加群の台

$M_{\mathfrak p}\ne0$ なら非零の分数 $x/s$ がある。このとき $x/1\ne0$ であり、分数の零判定から $x$ を殺す元は $A\setminus\mathfrak p$ に存在しない。これは $\operatorname{Ann}(x)\subset\mathfrak p$ と同値である。逆も同じ零判定から従う。巡回加群 $Ax$ は $A/\operatorname{Ann}(x)$ に同型である。商 $A/I$ については、$1$ の零化イデアルが $I$ であり、全元の零化イデアルは $I$ を含むので和集合は $V(I)$ となる。

$M_{\mathfrak p}\ne0$ で、$a\in\operatorname{Ann}(M)\setminus\mathfrak p$ があれば、局所化後単元 $a/1$ が $M_{\mathfrak p}$ 全体を殺す。これは加群が零であることを意味して矛盾する。従って左辺は右辺に含まれる。
逆包含には有限生成元 $x_1,\ldots,x_r$ を使う。$M_{\mathfrak p}=0$ なら、それぞれの $x_i/1=0$ に対して $s_i\notin\mathfrak p$、$s_ix_i=0$ を選べる。$s=\prod_i s_i$ は全生成元を殺し、$\operatorname{Ann}(M)$ に属する。一方 $s\notin\mathfrak p$ なので $\operatorname{Ann}(M)$ は $\mathfrak p$ に含まれない。$r=0$ なら $M=0$、零化イデアルは $A$、双方空である。

$x\ne0$ なら $\operatorname{Ann}(x)$ は真のイデアルである。これを含む極大イデアル $\mathfrak m$ を取ると、前公式により $\mathfrak m$ は台に入る。極大イデアルの存在は、真イデアルの昇鎖の合併がなお真であることから Zorn の補題で従う。逆方向は定義から明らかである。
閉包公式には、イデアル $J$ を含む全素イデアルの交叉が $\sqrt J$ であることを使う。この事実も確認する。$a\notin\sqrt J$ なら $1,a,a^2,\ldots$ は $J$ と交わらない。この積閉集合と交わらず $J$ を含むイデアルの極大元 $P$ を Zorn で取る。$bc\in P$ で $b,c\notin P$ なら、$P+(b)$ と $P+(c)$ はそれぞれ $a$ の冪を含む。両表示を掛けるとある $a$ の冪が $P$ に入って矛盾する。従って $P$ は素で $a\notin P$。逆に $a^n\in J$ なら $J$ を含む全素は $a$ を含む。これで交叉公式が得られる。
集合 $T\subset\operatorname{Spec}(A)$ の閉包は $V(\bigcap_{\mathfrak p\in T}\mathfrak p)$ である。実際これは $T$ を含む閉集合で、$T\subset V(I)$ なら $I\subset\bigcap_T\mathfrak p$ よりこの閉集合は $V(I)$ に含まれる。巡回台の和集合に適用し、上の交叉公式を使えば主張となる。空の交叉は $A$ とする。

単射について、$u/s$ の $M$ 内での像が零なら、ある $t\in S$ により $tu$ の像が零になる。元の単射から $tu=0$ であり、$u/s=0$ である。全射について、$n/s$ の分子 $n$ を $M$ へ持ち上げればよい。中間で $x/s$ が核に入るなら、ある $t\in S$ が分子 $x$ の像を殺す。$tx$ は元の核、従って $U$ の像に属する。その持上げを $u$ とすると、$x/s$ は $u/(ts)$ の像である。これで像と核が等しくなる。

各素で局所化した短完全列の中項が零であることと、両端が零であることは同値である。逆に両端零なら完全性により中項も零となる。従って台の公式が従う。
直和と局所化の同型は、有限台の成分表示 $ (x_\lambda)_\lambda/s\mapsto(x_\lambda/s)_\lambda$ で与えられる。逆方向では有限個の分母をその積という共通分母へまとめる。零判定も有限個の消去元の積で確認できる。よってこの写像は同型であり、直和が零であることと全因子が零であることから台の公式を得る。

片方の局所化が零なら、そのテンソルも零なので包含は一般に成り立つ。逆包含のため $(R,\mathfrak m)=(A_{\mathfrak p},\mathfrak p A_{\mathfrak p})$ で考える。有限生成非零 $R$ 加群 $P$ は $P/\mathfrak mP\ne0$ である。ここで必要な Nakayama の補題を証明する。$P=\mathfrak mP$ とし生成元 $z_1,\ldots,z_r$ を取ると $z_i=\sum_j a_{ij}z_j$、$a_{ij}\in\mathfrak m$ と書ける。行列 $I-(a_{ij})$ の随伴行列を掛けると、その行列式が全 $z_i$ を殺す。行列式は $1$ を法 $\mathfrak m$ とするので単元であり、全生成元は零となる。局所環で極大イデアルの外が単元なのは、非単元の生成する真イデアルが極大イデアルに含まれるためである。
よって $M_{\mathfrak p},N_{\mathfrak p}$ が双方非零なら、その剰余は体 $\kappa=R/\mathfrak m$ 上の非零有限次元空間である。そのテンソルは非零である。実際、非零ベクトルを基底へ延長すれば基底テンソルが基底となる。また
$$ (P\otimes_R Q)/\mathfrak m(P\otimes_R Q)\cong(P/\mathfrak mP)\otimes_\kappa(Q/\mathfrak mQ)$$
である。この同型は $\bar x\otimes\bar y\mapsto\overline{x\otimes y}$ と逆写像で直接与えられ、両方の商の関係が一致することから従う。従って元のテンソルも非零であり、交叉公式を得る。

