正多角形の頂点までの距離の積

同義語：product of distances to the vertices of a regular polygon

概要

正多角形の頂点までの距離の積（product of distances to the vertices of a regular polygon）とは、原点を中心とする半径 $R$ の円に内接し 1 つの頂点が $R$ にある正 $n$ 角形の頂点 $A_k$ と、複素数 $z$ で表した平面の点 $P$ について、$PA_0\cdot PA_1\cdots PA_{n-1}=\lvert z^n-R^n\rvert$ が成り立つという等式である。$z^n-R^n$ の 1 次式への分解から従う。1 つの頂点から他の $n-1$ 個の頂点までの距離の積は $nR^{n-1}$ で、これは $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}n=\frac n{2^{n-1}}$ の図形の意味である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 等間隔の角の正弦の積, 複素数の掛け算は回転と拡大, 剰余の定理と因数定理

高校での出発点：正方形と正六角形で距離を掛ける

正多角形の頂点から点 $P$ までの距離を全部掛けると、どんな値になるだろうか。小さい例で計算してみる。

正方形の頂点までの距離の積

原点を中心とし、4 つの頂点が $A_0(1,0)$、$A_1(0,1)$、$A_2(-1,0)$、$A_3(0,-1)$ の正方形を考える（外接円の半径は $1$）。
(1) $P$ が中心 $(0,0)$ のとき、4 つの距離はどれも $1$ なので積は $1$ である。
(2) $P=(2,0)$ のとき、距離は $PA_0=1$、$PA_1=PA_3=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$、$PA_2=3$ なので
$$ PA_0\cdot PA_1\cdot PA_2\cdot PA_3=1\cdot\sqrt5\cdot3\cdot\sqrt5=15 $$
である。$15=2^4-1$ になっている。
(3) $P$ が頂点 $A_0$ のとき、$PA_0=0$ なので積は $0$ である。$A_0$ を除いた 3 つの距離は $A_0A_1=\sqrt2$、$A_0A_2=2$、$A_0A_3=\sqrt2$ で、積は $4$ である。

正六角形の頂点までの距離の積

原点を中心とし、外接円の半径が $2$ で、1 つの頂点が $A_0(2,0)$ の正六角形を考える。頂点は $A_k=\Bigl(2\cos\dfrac{k\pi}3,\ 2\sin\dfrac{k\pi}3\Bigr)$（$k=0,1,\ldots,5$）である。$P=(3,0)$ とすると
$$ PA_0=1,\quad PA_1=PA_5=\sqrt{(3-1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt7,\quad PA_2=PA_4=\sqrt{(3+1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{19},\quad PA_3=5 $$
なので、積は $1\cdot7\cdot19\cdot5=665$ である。$665=729-64=3^6-2^6$ になっている。

どちらの例でも、$P$ が頂点の並ぶ直線 $OA_0$ の上にあるとき、積は「$P$ の座標の $n$ 乗」と「半径の $n$ 乗」の差になった。また (3) の $4$ は、等間隔の角の正弦の積 の値 $\sin\dfrac\pi4\sin\dfrac{2\pi}4\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac12$ の $2^3$ 倍である。この記事で答える問いは次の 2 つである。

  1. 平面のどこに $P$ をとっても、距離の積は簡単な式で書けるか。→ thm-pdp-any-point
  2. 1 つの頂点から他の頂点までの距離の積はいくつか。→ thm-pdp-vertex
    図形の量複素数平面の言葉
    正 $n$ 角形の頂点 $A_k$$R\omega^k$（$\omega$ は $1$ の $n$ 乗根）
    距離 $PA_k$$\lvert z-R\omega^k\rvert$
    距離の積$\lvert z^n-R^n\rvert$
    1 つの頂点から他の頂点までの距離の積$z^{n-1}+Rz^{n-2}+\cdots+R^{n-1}$ の $z=R$ での値

