完備化

$A=\mathbb{Z}$、$I=(p)$（$p$ は素数）とすると、$\hat{\mathbb{Z}}=\varprojlim_n\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ は $p$ 進整数環 $\mathbb{Z}_p$ である（p進数）。両立する列 $(x_n)$ の各成分を $0\le x_n< p^n$ の整数で代表すると、$x_{n+1}\equiv x_n\pmod{p^n}$ より $x_{n+1}=x_n+a_np^n$（$0\le a_n< p$）と書けるので、$\mathbb{Z}_p$ の元は $p$ 進展開 $\sum_{n\ge0}a_np^n$（$0\le a_n< p$）と 1 対 1 に対応する。$\mathbb{Z}$ は $(p)$ 進位相で分離だが完備でない（$\sum_np^n$ に対応する元は整数でない）。$I=(p)$ は極大イデアルなので $\mathbb{Z}_p$ は局所環であり（prop-completion-of-ring-local）、剰余体は $\mathbb{F}_p$、極大イデアルは $p\mathbb{Z}_p$ である。相異なる $r\ge2$ 個の素因数をもつ合成数 $m=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ については、中国剰余定理により $\mathbb{Z}/m^n\mathbb{Z}\cong\prod_i\mathbb{Z}/p_i^{ne_i}\mathbb{Z}$ なので、$(m)$ 進完備化は直積 $\prod_i\mathbb{Z}_{p_i}$ であり、局所環ではない（$r=1$、たとえば $m=p^2$ なら $(m)$ 進位相は $(p)$ 進位相と同じで、完備化は $\mathbb{Z}_p$ である）。

$R$ を可換環、$A=R[x_1,\dots,x_r]$、$I=(x_1,\dots,x_r)$ とする。$A/I^n$ は、全次数 $n$ 以上の単項式を $0$ とみなした環であり、$R$ 加群としては全次数 $n$ 未満の単項式を基底とする自由加群である。推移写像 $A/I^{n+1}\to A/I^n$ は次数 $n$ の項を切り捨てる写像なので、両立する列とは「次数 $d$ の斉次成分（斉次多項式）$f_d$ を各 $d$ について 1 つずつ定めたもの」にほかならず、
$$ \hat{A}=\varprojlim_nA/I^n=R[\![x_1,\dots,x_r]\!] $$
である。多項式環 $A$ は分離だが完備でない。
$\mathfrak{m}$ が $A$ の極大イデアルのとき、$A$ の $\mathfrak{m}$ 進完備化と局所化 $A_{\mathfrak{m}}$ の $\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}}$ 進完備化は一致する。実際、$A/\mathfrak{m}^n$ において $\mathfrak{m}^n$ を含む素イデアルは $\mathfrak{m}$ だけなので $A/\mathfrak{m}^n$ は局所環であり、$s\notin\mathfrak{m}$ の像は単元である。したがって $S=A\setminus\mathfrak{m}$ による局所化は $A/\mathfrak{m}^n$ を変えず、局所化の完全性から
$$ A_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{m}^nA_{\mathfrak{m}}=S^{-1}(A/\mathfrak{m}^n)=A/\mathfrak{m}^n $$
となり、射影極限も一致する。とくに $k$ を体とすると $k[x]_{(x)}$ の完備化は $k[\![x]\!]$ であり、$\mathbb{Z}_{(p)}$ の完備化は $\mathbb{Z}_p$ である。より一般に、点 $a=(a_1,\dots,a_r)\in k^r$ に対応する極大イデアル $\mathfrak{m}_a=(x_1-a_1,\dots,x_r-a_r)$ について $\widehat{k[x_1,\dots,x_r]_{\mathfrak{m}_a}}=k[\![x_1-a_1,\dots,x_r-a_r]\!]$ であり、多項式 $f$ の像は $f$ の点 $a$ における Taylor 展開である。$k[\![x_1,\dots,x_r]\!]$ は極大イデアル $(x_1,\dots,x_r)$ をもつ完備局所環であり、正則局所環である。

