^i(\tilde K,\mathbb G_m)(\ell)=0$（$i\geq1$）である（引用。GrBrIII 注意 (1.4)。該当箇所は未確認）。とくに $\mathrm{Br}'(\tilde K)(\ell)=0$ である。

$\bar y$ を $Y$ の幾何的点とし、$\bar X$、$\bar Y$ を茎の公式のとおりにとる。$V:=\bar X\setminus\bar Y$ と置く。$V$ はネーター正則であり、示すべきは $H^2(V,\mathbb G_m)(\ell)=0$ である。
(a) 茎の公式の (2) の証明と同じ理由で $\operatorname{Pic}(V)=0$ である。$\ell$ は $V$ 上で可逆（1 では $\ell\neq\operatorname{char}k$、2 では標数 $0$）なので、Kummer 完全列の極限形から
$$ H^2(V,\mu_{\ell^\infty})\cong H^2(V,\mathbb G_m)(\ell) $$
を得る。
(b) 各 $n$ について、$\bar X$ が狭義局所であることから（準備の基本事実 2）、台付きの長完全列で茎の公式 (1) と同じ議論を $\mu_{\ell^n}$ に当てると
$$ H^2(V,\mu_{\ell^n})\cong H^3_{\bar Y}(\bar X,\mu_{\ell^n})=\mathcal H^3_Y(\mu_{\ell^n})_{\bar y} $$
である。$d\geq2$ なので $3<2d$ であり、半純性によりこれは $0$ である。
(c) $V$ はネーターなので（準コンパクトかつ準分離なので）、エタールコホモロジーはフィルター付き帰納極限と交換し、$H^2(V,\mu_{\ell^\infty})=\varinjlim_n H^2(V,\mu_{\ell^n})=0$ である。(a) とあわせて $H^2(V,\mathbb G_m)(\ell)=0$ を得る。

純性は茎ごとの条件なので、$X$ を $2$ 次元の狭義局所正則スキーム、$Y$ をその閉点 $\{y\}$ としてよい。示すべきは $H^2(X\setminus\{y\},\mathbb G_m)=0$ である。
(a) $X\setminus\{y\}$ は正則で次元 $1$ なので、(A) により $H^2(X\setminus\{y\},\mathbb G_m)=\mathrm{Br}(X\setminus\{y\})$ である。
(b) したがって、$X\setminus\{y\}$ 上の任意の Azumaya 代数 $\mathcal A$ が自明であることを示せばよい。$i:X\setminus\{y\}\to X$ を開埋め込みとすると、(B) により $i_*\mathcal A$ は $X$ 上の Azumaya 代数である。
(c) $X$ は狭義局所なので、(C) により $i_*\mathcal A$ は自明、すなわちある局所自由層 $\mathcal E$ について $i_*\mathcal A\cong\mathcal{E}nd(\mathcal E)$ である。
(d) $i$ は開埋め込みなので $i^*i_*\mathcal A=\mathcal A$ であり、$\mathcal A\cong\mathcal{E}nd(i^*\mathcal E)$ も自明である。

$R$ を $\mathbb C[x,y]$ の原点における狭義局所化（$\mathbb C$ は代数閉なので、原点における局所環の Hensel 化）とし、$\bar X=\operatorname{Spec}R$ と置く。$R$ は $2$ 次元の正則局所環で、$x,y$ はその正則巴系をなす。$\bar Y=V(xy)\subset\bar X$ であり、$\bar X\setminus\bar Y=\operatorname{Spec}R[1/(xy)]$ である。茎の公式により
$$ \mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)_{\bar 0}\cong\mathrm{Br}'(R[1/(xy)]) $$
なので、右辺の $2$ 準素成分が $0$ でないことを示せばよい。
(a) $R[1/(xy)]$ では $2$、$x$、$y$ が単数なので、四元数代数 $(x,y)_2$ はその上の Azumaya 代数であり、その類 $\alpha$ は $\mathrm{Br}'(R[1/(xy)])$ の中で $2$ 倍すると $0$ になる。
(b) $K$ を $R$ の分数体とし、$\alpha$ の $\mathrm{Br}(K)$ への像 $\alpha_K$ が $0$ でないことを示す。準同型の像が $0$ でなければもとの元も $0$ でないので、これで $\alpha\neq0$ が従う。
(c) $R/(x)$ は $1$ 次元の正則局所環、すなわち離散付値環であり、その素元は $y$ の像 $\bar y$ である。$\kappa$ を $R/(x)$ の分数体とする（標数 $0$ なので完全）。$(x)$ は $R[1/y]$ の高さ $1$ の素イデアルであり、局所環 $A:=R[1/y]_{(x)}$ は、素元 $x$、剰余体 $\kappa$ の離散付値環で、分数体は $K$ である。$y$ は $A$ の単数なので、(E) により
$$ \partial(\alpha_K)=\partial((y,x)_2)=[\bar y]\in\kappa^\times/(\kappa^\times)^2 $$
である。$\bar y$ は離散付値環 $R/(x)$ の素元で、その付値は $1$（奇数）だから、$\bar y$ は $\kappa$ の平方でない。よって $\partial(\alpha_K)\neq0$ であり、$\alpha_K\neq0$ である。
(d) 以上により $\mathrm{Br}'(R[1/(xy)])(2)\neq0$、すなわち $\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)$ の原点での茎の $2$ 準素成分は $0$ でない。

(a) $d\geq2$ なので、低い次数の計算により $\mathcal H^0_Y(\mathbb G_m)=\mathcal H^1_Y(\mathbb G_m)=\mathcal H^2_Y(\mathbb G_m)=0$ であり、仮定により $\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)(\ell)=0$ である。
(b) 局所から大域へのスペクトル系列 $E_2^{p,q}=H^p(Y,\mathcal H^q_Y(\mathbb G_m))$ では、$q\leq2$ の行はすべて $0$ である。したがって全次数 $2$ 以下の項はすべて $0$ で、$H^i_Y(X,\mathbb G_m)=0$（$i\leq2$）となる。全次数 $3$ で残りうる項は $E_2^{0,3}=H^0(Y,\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m))$ だけであり、それに出入りする微分は $0$ の行とつながるので、$H^3_Y(X,\mathbb G_m)\cong E_2^{0,3}$ である。準備の注意（$F(\ell)=0$ なら $H^0(-,F)(\ell)=0$）により、$H^3_Y(X,\mathbb G_m)(\ell)=0$ である。この段は $Y$ の準コンパクト性を使わない。
(c) 台付きの長完全列
$$ H^2_Y(X,\mathbb G_m)\to H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(X\setminus Y,\mathbb G_m)\to H^3_Y(X,\mathbb G_m)\to H^3(X,\mathbb G_m)\to H^3(X\setminus Y,\mathbb G_m) $$
の $\ell$ 準素成分をとりたい。そのために各項が捩れ群であることを確かめる。$H^2_Y(X,\mathbb G_m)=0$ である。$X$ と、その開集合 $X\setminus Y$ はどちらもネーター正則なので、準備の基本事実 3 により $H^2$ と $H^3$ の項は捩れ群である。$H^3_Y(X,\mathbb G_m)$ は、捩れ群の商と捩れ群の部分群の拡大なので捩れ群である。よって $\ell$ 準素成分をとっても完全列のままであり、(b) により $H^2_Y$ と $H^3_Y$ の $\ell$ 準素成分が $0$ だから、主張が従う。