終対象(豊穣圏)
概要
終対象(豊穣圏)（enriched terminal object）とは、任意の対象からそこへのHom対象が基礎圏の終対象になる対象である。台の圏で射が一つしかなくても、豊穣構造に自己変換が残ればこの条件は満たされない。集合による豊穣化では通常の終対象に一致する。
定義
終対象への射を一つにする通常の条件は、豊穣化するとHom対象全体の普遍性になる。特に、射だけでなく射の間の構造も残さない条件である。
基礎を局所小で完備・余完備な対称モノイダル閉圏 $(\mathcal V,\otimes,I)$ とする。これらは一括した十分条件で、終対象だけを定義する最小条件ではない。内部Homは
$$
\mathcal V(T\otimes U,V)\cong\mathcal V(T,[U,V])
$$
を自然に満たす。$\mathbf1_{\mathcal V}$ は基礎圏の終対象であり、テンソル単位 $I$ と区別する。
$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal C$ は対象、Hom対象 $\mathcal C(x,y)$、結合的な合成
$$
\mathcal C(y,z)\otimes\mathcal C(x,y)\to\mathcal C(x,z)
$$
と単位 $I\to\mathcal C(x,x)$ を持つ。台の通常圏 $\mathcal C_0$ の射集合は
$$
\mathcal C_0(x,y)=\mathcal V(I,\mathcal C(x,y))
$$
である。
終対象(豊穣圏)（enriched terminal object）は、すべての $x\in\mathcal C$ に対して
$$
\mathcal C(x,1)\cong\mathbf1_{\mathcal V}
$$
となる対象 $1$ である。同型は $\mathcal V$ 内の同型である。すなわち任意の $T\in\mathcal V$ から $\mathcal C(x,1)$ への射がただ一つ存在する。
終対象への射の一意性により、これらの同型は合成と整合する。この定義は空の通常図式の豊穣極限（極限(豊穣圏)）であり、Kel82 §3.8、式(3.51)の空図式への特殊化である。
直感
「終対象への射は一つ」とは、豊穣化の前には集合についての条件だった。豊穣化後は、射の加法、順序、変換なども含んだ対象が終対象になることを要求する。アーベル群の圏 $\mathcal V=\mathbf{Ab}$ なら一点集合に当たるものは零群であって、テンソル単位 $\mathbb Z$ ではない。
例と反例
$\mathcal V=\mathbf{Set}$、テンソルを直積とすると $\mathbf1_{\mathcal V}=\{*\}$ である。条件 $\mathcal C(x,1)\cong\{*\}$ は、通常圏で任意の対象からの射が一意という条件と一致する。集合の圏では任意の一点集合が終対象である。
$\mathcal V=\mathbf{Cat}$、テンソルを直積とする。$M=\mathbb Z/2\mathbb Z$ を加法群とし、一対象で自己射群が $M$ である圏を $BM$ と書く。一対象 $c$ の豊穣圏 $\mathcal D$ を
$$
\mathcal D(c,c)=BM
$$
で定め、豊穣合成は $BM\times BM\to BM$、射上で $(r,s)\mapsto r+s$ とする。$M$ の可換性からこの写像は合成を保ち、加法の結合律と零元が豊穣圏の公理を与える。
通常の射は $BM$ の対象なので一つだけであり、$c$ は $\mathcal D_0$ の終対象である。しかし $BM$ には非恒等自己射があるため、終圏と同型ではない。よって $c$ は豊穣終対象ではない。唯一の通常射があっても、その自己変換まで唯一とは限らない。
$\mathbf{Pos}$-豊穣では、台の終対象と豊穣終対象は一致する。Hom順序集合の元が一つなら、それは一点順序集合だからである。豊穣化による違いがすべての基礎圏・すべての形の極限で起こるわけではない。
性質と証明
豊穣終対象は台の通常圏の終対象である。
$\mathcal C(x,1)\cong\mathbf1_{\mathcal V}$ に $\mathcal V(I,-)$ を適用する。得られる
$$
\mathcal C_0(x,1)\cong\mathcal V(I,\mathbf1_{\mathcal V})
$$
の右辺は終対象の性質により一点集合である。したがって任意の $x$ から $1$ への通常の射が一意である。
二つの豊穣終対象 $1,1'$ の間には、台の圏で一意な同型がある。
通常の終対象性から $f:1\to1'$ と $g:1'\to1$ が一意に存在する。$1\to1$ の射が一つなので $g\circ f=\operatorname{id}_1$、同様に $f\circ g=\operatorname{id}_{1'}$ となる。他の同型も同じ射でなければならない。
$\mathcal V$ の通常の終対象 $\mathbf1_{\mathcal V}$ は、内部Homによる自己豊穣圏の豊穣終対象である。
任意の $T,X$ に対して
$$
\mathcal V(T,[X,\mathbf1_{\mathcal V}])
\cong\mathcal V(T\otimes X,\mathbf1_{\mathcal V})
$$
は一点集合である。したがって $[X,\mathbf1_{\mathcal V}]$ は $\mathcal V$ の終対象である。全 $T$ を用いたので、単位からの元だけでは見えない構造も含めて判定できている。
対称性を使って $\mathcal C^{\mathrm{op}}(x,y)=\mathcal C(y,x)$ と合成を定めれば、$\mathcal C$ の豊穣終対象は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の豊穣始対象になる。存在は一般には保証されない。たとえば二つ以上の元を持つ集合だけの充満部分圏では、任意の対象 $A$ に対し二点集合から $A$ への異なる定値写像があるので終対象はない。
空図式と∞圏への接続
空の通常図式の豊穣極限 $1$ は
$$
\mathcal C(x,1)\cong\lim_{\emptyset}\mathcal C(x,-)
=\mathbf1_{\mathcal V}
$$
で定義され、ちょうど豊穣終対象となる。一般の重み付き極限（重み付き極限(豊穣圏)）まで、空図式や一点集合の類推だけで定義できるわけではない。
単体的集合で豊穣化すると、厳密な豊穣終対象は $\mathcal C(x,1)\cong\Delta^0$ を満たす。全HomがKan複体という局所Kan条件の下で、ホモトピー整合的脈体 $N_{\mathrm{hc}}\mathcal C$ は準圏であり、写像空間（写像空間(∞圏)）を単体的Homで表せる。したがって豊穣終対象は対応する∞圏の終対象（終対象(∞圏)）になる。準圏性・Hom比較・可縮性による終対象判定は HTT09 Proposition 1.1.5.10、§2.2、Proposition 1.2.12.4を引用する。
∞圏では写像空間が可縮であればよく、一点との厳密な同型を要求しない。単体的モデル圏を使う場合はcofibrant–fibrant部分圏のHom、または適切な導来Homを使う。相対圏の単体的局所化から表示を作る場合にも局所Kan置換と比較が必要になり得る。未置換の厳密Homと導来写像空間の区別を保つ。
関連項目
参考文献
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