非零元の零化イデアルの中に包含極大元 $\mathfrak q=\operatorname{Ann}(x)$ を取る。Noether 性によるイデアル昇鎖条件から存在する。$ab\in\mathfrak q$、$b\notin\mathfrak q$ なら $bx\ne0$ であり、$\operatorname{Ann}(bx)\supset\mathfrak q$ は極大性から等号となる。$a(bx)=0$ なので $a\in\mathfrak q$。従って $\mathfrak q$ は素である。
局所化後の随伴素 $P=\operatorname{Ann}_{A_{\mathfrak p}}(x/s)$ の縮約を $\mathfrak q=P\cap A$ とする。$s$ は単元なので $x/1$ も同じ零化イデアルを持つ。$\mathfrak q=(a_1,\ldots,a_r)$ は Noether 性から有限生成である。各 $a_ix/1=0$ について $u_i\notin\mathfrak p$ で $u_i a_i x=0$ を選び、$u=\prod_i u_i$ とする。$r=0$ なら $u=1$ とする。$\mathfrak q$ は $ux$ を殺す。逆に $bux=0$ なら局所化後 $u$ が単元なので $b(x/1)=0$、すなわち $b\in\mathfrak q$ である。$ux\ne0$ なので $\operatorname{Ann}_A(ux)=\mathfrak q$ は元の随伴素となる。
局所化環も Noether である。任意のイデアルは縮約の拡大であり、縮約の有限生成元がそのイデアルを生成するためである。従って存在定理を局所化後にも適用できる。

随伴素の証人 $x$ は $\operatorname{Ann}(x)=\mathfrak q$ を満たすので、その特殊化全体 $V(\mathfrak q)$ は巡回台の公式から台に入る。逆に $M_{\mathfrak p}\ne0$ なら前補題によりそこに随伴素がある。証人回収によって、それは $\mathfrak q\in\operatorname{Ass}_A(M)$、$\mathfrak q\subset\mathfrak p$ に由来する。従って $\mathfrak p\in V(\mathfrak q)$ である。
台の極小元 $\mathfrak p$ はこの表示から、ある随伴素 $\mathfrak q\subset\mathfrak p$ を含む。$\mathfrak q$ 自身も台に入るので極小性から等号となり、随伴素の中でも極小である。逆に随伴素の極小元 $\mathfrak q$ の真下に台の点 $\mathfrak p$ があれば、表示によりある随伴素 $\mathfrak r\subset\mathfrak p\subsetneq\mathfrak q$ が存在して矛盾する。よって両方の極小元は一致する。ただしこの論証は、随伴素が無限個ある場合に極小元が常に存在することまでは示していない。

有限加群が Noether 加群になることを先に示す。$A^r$ の部分加群について、最後の座標の像はイデアルなので有限生成であり、その生成元を持ち上げる。核は $A^{r-1}$ の部分加群なので帰納法で有限生成である。像の持上げと核の生成元が全体を生成する。$r=1$ はイデアル有限生成そのものである。従って有限加群は $A^r$ の商として、その全部分加群も有限生成である。上昇鎖の合併の有限生成元は共通の有限段階に入るから、上昇鎖は停止する。
非零の商加群に前補題を適用すると、その中に $A/\mathfrak p$ と同型な非零巡回部分加群を取れる。その逆像を元の加群で取り、これを繰り返す。無限に続けば真上昇鎖となるので、有限段階で $M$ 全体に至る。短完全列の台の公式と $\operatorname{Supp}(A/\mathfrak p)=V(\mathfrak p)$ により台の表示が得られる。
有限集合 $\{\mathfrak p_i\}$ の包含極小元は台の極小点である。もしその真下に台の点があれば、その下にさらにいずれかの $\mathfrak p_j$ が入るので極小性に反する。逆に任意の台の点はある $\mathfrak p_i$ を含み、その有限集合の下向き最小元を含む。従って主張が得られる。零加群には空の列を用いる。

局所化の完全性により $\ker(f)_{\mathfrak p}=\ker(f_{\mathfrak p})$、$\operatorname{coker}(f)_{\mathfrak p}=\operatorname{coker}(f_{\mathfrak p})$ である。全素で同型なら核と余核の台は空なので、それぞれ零となる。極大イデアルだけでも、非零元の零化イデアルを含む極大イデアルを選ぶという零検出の証明により十分である。逆は同型の局所化が同型であることから明らかである。