2次方程式の判別式の正体

方針：$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ を計算し、右辺を展開した式と左辺を比べる。
段 1（和）。分母がそろっているので
$$ \alpha+\beta=\frac{(-b+\delta)+(-b-\delta)}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac ba $$
である。
段 2（積）。分子は和と差の積なので
$$ \alpha\beta=\frac{(-b+\delta)(-b-\delta)}{4a^2}=\frac{b^2-\delta^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac ca $$
である。3 つ目の等号で $\delta^2=D=b^2-4ac$ を使った。
段 3（展開して比べる）。右辺を展開すると
$$ a(x-\alpha)(x-\beta)=a\bigl(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\bigr)=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta $$
である。段 1・段 2 を代入すると $-a(\alpha+\beta)=-a\cdot\left(-\dfrac ba\right)=b$、$a\alpha\beta=a\cdot\dfrac ca=c$ なので、右辺は $ax^2+bx+c$ に等しい。$\square$

方針：$(\alpha-\beta)^2$ を $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ で書き、解と係数の関係 で係数に置き換える。
段 1（解と係数の関係）。prf-qdsc-factor の段 3 と同じく右辺を展開すると $ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$ である。これが $ax^2+bx+c$ と等しいので、$x$ の係数と定数項を比べて
$$ -a(\alpha+\beta)=b,\qquad a\alpha\beta=c $$
である。$a\ne0$ なので $\alpha+\beta=-\dfrac ba$、$\alpha\beta=\dfrac ca$ である。
段 2（差の 2 乗を和と積で書く）。展開すると
$$ (\alpha-\beta)^2=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2)-4\alpha\beta=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta $$
である。
段 3（代入する）。段 1 の値を段 2 に代入すると
$$ (\alpha-\beta)^2=\left(-\frac ba\right)^2-4\cdot\frac ca=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}=\frac{b^2-4ac}{a^2} $$
である。両辺に $a^2$ を掛けて $a^2(\alpha-\beta)^2=b^2-4ac$ を得る。$\square$

方針：thm-qdsc-main の右辺が $0$ になる条件を調べる。
lem-qdsc-factor により $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$ と書ける。thm-qdsc-main により $b^2-4ac=a^2(\alpha-\beta)^2$ である。$a\ne0$ なので $a^2\ne0$ であり、積 $a^2(\alpha-\beta)^2$ が $0$ になるのは $(\alpha-\beta)^2=0$、つまり $\alpha-\beta=0$ のときに限る。よって $b^2-4ac=0$ と $\alpha=\beta$（重解）は同値である。$\square$

方針：まず「$D$ の符号 ⇒ 解の種類」を 3 つの場合それぞれで示す。3 つの場合は $D$ についても解の種類についても互いに重ならないので、逆向きも従う。
段 1（$D>0$ の場合）。rem-qdsc-delta のとおり $\delta=\sqrt D$ とすると、$\delta$ は正の実数である。lem-qdsc-factor の $\alpha=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}$、$\beta=\dfrac{-b-\sqrt D}{2a}$ はどちらも実数であり、$\alpha-\beta=\dfrac{\sqrt D}{a}\ne0$ なので異なる。
段 2（$D=0$ の場合）。$\delta=0$ として $\alpha=\beta=-\dfrac b{2a}$ であり、これは実数である。
段 3（$D<0$ の場合）。$\delta=i\sqrt{-D}$ とする。$s:=-\dfrac b{2a}$、$t:=\dfrac{\sqrt{-D}}{2a}$ とおくと、$s,t$ は実数で $t\ne0$ であり、$\alpha=s+ti$、$\beta=s-ti$ である。虚部 $t$ が $0$ でないので $\alpha,\beta$ は実数でなく、$\beta=\bar\alpha$ である。
段 4（逆向き）。解は $\{\alpha,\beta\}$ で決まる（rem-qdsc-roots）ので、解の種類「異なる 2 つの実数」「実数の重解」「実数でない 2 つ」は、どの 2 つも同時には起こらない。また $D$ は $D>0$、$D=0$、$D<0$ のちょうど 1 つを満たす。

• 異なる 2 つの実数解をもつとする。$D=0$ なら段 2 により重解、$D<0$ なら段 3 により実数でない解をもつことになり、どちらも矛盾する。よって $D>0$ である。
• 実数の重解をもつとする。$D>0$ なら段 1 により 2 つの解は異なり、$D<0$ なら段 3 により解は実数でない。どちらも矛盾するので $D=0$ である。
• 実数でない解をもつとする。$D>0$ なら段 1 により、$D=0$ なら段 2 により解は実数であり、矛盾する。よって $D<0$ である。$\square$