設定

この記事を通して、次の設定をとる。

正多角形と点の置き方

$n\ge2$、$R>0$ とする。複素数平面で、原点 $O$ を中心とする半径 $R$ の円に内接し、1 つの頂点が $A_0=R$（実軸の上）にある正 $n$ 角形の頂点を
$$ A_k=R\,\omega^k\qquad(k=0,1,\ldots,n-1),\qquad\omega=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n $$
とする（$n=2$ のときは 2 点 $R$、$-R$ で、正 $n$ 角形は線分になる）。平面の点 $P$ を複素数 $z$ で表し、$z=d(\cos\theta+i\sin\theta)$（$d=\lvert z\rvert\ge0$）と極形式で書く。

$\omega^k$ は単位円を $n$ 等分する点で、それを $R$ 倍した $R\omega^k$ は半径 $R$ の円を $n$ 等分する点である（複素数の掛け算は回転と拡大 の定理「1 の $n$ 乗根」）。2 点 $z$、$w$ の距離は $\lvert z-w\rvert$ なので、$PA_k=\lvert z-R\omega^k\rvert$ である。

主定理 1：平面の点から頂点までの距離の積

頂点までの距離の積

def-pdp-setting の設定で、平面のすべての点 $P$ について
$$ PA_0\cdot PA_1\cdots PA_{n-1}=\lvert z^n-R^n\rvert=\sqrt{d^{2n}-2d^nR^n\cos n\theta+R^{2n}} $$
である。

方針：$z^n-R^n$ を $z-R\omega^k$ の積に分け、絶対値をとる。
段 1（分解）。等間隔の角の正弦の積 の補題「$z^n-1$ の分解」により、すべての複素数 $u$ について $u^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(u-\omega^k)$ である。$u=\dfrac zR$ を代入して両辺に $R^n$ を掛けると、$R^n=R\cdot R\cdots R$（$n$ 個）を各因子に 1 つずつ配って
$$ z^n-R^n=R^n\prod_{k=0}^{n-1}\Bigl(\frac zR-\omega^k\Bigr)=\prod_{k=0}^{n-1}\bigl(z-R\omega^k\bigr) $$
を得る。
段 2（絶対値）。複素数の積の絶対値は絶対値の積なので（複素数の掛け算は回転と拡大）
$$ \lvert z^n-R^n\rvert=\prod_{k=0}^{n-1}\lvert z-R\omega^k\rvert=\prod_{k=0}^{n-1}PA_k $$
である。
段 3（極形式で書く）。ド・モアブルの定理により $z^n=d^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ なので、$z^n-R^n=(d^n\cos n\theta-R^n)+i\,d^n\sin n\theta$ であり、
$$ \lvert z^n-R^n\rvert^2=(d^n\cos n\theta-R^n)^2+d^{2n}\sin^2n\theta=d^{2n}(\cos^2n\theta+\sin^2n\theta)-2d^nR^n\cos n\theta+R^{2n} $$
である。$\cos^2+\sin^2=1$ を使い、正の平方根をとって主張の右辺を得る。$\square$

距離の積の式を例で確かめる
  1. ex-pdp-square (2)：$n=4$、$R=1$、$z=2$ で $\lvert2^4-1\rvert=15$。
  2. ex-pdp-hexagon：$n=6$、$R=2$、$z=3$ で $\lvert3^6-2^6\rvert=665$。
  3. 正七角形（$n=7$、$R=1$）と $P$：$d=0.45$、$\theta=0.9$。右辺は $\sqrt{0.45^{14}-2\cdot0.45^7\cos6.3+1}=0.99626$ である。7 本の線分の長さを座標から計算して掛けても $0.99626$ になる（図 1）。

