小平曲面

1．def-ks-gamma の式から $g_{a,b}(z,w)=(z,w)$ なら $a=0$、続いて $b=0$ なので、作用は自由である。固有性を 商多様体 の補題「固有性の言い換え」の 2 で確かめる。コンパクト集合 $K\subset\mathbb{C}^2$ は半径 $R$ の球に入るとする。$(z,w)\in K$ かつ $g_{a,b}(z,w)\in K$ なら $|a|=|(z+a)-z|\le2R$ で、そのような $a\in\Lambda$ は有限個である。各 $a$ について $|b|=|(w+\bar az+b)-w-\bar az|\le2R+|a|R$ なので $b$ も有限個である。よって $\{g\in\Gamma\mid gK\cap K\ne\emptyset\}$ は有限で、作用は固有である。商多様体 の系「離散群の商と被覆写像」と注意「複素多様体・代数多様体の場合」により、$X$ は複素多様体で、$\mathbb{C}^2\to X$ は正則な被覆写像である。$\mathbb{C}^2$ は単連結なので、被覆変換 の系「普遍被覆の被覆変換群」と命題「被覆空間作用による商は正則被覆」により $\pi_1(X)\cong\Gamma$ である。コンパクト性：$\mathbb{C}^2$ の任意の点は、$g_{a,0}$ で $z$ を正方形 $Q:=\{s+ti\mid0\le s,t\le1\}$ に移し、次に $g_{0,b}$ で $w$ を $Q$ に移せるので、コンパクト集合 $Q\times Q$ の像が $X$ 全体である。

2．$g_{a,b}$ は第 1 成分を $\Lambda$ の元だけずらすので、$z$ の $E$ での類は $\Gamma$ の作用で変わらず、正則写像 $f\colon X\to E$ が誘導される。$z_0\in\mathbb{C}$ を中心とする半径 $\frac14$ の開円板 $D$ をとると、$D\to E$ は単射で、$a\ne0$ なら $(D+a)\cap D=\emptyset$ である。したがって $D\times\mathbb{C}$ の点どうしを移しあう $\Gamma$ の元は $g_{0,b}$（$b\in\Lambda$）だけで、$f^{-1}(D)\cong(D\times\mathbb{C})/\{g_{0,b}\}=D\times(\mathbb{C}/\Lambda)=D\times F$ と双正則に自明化される。

3．$X$ は連結なので、Hurewicz の定理（Hurewiczの定理）と普遍係数定理により $H^1(X;\mathbb{R})\cong\operatorname{Hom}(H_1(X;\mathbb{Z}),\mathbb{R})\cong\operatorname{Hom}(\Gamma,\mathbb{R})$ である。$\varphi\colon\Gamma\to\mathbb{R}$ を準同型とする。$b\mapsto\varphi(g_{0,b})$ は加法的で、交換子 $g_{0,2i}$ で $0$ になるので $\varphi(g_{0,i})=0$ であり、$\mu:=\varphi(g_{0,1})$ とおくと $\varphi(g_{0,b})=\mu\operatorname{Re}b$ である。$g_{a,0}g_{a',0}=g_{0,\bar aa'}\,g_{a+a',0}$（lem-ks-group の 1）から、$\psi(a):=\varphi(g_{a,0})+\frac{\mu}{2}|a|^2$ は $\psi(a)+\psi(a')=\psi(a+a')$ をみたす（$|a+a'|^2=|a|^2+|a'|^2+2\operatorname{Re}(\bar aa')$ を使う）。$g_{a,b}=g_{0,b}\,g_{a,0}$ なので $\varphi(g_{a,b})=\psi(a)+\mu\bigl(\operatorname{Re}b-\tfrac12|a|^2\bigr)$ である。逆に、加法的な $\psi\colon\Lambda\to\mathbb{R}$ と $\mu\in\mathbb{R}$ からこの式で定めた $\varphi$ は、lem-ks-group の 1 の積の公式に代入すると $\operatorname{Re}(\bar aa')$ の項が打ち消し合うので準同型である。よって $\operatorname{Hom}(\Gamma,\mathbb{R})\cong\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{R})\times\mathbb{R}\cong\mathbb{R}^3$ で、$b_1(X)=3$ である。$\square$