方針：右辺を展開して左辺に一致することを確かめる。
段 1（展開）。$\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2=x^2+\dfrac bax+\dfrac{b^2}{4a^2}$ なので
$$ a\left(x+\frac b{2a}\right)^2=ax^2+bx+\frac{b^2}{4a} $$
である。
段 2（定数項）。$\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac D{4a}=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a}=\dfrac{4ac}{4a}=c$ である。段 1 と合わせて、右辺は $ax^2+bx+c$ に等しい。
段 3（頂点）。$a\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2$ は $x=-\dfrac b{2a}$ で $0$ になり、それ以外の $x$ では $a$ と同じ符号をもつ。また、$h$ を実数として $x=-\dfrac b{2a}+h$ と $x=-\dfrac b{2a}-h$ を代入すると、どちらも $a h^2-\dfrac D{4a}$ で値が等しい。よってグラフは直線 $x=-\dfrac b{2a}$ に関して対称で、この点で $y=-\dfrac D{4a}$ をとる。これが頂点である。
段 4（解の差で書く）。thm-qdsc-main により $D=a^2(\alpha-\beta)^2$ なので、$\dfrac D{4a}=\dfrac{a^2(\alpha-\beta)^2}{4a}=\dfrac{a(\alpha-\beta)^2}4$ である。$\square$

方針：頂点の $y$ 座標の符号を prop-qdsc-vertex で、共有点の個数を thm-qdsc-sign で調べる。
段 1（頂点の位置）。prop-qdsc-vertex により頂点の $y$ 座標は $-\dfrac D{4a}$ である。$a>0$ なので $4a>0$ であり、$-\dfrac D{4a}$ の符号は $-D$ の符号と同じである。よって $D>0$ なら頂点は $x$ 軸より下、$D=0$ なら $x$ 軸上、$D<0$ なら上にある。
段 2（共有点）。グラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標は、$ax^2+bx+c=0$ の実数解である。thm-qdsc-sign により、実数解は $D>0$ なら 2 つ、$D=0$ なら 1 つ（重解）、$D<0$ なら $0$ 個である。
段 3（交点の距離）。$D>0$ のとき 2 つの交点は $(\alpha,0)$、$(\beta,0)$ で、rem-qdsc-main-formula により $\alpha-\beta=\dfrac{\sqrt D}a$ である。$a>0$ なので距離は $|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt D}a$ である。
段 4（$a<0$）。$y=ax^2+bx+c$ を $x$ 軸に関して折り返すと $y=-ax^2-bx-c$ になり、その判別式は $(-b)^2-4(-a)(-c)=b^2-4ac=D$ で変わらない。$-a>0$ なので段 1〜3 が使え、折り返して戻すと上下が入れ替わる。$\square$

方針：prop-qdsc-vertex の形 $a(x-s)^2-\dfrac D{4a}$（$s=-\dfrac b{2a}$）を使う。前半を示す。後半も同じ方法で示せる（下の段 3）。
段 1（$a>0$ かつ $D<0$ ならすべて正）。$a>0$ なので $a(x-s)^2\ge0$ であり、$D<0$、$4a>0$ なので $-\dfrac D{4a}>0$ である。和は正である。
段 2（すべて正なら $a>0$ かつ $D<0$）。$x=s$ を代入すると値は $-\dfrac D{4a}$ で、これは正である。もし $a<0$ なら、$x$ を $s$ から大きく離すと $a(x-s)^2$ はいくらでも小さな負の数になる。実際 $x=s+N$ とすると値は $aN^2-\dfrac D{4a}$ で、$N^2>\dfrac{D}{4a^2}$ となる $N$ をとると負になる。これは仮定に反するので $a>0$ である。すると $-\dfrac D{4a}>0$ と $4a>0$ から $D<0$ である。
段 3（後半）。段 1 で $D\le0$ なら $-\dfrac D{4a}\ge0$ となり、和は $0$ 以上である。逆に、すべての $x$ で $0$ 以上なら、段 2 と同じく $a<0$ はありえず（$x=s+N$ で $N^2>\dfrac{D}{4a^2}$ かつ $N\ne0$ ととれば値が負になる）、$x=s$ での値 $-\dfrac D{4a}\ge0$ から $D\le0$ である。$\square$

方針：共有点は連立方程式の実数解で与えられる。重解になる点で傾きがそろうことを計算で示す。
段 1（共有点）。点 $(x,y)$ が両方に乗ることは、$y=mx+k$ かつ $ax^2+bx+c=mx+k$、つまり $ax^2+(b-m)x+(c-k)=0$ と同じである。
段 2（$D_1=0$ なら接する）。cor-qdsc-double により、$D_1=0$ ならこの方程式は重解 $x_0=-\dfrac{b-m}{2a}$ をもつ。$f(x)=ax^2+bx+c$ とすると $f'(x)=2ax+b$ なので
$$ f'(x_0)=2a\cdot\left(-\frac{b-m}{2a}\right)+b=-(b-m)+b=m $$
である。点 $(x_0,f(x_0))$ は段 1 により直線上にもあり、傾きが一致するので、直線はこの点で接する。
段 3（接するなら $D_1=0$）。直線が点 $(x_0,f(x_0))$ で接するとする。$f'(x_0)=m$ より $2ax_0+b=m$ で、点が直線上にあるので $f(x_0)=mx_0+k$ である。$g(x):=ax^2+(b-m)x+(c-k)=f(x)-(mx+k)$ とおくと、$g(x_0)=0$ である。$b-m=-2ax_0$ を使うと
$$ g(x)=ax^2-2ax_0x+(c-k),\qquad g(x_0)=ax_0^2-2ax_0^2+(c-k)=0 $$
なので $c-k=ax_0^2$ であり、$g(x)=a(x^2-2x_0x+x_0^2)=a(x-x_0)^2$ となる。よって $x_0$ は重解で、cor-qdsc-double により $D_1=0$ である。$\square$