Kan拡張(豊穣圏)

前提知識: Kan拡張、豊穣圏、自然変換(豊穣圏)、重み付き極限(豊穣圏)

定義

$\mathcal V$ を完備・余完備な対称モノイダル閉圏とする。テンソル積を $\otimes$、単位を $I$、内部Homを $[U,V]$ と書く。$\mathcal V$-圏（豊穣圏）$\mathcal D$ は射集合の代わりに対象 $\mathcal D(x,y)\in\mathcal V$ を持ち、単位 $I\to\mathcal D(x,x)$ と合成 $\mathcal D(y,z)\otimes\mathcal D(x,y)\to\mathcal D(x,z)$ が圏の法則を満たす。以下 $\mathcal A,\mathcal B$ は小さく、$f:\mathcal A\to\mathcal B$、$G:\mathcal A\to\mathcal D$ は豊穣関手（関手(豊穣圏)）とする。
豊穣自然変換 $\alpha:P\Rightarrow Q$ は成分 $I\to\mathcal D(Pa,Qa)$ を持ち、各 $a,a'$ についてHom対象の射 $\mathcal A(a,a')\to\mathcal D(Pa,Qa')$ の2つ、すなわち $\alpha_{a'}$ と $P_{a,a'}$ の合成、および $Q_{a,a'}$ と $\alpha_a$ の合成が等しいものである。これは大域的な射 $u$ に対する $Q(u)\alpha_a=\alpha_{a'}P(u)$ より強く、Hom対象全体についての等式である。詳しくは 自然変換(豊穣圏) を参照。

この定義は豊穣関手・豊穣自然変換の2圏での普遍性である。以下の各点版と区別する。Kel82 §4.3 も参照。記法は Alg20 に合わせる。

Hom対象と重み

関手圏のHom対象は
$$ [\mathcal A,\mathcal D](P,Q)=\int_a\mathcal D(Pa,Qa) $$
である。このエンド(豊穣圏)は、任意の $T\in\mathcal V$ に対し、$T\to\mathcal D(Pa,Qa)$ の族で、$T\otimes\mathcal A(a,a')$ 上の二つの合成が等しいものを分類する。小ささと完備性により、積と等化子で構成できる。$T=I$ の場合だけが通常の豊穣自然変換の集合を与える。
重み $W:\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ による重み付き余極限（重み付き極限(豊穣圏)）$W\star G$ は、$W\to\mathcal D(G-,W\star G)$ という指定された自然な族を持ち、それとの合成が
$$ \mathcal D(W\star G,d)\cong [\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V](W,\mathcal D(G-,d)) $$
を与える対象である。重み $U:\mathcal A\to\mathcal V$ による極限 $\{U,G\}$ は、指定された族 $U\to\mathcal D(\{U,G\},G-)$ が
$$ \mathcal D(d,\{U,G\})\cong [\mathcal A,\mathcal V](U,\mathcal D(d,G-)) $$
を与える対象である。同型は $\mathcal V$ 内の同型で、$d$ に豊穣自然でなければならない。

左の構造写像は $\mathcal B(fa,b)\to\mathcal D(Ga,Lb)$、右は $\mathcal B(b,fa)\to\mathcal D(Rb,Ga)$。各点の対象だけを無関係に選ぶ定義ではない。これらの重み付き対象がすべて存在すれば、重みの $b$ 依存と普遍性から豊穣関手構造と比較変換が定まる。左の $\eta_a$、右の $\varepsilon_a$ は $b=fa$ で単位 $I\to\mathcal B(fa,fa)$ を代入して得る。存在の一般論は Kel82 §§3.1, 4.1 による。