原点の近傍で収束する 1 変数の複素冪級数の全体 $\mathbb{C}\{z\}$（収束冪級数環。正則関数の原点での芽の環）は、$\mathbb{C}[\![z]\!]$ の部分環であり、極大イデアル $(z)$ をもつ局所環である。$\mathbb{C}\{z\}/(z^n)=\mathbb{C}[z]/(z^n)$ なので（収束級数は次数 $n$ 未満の切り捨てと $z^n\mathbb{C}\{z\}$ を法として合同であり、次数 $n$ 未満の多項式は $0$ 以外 $z^n\mathbb{C}\{z\}$ に属さない）、$\mathbb{C}\{z\}$ の $(z)$ 進完備化は $\mathbb{C}[\![z]\!]$ である。$\mathbb{C}\{z\}$ は分離である（$\bigcap_nz^n\mathbb{C}[\![z]\!]=0$ だから）が、完備ではない。実際 $\sum_nn!\,z^n$ は収束半径 $0$ の級数なので $\mathbb{C}\{z\}$ に属さず、その部分和の列は $\mathbb{C}\{z\}$ の Cauchy 列であって極限をもたない。したがって
$$ \mathbb{C}[z]_{(z)}\subsetneq\mathbb{C}\{z\}\subsetneq\mathbb{C}[\![z]\!] $$
であり、3 つの環の $(z)$ 進完備化はいずれも $\mathbb{C}[\![z]\!]$ である。$\mathbb{C}\{z\}$ は完備でないにもかかわらず Hensel の補題をみたす（Hensel局所環 の記事の例）ので、完備性は Hensel 性より真に強い条件である。

$k$ を体、$A=k[x_1,x_2,x_3,\dots]$ を可算無限個の変数の多項式環、$I=(x_1,x_2,\dots)$ とする。$A$ は Noether 環でなく、$I$ は有限生成でない。ex-completion-of-ring-power-series と同じ理由で、$\hat{A}=\varprojlim A/I^n$ の元は各次数 $d$ の斉次多項式 $f_d\in A$（有限個の単項式の和）を並べた形式和 $\sum_{d\ge0}f_d$ である。
まず $I\hat{A}\subsetneq\hat{A}_1=\ker(\hat{A}\to A/I)$ を示す。$b:=\sum_{k\ge1}x_k^k\in\hat{A}_1$ とおく。$b\in I\hat{A}$ とすると、$I$ の生成元は $x_i$ なので有限個の $g_1,\dots,g_m\in\hat{A}$ により $b=\sum_{i=1}^mx_ig_i$ と書ける。右辺に現れる単項式はすべて $x_1,\dots,x_m$ のいずれかで割り切れるが、左辺の単項式 $x_{m+1}^{m+1}$ はそうでない。これは矛盾である。したがって自然な全射 $\hat{A}/I\hat{A}\to A/I$ は単射でなく、$\hat{A}/I\hat{A}\cong A/I$ という prop-completion-of-ring-exact の結論は Noether 性を外すと成り立たない。
次に、$\hat{A}$ が $I\hat{A}$ 進位相に関して完備でないことを示す。$b_n:=\sum_{k=1}^{n-1}x_k^k\in A$ とおくと $b_{n+1}-b_n=x_n^n\in I^n$ なので、$(b_n\bmod I^n\hat{A})_n$ は $\varprojlim_n\hat{A}/I^n\hat{A}$ の元である。これがある $b'\in\hat{A}$ の像であるとすると、任意の $n$ について $b'-b_n\in I^n\hat{A}\subset\hat{A}_n$ であり、$b'$ の第 $n$ 成分は $b_n$ の像に等しい。それは $b$ の第 $n$ 成分でもあるから $b'=b$ である。すると $b-b_1=b\in I\hat{A}$ となり、前段に矛盾する。よって $\hat{A}\to\varprojlim_n\hat{A}/I^n\hat{A}$ は全射でない。この例は「$A$ が Noether 環である」という仮定を破っており、「完備化は $I$ 進完備である」「$\hat{A}/I\hat{A}\cong A/I$」という結論をいずれも破る。Stacks Project Stacks の Algebra の章の Completion の節にも同じ例がある。$I$ が有限生成であれば、$A$ が Noether でなくても $\hat{A}$ は $I\hat{A}$ 進完備分離である（Stacks 同節）。