1．$g_{a,b}^*(dz\wedge dw)=dz\wedge(dw+\bar a\,dz)=dz\wedge dw$ なので、$dz\wedge dw$ は $X$ の正則 2 形式 $s$ を定め、至るところ $0$ でない。よって $s$ は $K_X$ を自明化する。$K_X^{\otimes m}$ の切断は $h\,s^{\otimes m}$（$h$ は $X$ の正則関数）と書け、$X$ はコンパクトで連結なので $h$ は定数である（最大値原理）。よって $P_m(X)=1$ で、$P_m$ は有界かつ $0$ でないから $\kappa(X)=0$ である。

2．$\omega$ を $X$ の正則 1 形式とし、$\mathbb{C}^2$ に引き戻して $\omega=f\,dz+h\,dw$（$f,h$ は整関数）と書く。$\partial/\partial w$ は $\Gamma$ 不変なので $h=\omega(\partial/\partial w)$ は $X$ の正則関数で、定数 $c$ である。$g^*\omega=\omega$（$g=g_{a,b}$）の $dz$ の係数を比べると、すべての $a,b\in\Lambda$ について $f(z+a,\,w+\bar az+b)+c\,\bar a=f(z,w)$ である。$w$ で微分すると $\partial f/\partial w$ は $\Gamma$ 不変な正則関数なので定数 $d$ であり、$f=dw+\phi(z)$（$\phi$ は整関数）と書ける。上の式に代入すると $d(\bar az+b)+\phi(z+a)-\phi(z)=-c\bar a$ である。$a=0$、$b=1$ とすると $d=0$ である。すると $\phi(z+a)-\phi(z)=-c\bar a$ が $z$ によらないので、$\phi'$ は $\Lambda$ を周期にもつ整関数で、有界だから Liouville の定理により定数 $\ell$ である。$\phi(z)=\ell z+\phi(0)$ を代入すると $\ell a=-c\bar a$ がすべての $a\in\Lambda$ で成り立ち、$a=1$ で $\ell=-c$、$a=i$ で $\ell i=ci$ となるので $c=\ell=0$ である。よって $\omega=\phi(0)\,dz$ である。逆に $dz$ は不変なので、$H^0(X,\Omega^1_X)=\mathbb{C}\,dz$ である。

3．任意のコンパクト複素曲面について $b_1=h^{1,0}+h^{0,1}$ が成り立つ（BHPV04 IV, Theorem (2.7) (i), p. 139。この記事では証明しない）。thm-ks-example の 3 と 2 から $h^{0,1}=3-1=2$ であり、Dolbeault の同型により $q=h^1(\mathcal{O}_X)=h^{0,1}=2$ である。$\square$

1．$\sigma^{-1}(z,w)=(-z,w-\frac i2)$ なので、$\sigma g_{a,b}\sigma^{-1}(z,w)=\sigma(-z+a,\,w-\frac i2-\bar az+b)=(z-a,\,w-\bar az+b)=g_{-a,b}(z,w)$ である。$\sigma^2(z,w)=(z,w+i)=g_{0,i}(z,w)$ である。よって $\Gamma'$ は合成で閉じ、$\sigma\Gamma=\Gamma\sigma$ なので $\Gamma$ は指数 $2$ の正規部分群である（$\sigma\notin\Gamma$ は $\sigma$ の $z$ 成分が $-z$ であることからわかる）。