直感と計算式

各点左Kan拡張は、$fa$ から $b$ へ向かう射の「全体」を重みにして $Ga$ を貼り合わせる。右では $b$ から $fa$ へ向かう射を重みにして、整合する情報を集める。射が空間や加群なら、射の集合だけを取り出しては重みの構造を失う。
$U\odot d$、$[U,d]_{\mathcal D}$ をそれぞれ
$$ \mathcal D(U\odot d,e)\cong[U,\mathcal D(d,e)],\qquad \mathcal D(e,[U,d]_{\mathcal D})\cong[U,\mathcal D(e,d)] $$
で定義するテンソル・余テンソルとする。必要なテンソル・余テンソルと豊穣コエンド（コエンド(豊穣圏)）・エンドが存在すれば、各点公式は
$$ (f^\dagger G)b\cong\int^a\mathcal B(fa,b)\odot Ga,\qquad (f^\ddagger G)b\cong\int_a[\mathcal B(b,fa),Ga]_{\mathcal D}. $$
コエンドは $\mathcal A$ の作用を移し替える二通りの合成を同一視する普遍対象、エンドはその二通りが等しくなる族の普遍対象である。ここでは通常の台の圏だけでなくHom対象全体の作用を用いる。式の根拠は Kel82 (4.24)–(4.25)。特に $\mathcal D=\mathcal V$ なら $\odot=\otimes$、余テンソルは内部Homであり、小ささから存在する。
具体的に $\mathcal D=\mathcal V$ では
$$ W\star G=\operatorname{coeq}\left( \coprod_{a,a'}Wa'\otimes\mathcal A(a,a')\otimes Ga \rightrightarrows\coprod_a Wa\otimes Ga\right). $$
一方の射は $W$ の反変作用を使って $a$ 成分へ、他方は $G$ の作用を使って $a'$ 成分へ送る。右の極限は
$$ \{U,G\}=\operatorname{eq}\left( \prod_a[Ua,Ga]\rightrightarrows \prod_{a,a'}[\mathcal A(a,a')\otimes Ua,Ga']\right) $$
で、一方は $G$ の作用、他方は $U$ の作用を使う。この対が、積分記号の中に隠れている整合条件である。

例と反例

性質と証明

一般の定義、Hom対象の同型、各点性は三つの異なる強さの条件である。上の証明を逆に読むことはできない。一般の基礎圏では $\mathcal V(I,-)$ は同型を反映するとは限らず、Hom対象の大域的普遍性だけから各点の重み付き普遍性も従うとは限らない。これらの区別と反例は Kel82 §4.3 による。一方、値域が $\mathcal V$ 自身のときはテンソル・余テンソルがあり、この区別は消える。任意の $c\in\mathcal V$ に対して余テンソル $\mathcal B(-,b)\pitchfork c=[\mathcal B(-,b),c]$ を $H$ に取れば、Hom対象の普遍性の両辺が $[Lb,c]$ と $[\mathcal B(f-,b)\star G,c]$ になり、米田の補題から $Lb\cong\mathcal B(f-,b)\star G$ が従うからである（Kel82 §4.3）。

∞圏への接続

単体的集合の圏 $\mathcal V=\mathrm{sSet}$ の厳密公式は、HomがKan複体でなくても豊穣式として定義できる。しかし∞圏の写像空間（写像空間(∞圏)）として読むには、全HomがKanであるモデルや、単体的モデル圏のcofibrant–fibrant対象を使う。局所Kanな単体的圏のホモトピー整合的脈体が準圏を与えるのは HTT09 Proposition 1.1.5.10 による。
さらに厳密コエンド・エンドをそのまま導来構成と同一視しない。例えば環の例の $S\otimes_RM$ は、導来版では導来テンソル積 $S\otimes_R^{\mathbf L}M$ へ置き換わる。同様に単体的な重み付き計算では、適切なモデル構造の下で射影cofibrantな重みを使い、余極限側はcofibrantな図式、極限側はfibrantな図式などを用いる。これは Rie14 §§9.2, 11.5 のような導来計算の条件に従う。具体的な置換方式と準圏への比較は別の定理であり、†・‡の記号から自動的には得られない。

関連項目

• 基礎：関手(豊穣圏)、自然変換(豊穣圏)、米田の補題(豊穣圏)
• 計算：エンド(豊穣圏)、コエンド(豊穣圏)、重み付き極限(豊穣圏)
• 比較：Kan拡張、Kan拡張(∞圏)、コンマ圏
• 発展：随伴関手(豊穣圏)、導来テンソル積