正七角形の外接円の内側に点 P をとり、P から 7 つの頂点へ線分を引いた図で、7 本の長さの積は |z^7-1| に等しい 正七角形の外接円の内側に点 P をとり、P から 7 つの頂点へ線分を引いた図で、7 本の長さの積は |z^7-1| に等しい
主定理 1 の右辺は $d$ と $n\theta$ だけで決まる。とくに、$P$ を原点のまわりに $\dfrac{2\pi}n$ 回転しても積は変わらない。回転で頂点の並びが 1 つずれるだけだからである。$P$ の位置によって、式はさらに簡単になる。

特別な位置の点

thm-pdp-any-point の設定で、次が成り立つ。
(1) $P$ が中心（$d=0$）なら、積は $R^n$ である。
(2) $P$ が半直線 $OA_0$ の上（$\theta=0$）なら、積は $\lvert d^n-R^n\rvert$ である。$P$ が半直線 $OA_0$ と $OA_1$ の間の角を 2 等分する半直線の上（$\theta=\frac\pi n$）なら、積は $d^n+R^n$ である。
(3) $P$ が外接円の上（$d=R$）なら、積は $2R^n\Bigl\lvert\sin\dfrac{n\theta}2\Bigr\rvert$ である。この値は、$P$ が頂点にあるとき $0$、隣り合う 2 頂点の間の弧の中点にあるとき最大値 $2R^n$ をとる。

  1. $d=0$ を右辺に入れると $\sqrt{R^{2n}}=R^n$。
  2. $\theta=0$ なら $\cos n\theta=1$ で、根号の中は $(d^n-R^n)^2$ なので積は $\lvert d^n-R^n\rvert$。$\theta=\frac\pi n$ なら $\cos n\theta=\cos\pi=-1$ で、根号の中は $(d^n+R^n)^2$ なので積は $d^n+R^n$。
  3. $d=R$ なら、根号の中は $2R^{2n}-2R^{2n}\cos n\theta=2R^{2n}(1-\cos n\theta)$ で、半角の公式 $1-\cos n\theta=2\sin^2\frac{n\theta}2$ により $4R^{2n}\sin^2\frac{n\theta}2$ である。よって積は $2R^n\bigl\lvert\sin\frac{n\theta}2\bigr\rvert$。これが $0$ になるのは $\frac{n\theta}2$ が $\pi$ の整数倍、つまり $\theta=\frac{2k\pi}n$（頂点）のときで、最大値 $2R^n$ になるのは $\frac{n\theta}2=\frac\pi2+k\pi$、つまり $\theta=\frac{(2k+1)\pi}n$（隣り合う頂点 $A_k$、$A_{k+1}$ の間の弧の中点）のときである。$\square$

P が外接円の上を一周するときの積 2|sin(7θ/2)|（R=1、n=7）のグラフで、頂点の位置で 0、隣り合う頂点の間の弧の中点で最大値 2 をとる P が外接円の上を一周するときの積 2|sin(7θ/2)|（R=1、n=7）のグラフで、頂点の位置で 0、隣り合う頂点の間の弧の中点で最大値 2 をとる

$P$ の位置距離の積ex-pdp-square（$n=4$、$R=1$）での値
中心$R^n$$1$
半直線 $OA_0$ の上で中心から $d$$\lvert d^n-R^n\rvert$$d=2$ で $15$
角の 2 等分線の上で中心から $d$$d^n+R^n$$d=1$ で $2$
外接円の上$2R^n\lvert\sin\frac{n\theta}2\rvert$最大 $2$、最小 $0$
頂点$0$$0$

主定理 2：1 つの頂点から他の頂点までの距離の積

$P$ が頂点 $A_0$ にあると積は $0$ になる。$A_0$ 自身への距離 $0$ を除いて、残りの $n-1$ 個の距離を掛けるとどうなるだろうか。

頂点から他の頂点までの距離の積

def-pdp-setting の設定で
$$ A_0A_1\cdot A_0A_2\cdots A_0A_{n-1}=nR^{n-1} $$
である。どの頂点から測っても同じ値になる。

