双対写像(Banach空間)

1：右辺を $B(x)$ とすると $F(x)\subset B(x)$ は明らかである。$x=0$ なら $B(0)=\{0\}=F(0)$ である。$x\ne0$、$f\in B(x)$ なら $\|x\|^2=\langle f,x\rangle\le\|f\|\,\|x\|$ から $\|f\|\ge\|x\|$ なので $\|f\|=\|x\|$ である。
2：$x=0$ なら $F(0)=\{0\}$ である。$x\ne0$ なら、連続双対空間 の定理「点でノルムを実現する汎関数」により $\|f_0\|=1$、$\langle f_0,x\rangle=\|x\|$ となる $f_0$ があり、$\|x\|f_0\in F(x)$ である。1 の表示で、$\{f:\|f\|\le\|x\|\}=\bigcap_{\|y\|\le1}\{f:\langle f,y\rangle\le\|x\|\}$ と $\{f:\langle f,x\rangle=\|x\|^2\}$ はどちらも、$f\mapsto\langle f,y\rangle$ の形の弱スター連続な（したがってノルム連続な）関数で定まる閉じた凸集合の共通部分である。
3：$f\in F(x)$ なら $\|\lambda f\|=|\lambda|\|x\|=\|\lambda x\|$、$\langle\lambda f,\lambda x\rangle=\lambda^2\|x\|^2=\|\lambda x\|^2$ なので $\lambda f\in F(\lambda x)$ である。$\lambda$ を $\lambda^{-1}$、$x$ を $\lambda x$ に替えれば逆の包含を得る。
4：$f\in F(x)$ とする。$\langle f,y\rangle\le\|x\|\,\|y\|$ と $\langle f,x\rangle=\|x\|^2$ から
$$ \tfrac12\|y\|^2-\tfrac12\|x\|^2-\langle f,y-x\rangle\ge\tfrac12\|y\|^2+\tfrac12\|x\|^2-\|x\|\,\|y\|=\tfrac12(\|y\|-\|x\|)^2\ge0 $$
である。逆に不等式を仮定する。$z\in X$、$t>0$ について $y=x+tz$ とおくと、三角不等式から
$$ t\langle f,z\rangle\le\tfrac12\bigl(\|x+tz\|^2-\|x\|^2\bigr)\le t\|x\|\,\|z\|+\tfrac12t^2\|z\|^2 $$
であり、$t$ で割って $t\downarrow0$ とすると $\langle f,z\rangle\le\|x\|\,\|z\|$ を得る。$z$ を $-z$ に替えて $\|f\|\le\|x\|$ である。次に $0< s< 1$ について $y=(1-s)x$ とおくと $\frac12\bigl((1-s)^2-1\bigr)\|x\|^2\ge-s\langle f,x\rangle$、すなわち $\langle f,x\rangle\ge(1-\frac s2)\|x\|^2$ であり、$s\downarrow0$ として $\langle f,x\rangle\ge\|x\|^2$ を得る。$\langle f,x\rangle\le\|f\|\,\|x\|\le\|x\|^2$ と合わせて等号であり、1 から $f\in F(x)$ である。$\square$

$\langle f,y\rangle\le\|f\|\,\|y\|=\|x\|\,\|y\|$、$\langle g,x\rangle\le\|x\|\,\|y\|$ から
$$ \langle f-g,x-y\rangle=\|x\|^2+\|y\|^2-\langle f,y\rangle-\langle g,x\rangle\ge\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\,\|y\|=(\|x\|-\|y\|)^2 $$
である。$\square$

1：$x=0$ なら $F(0)=\{0\}$ である。$r=\|x\|>0$ とし、$f\ne g$ がともに $F(x)$ に属するとする。$f/r$ と $g/r$ は $X^*$ の異なる単位ベクトルなので、狭義凸性から $\|(f+g)/2\|< r$ である。一方 $\langle(f+g)/2,x\rangle=r^2$ なので $r^2\le\|(f+g)/2\|\,r$、すなわち $\|(f+g)/2\|\ge r$ となり矛盾する。$F(x)$ は空でないので（thm-dm-basic の 2）1 点からなる。
2：$f=F(x)$、$g=F(y)$ とおく。thm-dm-monotone から $\|x\|=\|y\|=:r$ である。$r=0$ なら $x=y=0$ である。$r>0$ なら $0=2r^2-\langle f,y\rangle-\langle g,x\rangle$ で、$\langle f,y\rangle\le r^2$、$\langle g,x\rangle\le r^2$ なので、$\langle f,y\rangle=\langle g,x\rangle=r^2$ である。よって $f\in F(y)$ であり、1 の一意性から $f=g$ である。
3：$f\in F(x)\cap F(y)$ なら $\|x\|=\|y\|=\|f\|=:r$ である。$r=0$ なら $x=y=0$ である。$r>0$ なら $x/r$、$y/r$ はともに $S_X$ の点で、$f$ の値はどちらも $r=\|f\|$ である。狭義凸ノルム の命題「ノルムを達成する点の一意性」から $x/r=y/r$ である。
4：$f=0$ なら $f\in F(0)$ である。$f\ne0$ なら、反射的Banach空間 の命題「反射的なら汎関数はノルムを達成する」により $\|x_0\|\le1$、$|\langle f,x_0\rangle|=\|f\|$ となる $x_0$ がある。必要なら $x_0$ を $-x_0$ に替えて $\langle f,x_0\rangle=\|f\|$ とし、$x=\|f\|x_0$ とおく。$\|x\|\le\|f\|$ と $\langle f,x\rangle=\|f\|^2$ から $\|f\|^2\le\|f\|\,\|x\|$ なので $\|x\|=\|f\|$ であり、$f\in F(x)$ である。$\square$

thm-dm-strict の 1 により $F$ は写像であり、3 により単射、4 により全射である。残りは thm-dm-basic の 3 と定義による。$\square$

1 ⇒ 2：ex-dm-inner により $F(u)+F(v)$ は $y\mapsto(u,y)+(v,y)=(u+v,y)$ だけからなり、これは $F(u+v)$ の元である。
2 ⇒ 1：$u,v\in X$ と $f\in F(u)$、$g\in F(v)$ をとる（thm-dm-basic の 2 により存在する）。2 から $f+g\in F(u+v)$ である。また thm-dm-basic の 3 から $-g\in F(-v)$ なので、2 を $u$ と $-v$ に使って $f-g\in F(u-v)$ である。よって
$$ \|u+v\|^2+\|u-v\|^2=\langle f+g,u+v\rangle+\langle f-g,u-v\rangle=2\langle f,u\rangle+2\langle g,v\rangle=2\|u\|^2+2\|v\|^2 $$
であり、平行四辺形の等式が成り立つ。Jordan–von Neumannの定理 の定理「Jordan–von Neumannの定理」により、ノルムは内積から来る。$\square$

1・2 は thm-dm-basic の 1 の表示を使い、「双対ノルム $\le r$」と「$\sum_if_ix_i=r^2$」を比べる。