2．$\Gamma$ の元の作用が自由なことは thm-ks-example で示した。$\sigma g_{a,b}(z,w)=(-z-a,\,w+\bar az+b+\frac i2)$ が固定点をもつなら $z=-\frac a2$ かつ $\bar az+b+\frac i2=0$、すなわち $b=\frac12|a|^2-\frac i2$ であるが、$\operatorname{Im}b=-\frac12$ は整数でないので $b\in\Lambda$ に反する。よって作用は自由である。コンパクト集合 $K$ について $\sigma g K\cap K\ne\emptyset$ なら $gK\cap\sigma^{-1}K\ne\emptyset$ なので、$g$ はコンパクト集合 $K\cup\sigma^{-1}K$ について thm-ks-example の証明の有限集合に入る。よって作用は固有である。$Y$ が複素多様体で $\mathbb{C}^2\to Y$ が被覆写像であることは thm-ks-example の 1 と同じ議論による。$\sigma$ は $X$ の上に固定点のない対合 $\bar\sigma$ を誘導し、$Y=X/\langle\bar\sigma\rangle$ なので、$X\to Y$ は不分岐な 2 重被覆である（被覆変換 の命題「有限群の自由な作用」）。

3．$\pi_1(Y)\cong\Gamma'$ である。準同型 $\varphi\colon\Gamma'\to\mathbb{R}$ の $\Gamma$ への制限は $\varphi(g_{-a,b})=\varphi(\sigma g_{a,b}\sigma^{-1})=\varphi(g_{a,b})$ をみたすので、thm-ks-example の証明の式で $\psi(-a)=\psi(a)$、すなわち $\psi=0$ である。また $2\varphi(\sigma)=\varphi(g_{0,i})=\mu\operatorname{Re}i=0$ なので $\varphi(\sigma)=0$ で、$\varphi$ は $\mu$ だけで決まる。逆に $\varphi_0(g_{a,b}):=\operatorname{Re}b-\frac12|a|^2$ は $\Gamma$ の準同型で（$\psi=0$、$\mu=1$ の場合）、$\varphi_0(g_{-a,b})=\varphi_0(g_{a,b})$、$\varphi_0(g_{0,i})=0$ をみたす。$g_{0,i}$ は中心的なので $\sigma^{-1}g_{a,b}\sigma=\sigma^{-2}(\sigma g_{a,b}\sigma^{-1})\sigma^2=g_{-a,b}$ でもある。$\varepsilon,\delta\in\{0,1\}$ と $g,g'\in\Gamma$ について $\varphi_0(\sigma^\varepsilon g):=\varphi_0(g)$ と定めると、$(\sigma^\varepsilon g)(\sigma^\delta g')=\sigma^{\varepsilon+\delta}(\sigma^{-\delta}g\sigma^{\delta})g'$ で、$\varepsilon+\delta=2$ のときは $\sigma^2=g_{0,i}$ を $\Gamma$ の側に入れると、どの場合も積の値は $\varphi_0(g)+\varphi_0(g')$ になる。よって $\varphi_0$ は $\Gamma'$ の準同型である。よって $\operatorname{Hom}(\Gamma',\mathbb{R})\cong\mathbb{R}$ で、$b_1(Y)=1$ である。2 重被覆なので $e(Y)=\frac12e(X)=0$ で、$0=1-1+b_2(Y)-1+1$ から $b_2(Y)=0$ である。$b_1(Y)\ne3$ なので $Y$ は 1 次小平曲面でなく、1 次小平曲面 $X$ からの不分岐な有限被覆をもつので 2 次小平曲面である。

4．$Y$ の上の正則形式は、$X$ の上の $\bar\sigma$ で不変な正則形式と同じである。prop-ks-forms により $H^0(X,K_X^{\otimes m})=\mathbb{C}(dz\wedge dw)^{\otimes m}$ で、$\sigma^*(dz\wedge dw)=(-dz)\wedge dw=-dz\wedge dw$ なので、$\sigma^*$ はこの空間に $(-1)^m$ で働く。よって $P_m(Y)$ は $m$ が偶数なら $1$、奇数なら $0$ である。$(dz\wedge dw)^{\otimes2}$ は至るところ $0$ でない $K_Y^{\otimes2}$ の切断なので $K_Y^{\otimes2}\cong\mathcal{O}_Y$ であり、$p_g(Y)=0$ なので $K_Y\not\cong\mathcal{O}_Y$ である。$P_m$ は有界で $0$ でないものがあるので $\kappa(Y)=0$ である。また $H^0(X,\Omega^1_X)=\mathbb{C}\,dz$ で $\sigma^*dz=-dz$ なので $h^{1,0}(Y)=0$ である。$\square$