方針：prf-pdp-any-point の段 1 の分解から因子 $z-R$ を取り除き、$z=R$ を代入する。割り算は多項式の等式として行い、極限は使わない。
段 1（2 通りの分解）。$z^n-R^n$ は 2 通りに分解できる。1 つは等比数列の和の形
$$ z^n-R^n=(z-R)\bigl(z^{n-1}+Rz^{n-2}+R^2z^{n-3}+\cdots+R^{n-1}\bigr) $$
で、右辺を展開すると隣り合う項が打ち消し合って $z^n-R^n$ になる。もう 1 つは prf-pdp-any-point の段 1 の
$$ z^n-R^n=(z-R)\,(z-R\omega)(z-R\omega^2)\cdots(z-R\omega^{n-1}) $$
である（$k=0$ の因子 $z-R\omega^0=z-R$ を前に出した）。
段 2（因子を取り除く）。$F(z)=z^{n-1}+Rz^{n-2}+\cdots+R^{n-1}$、$G(z)=(z-R\omega)\cdots(z-R\omega^{n-1})$ とおく。段 1 から、すべての $z$ について $(z-R)F(z)=(z-R)G(z)$、つまり $(z-R)\bigl(F(z)-G(z)\bigr)=0$ である。$z\ne R$ なら $z-R\ne0$ で割れるので $F(z)=G(z)$ である。$F-G$ は $n-1$ 次以下の多項式で、$z\ne R$ の無限に多くの値で $0$ になるので、剰余の定理と因数定理 の定理「根の個数は次数以下」により $F-G=0$ である。よって $z=R$ でも $F(R)=G(R)$ である。
段 3（$z=R$ を代入）。$F(R)=R^{n-1}+R\cdot R^{n-2}+\cdots+R^{n-1}=nR^{n-1}$（$n$ 個の項がどれも $R^{n-1}$）、$G(R)=(R-R\omega)\cdots(R-R\omega^{n-1})$ なので
$$ nR^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\bigl(R-R\omega^k\bigr) $$
である。
段 4（絶対値）。絶対値をとると、$\lvert R-R\omega^k\rvert=A_0A_k$ なので $nR^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}A_0A_k$ である。
段 5（ほかの頂点）。原点のまわりの角 $\dfrac{2j\pi}n$ の回転（$\omega^j$ を掛ける写像）は距離を変えず、$A_0$ を $A_j$ に移し、頂点全体を頂点全体に移す。よって $A_j$ から他の頂点までの距離の積も $nR^{n-1}$ である。$\square$

小さい $n$ で確かめる
  1. 正三角形（$n=3$、$R=1$）：1 辺の長さは $\sqrt3$ なので $A_0A_1\cdot A_0A_2=\sqrt3\cdot\sqrt3=3=3\cdot1^2$。
  2. 正方形（$n=4$、$R=1$）：ex-pdp-square (3) の $\sqrt2\cdot2\cdot\sqrt2=4=4\cdot1^3$。
  3. 正六角形（$n=6$、$R=2$）：$A_0$ から他の 5 頂点までの距離は、$A_1$ と $A_5$ が $2$（1 辺の長さは半径に等しい）、$A_2$ と $A_4$ が $2\sqrt3$、向かいの $A_3$ が $4$（直径）である。積は
    $$ 2\cdot2\sqrt3\cdot4\cdot2\sqrt3\cdot2=(2\cdot2\cdot4)\cdot(2\sqrt3)^2=16\cdot12=192 $$
    で、$nR^{n-1}=6\cdot2^5=192$ と一致する。