1. $A=k[x]\times k$（$k$ は体）、$I=(x)\times k$ とする。$A$ は Noether 環であり、$I^n=(x^n)\times k$ なので $\bigcap_nI^n=0\times k\neq0$ である。実際 $e=(0,1)$ は $e=e\cdot(x,1)^n\in I^n$ をみたす。ここで $a=(x,1)\in I$ について $(1-a)e=(1-x,0)(0,1)=0$ であり、Krull の交叉定理（thm-completion-of-ring-krull）の結論「$(1-a)e=0$ となる $a\in I$ がある」と整合する。$I$ がJacobson根基に含まれないので $\bigcap I^n=0$ は保証されない。$A/I^n=k[x]/(x^n)$ なので $\hat{A}=k[\![x]\!]$ であり、$\iota_A\colon k[x]\times k\to k[\![x]\!]$ の核は $0\times k$ である。
2. $A$ を原点における実 1 変数 $C^\infty$ 関数の芽（関数の芽）の環、$\mathfrak{m}$ を原点で $0$ になる芽のなす極大イデアルとする。Hadamardの補題（$f(0)=0$ なら $f(x)=x\int_0^1f'(tx)\,dt$）により $\mathfrak{m}=(x)$ である。$\varphi(x)=e^{-1/x^2}$（$x\neq0$）、$\varphi(0)=0$ は $C^\infty$ 関数であり、任意の $n$ について $\varphi/x^n$ も原点で $C^\infty$ に延びる（$\varphi$ の各階の導関数が原点で $0$ になることの標準的な計算による）ので、$\varphi\in\bigcap_n\mathfrak{m}^n$ かつ $\varphi\neq0$ である。局所環で $\bigcap\mathfrak{m}^n\neq0$ となったので、thm-completion-of-ring-krull によりこの環は Noether 環でない。$\iota_A\colon A\to\hat{A}=\mathbb{R}[\![x]\!]$ は Taylor 展開であり（Borelの定理により全射だが）、平坦関数を核にもつ。

$k$ を標数 $2$ でない体、$f=y^2-x^2(x+1)\in k[x,y]$、$B=k[x,y]_{(x,y)}$、$A=B/fB$ とする。$A$ は結節点をもつ平面 3 次曲線 $y^2=x^2(x+1)$ の原点における局所環である。
$A$ は整域である。実際 $f$ は $k[x][y]$ の $y$ について 2 次のモニック多項式であり、$f$ が $k[x,y]$ で可約（既約多項式でない）なら $y$ について 1 次の因子をもち、$x^2(x+1)$ が $k(x)$ の平方になるが、$k[x]$ は一意分解整域で $x+1$ が $x^2(x+1)$ に 1 回だけ現れるので、Gaussの補題により $x^2(x+1)$ は $k(x)$ の平方でない。よって $f$ は既約であり、$k[x,y]/(f)$ は整域、その局所化 $A$ も整域である。$\dim A=1$ である（$B$ は 2 次元の正則局所環で整域、$f\neq0$ はその非単元、すなわち $B$ の極大イデアルに属する非零因子なので、$\dim B/fB=\dim B-1=1$ である。AM69 第 11 章 Corollary 11.18。Krullの単項イデアル定理からも従う）。
一方、完備化 $\hat{A}$ は整域でない。prop-completion-of-ring-exact により $\hat{A}=\hat{B}/f\hat{B}$ であり、ex-completion-of-ring-power-series により $\hat{B}=k[\![x,y]\!]$ である。$k[\![x]\!]$ の中で $1+x$ は平方根をもつ。実際 $u=\sum_{n\ge0}u_nx^n$、$u_0=1$ とおいて $u^2=1+x$ の $x^n$ の係数を比べると、$n\ge1$ について
$$ 2u_n=\delta_{n,1}-\sum_{i=1}^{n-1}u_iu_{n-i} $$
となり、$2$ が $k$ で可逆なので $u_n$ が順に定まる。すると $k[\![x,y]\!]$ において
$$ f=y^2-x^2u^2=(y-xu)(y+xu) $$
である。$y\pm xu$ は $f\hat{B}$ に属さない。$k[\![x,y]\!]$ の元の位数（$0$ でない斉次成分の最小次数）は積について加法的（斉次成分の最低次の部分の積が $k[x,y]$ で $0$ にならないから）であり、$f\hat{B}$ の $0$ でない元の位数は $\operatorname{ord}f=2$ 以上だが、$y\pm xu$ の位数は $1$ だからである。したがって $\hat{A}$ において $y-xu$ と $y+xu$ は $0$ でなく、積が $0$ である。すなわち $\hat{A}$ は零因子をもち、整域でない。$\hat{A}$ の極小素イデアルは $(y-xu)$ と $(y+xu)$ の 2 つで、結節点で交わる 2 本の「解析的な枝」$y=\pm x\sqrt{1+x}$ に対応する。
この例は「$A$ が整域である」という性質を保ちながら「$\hat{A}$ が整域である」という性質を破り、「既約性は完備化で保たれる」という含意を破る。一方で次元は保たれ、$\dim\hat{A}=\dim A=1$ である（Noether 局所環では一般に $\dim\hat{A}=\dim A$。AM69 第 11 章 Corollary 11.19）。Hartshorne Har77 I §5 は、この曲線が原点で $xy=0$ と「解析的に同型」であること、すなわち $\hat{A}\cong k[\![x,y]\!]/(xy)$ であることを述べている（$y-xu$、$y+xu$ を新しい変数にとればよい。この変数変換の線形部分の行列式は $-2\neq0$ なので、$k[\![x,y]\!]$ の自己同型を定める）。