この定理は 等間隔の角の正弦の積 の主定理 2 の図形の意味である。正 $n$ 角形の頂点 $A_0$ と $A_k$ は中心角 $\dfrac{2k\pi}n$ をはさむので、等間隔の角の正弦の積 の補題「正弦を単位円の点で表す」により
$$ A_0A_k=R\,\Bigl\lvert1-\omega^k\Bigr\rvert=2R\sin\frac{k\pi}n $$
である（$0<\frac{k\pi}n<\pi$ で正弦は正）。これを主定理 2 に代入すると $\prod_{k=1}^{n-1}2R\sin\frac{k\pi}n=nR^{n-1}$、両辺を $2^{n-1}R^{n-1}$ で割って
$$ \sin\frac\pi n\sin\frac{2\pi}n\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}n=\frac n{2^{n-1}} $$
を得る。前の記事では極限を使って示したこの等式が、ここでは多項式の割り算と代入だけで出た。

例と反例

外す条件反例成り立たなくなること
頂点が円を等分する（正多角形）円に内接する長方形（正方形でない）$A_0$ から他の頂点までの距離の積 $=nR^{n-1}$（$4$ にならない）
$P$ は正多角形と同じ平面の上正方形の中心の真上の点距離の積 $=\lvert z^n-R^n\rvert$
$A_0$ 自身を除く$A_0A_0$ も掛ける積 $=nR^{n-1}$（積は $0$ になる）
反例の確認
  1. 長方形：半径 $1$ の円に内接し、頂点が $E(0.5)$、$E(\pi-0.5)$、$E(\pi+0.5)$、$E(-0.5)$ の長方形をとる（$E(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$）。1 つめの頂点から他の 3 頂点までの距離は $2\cos0.5=1.7552$、$2$（直径）、$2\sin0.5=0.9589$ で、積は $3.3659$ であり、正方形の $4=4\cdot1^3$ にならない。$4$ つの頂点が $1$ の $4$ 乗根の $R$ 倍ではないので、$z^4-1$ の分解が使えない。点 $P=0.3+0.2i$ でも、4 つの距離の積は $0.9415$、$\lvert P^4-1\rvert=1.0120$ で一致しない。
  2. 平面の外の点：正方形（$R=1$）の中心の真上、高さ $1$ の点 $Q$ から各頂点までの距離は $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ で、積は $(\sqrt2)^4=4$ である。$Q$ を平面に正射影した点は中心 $z=0$ で、$\lvert0^4-1\rvert=1$ とは一致しない。主定理 1 は平面の点についての等式である。
  3. $A_0A_0=0$ を掛けると積は $0$ で、$nR^{n-1}$ にはならない。主定理 2 は、thm-pdp-any-point で $P=A_0$ としたときの $0$ から、$0$ になる因子 1 つを取り除いた値である。

大学数学で見る

主定理 2 の $R=1$ の場合 $\prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega^k)=n$ は、大学向けの 1の冪根 で、$x^n-1$ を 1 の冪根を根とする 1 次式に分解したあとの等式として扱われている。そこから円分多項式（原始 $n$ 乗根だけを根とする多項式）へ進む。
頂点の組すべての距離の積も求まる。Vandermondeの行列式 の命題「1 の冪根の Vandermonde 行列」から、$\bigl\lvert\prod_{0\le k< l\le n-1}(\omega^l-\omega^k)\bigr\rvert^2=n^n$ が出る。左辺は、半径 $1$ の正 $n$ 角形の頂点の組 $\binom n2$ 個すべての距離の積の 2 乗である。主定理 2 を各頂点で使って $n$ 個の積を掛けると、各組の距離を 2 回ずつ掛けることになるので、同じ $n^n$ が得られる。

さらに先へ

  • 距離の積ではなく、距離の 2 乗や 4 乗の和を考えると、別の性質が現れる。正多角形の頂点までの距離の累乗の和 で扱う。
  • 1の冪根 では、1 の $n$ 乗根の全体を群として見て、$z^n-1$ の分解を円分多項式に分ける。
  • $\cos n\theta$ を $\cos\theta$ の多項式で表すと、その多項式も根の積に分解できる。この続きは Chebyshev多項式 で扱う。

関連項目

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