ユニタリ作用素
概要
ユニタリ作用素（unitary operator）とは、Hilbert 空間 $H$ から Hilbert 空間 $K$ への有界線形作用素 $U$ で、随伴について $U^*U=1_H$ かつ $UU^*=1_K$ を満たすもの、すなわち全射で内積を保つ線形写像である。$U^*U=1_H$ だけを満たすものは等長作用素といい、有限次元の空間からそれ自身への等長作用素はユニタリだが、無限次元では片側シフトのようにユニタリでないものがある。ユニタリ作用素は正規作用素で、ノルムは $1$（$H\neq\{0\}$ のとき）、スペクトルは単位円周に含まれ、正規直交基底を正規直交基底に写す。絶対値 $1$ の関数を掛ける作用素、両側シフト、$L^2(\mathbb{R})$ 上の Fourier 変換が代表例である。
ユニタリ作用素（unitary operator）とは、Hilbert 空間 $H$ から Hilbert 空間 $K$ への有界線形作用素 $U$ で、随伴 $U^*$ について
$$
U^*U=1_H,\qquad UU^*=1_K
$$
を満たすもの、すなわち随伴が逆写像になっているものをいう。これは「全射で内積を保つ線形写像」と言っても同じであり（thm-uo-equivalent）、Hilbert 空間の構造（線形構造と内積）を丸ごと保つ同型である。有限次元の ユニタリ行列 を無限次元の Hilbert 空間へ広げたものにあたる。
内積を保つが全射とは限らない作用素は 等長作用素 という。有限次元の空間からそれ自身への等長作用素はつねにユニタリだが、無限次元では片側シフトのようにユニタリでない等長作用素がある。ユニタリ作用素は正規作用素で、スペクトルは単位円周に含まれる。Fourier 変換、平行移動、絶対値 $1$ の関数を掛ける作用素が代表例であり、量子力学の時間発展や対称性もユニタリ作用素で表される。
定義
以下、Hilbert 空間は複素数体 $\mathbb{C}$ 上で考え、内積 $\langle x,y\rangle$ は Hilbert空間 の記事と同じく第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形とする。$B(H,K)$ は $H$ から $K$ への有界線形作用素の全体、$B(H):=B(H,H)$ である。$T\in B(H,K)$ の随伴 $T^*\in B(K,H)$ は $\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle$（$x\in H$、$y\in K$）で定まる作用素である（随伴作用素 の定理「随伴作用素の存在と一意性」）。
$H,K$ を Hilbert 空間とする。$V\in B(H,K)$ が $V^*V=1_H$ を満たすとき、$V$ を 等長作用素（isometry）という。$U\in B(H,K)$ が
$$
U^*U=1_H\quad\text{かつ}\quad UU^*=1_K
$$
を満たすとき、$U$ を ユニタリ作用素（unitary operator）という。$H=K$ のとき、$H$ 上のユニタリ作用素の全体を $\mathcal{U}(H)$ と書く。
ユニタリ作用素は等長作用素であり、逆写像 $U^{-1}=U^*$ をもつ。定義は Sun98 Proposition 2.4.11・2.4.12（pp. 62–64）の等長作用素・ユニタリ作用素と同じである（同書は同値な条件の一つとして定義している）。実数体上の Hilbert 空間で同じ条件を満たす作用素は直交作用素とも呼ばれ、thm-uo-equivalent と prop-uo-isometry は、偏極の式を実数の形 $\langle x,y\rangle=\frac14(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2)$ に替えればそのまま通る。
同値な言い換え
内積は、ノルムから偏極の式で取り戻せる。複素 Hilbert 空間では、すべての $x,y$ について
$$
\langle x,y\rangle=\frac14\sum_{k=0}^{3}i^k\,\|x+i^ky\|^2\qquad(*)
$$
が成り立つ（右辺を展開すると、$i^k\langle x,i^ky\rangle=i^k\,\overline{i^k}\langle x,y\rangle=\langle x,y\rangle$ の形の項だけが残る）。
$H,K$ を Hilbert 空間、$U\colon H\to K$ を線形写像とする（有界性は仮定しない）。次は同値である。
- $U$ は有界で、$U^*U=1_H$、$UU^*=1_K$ を満たす（ユニタリである）。
- $U$ は全射で、すべての $x,y\in H$ について $\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle$ である。
- $U$ は全射で、すべての $x\in H$ について $\|Ux\|=\|x\|$ である。
- $U$ は有界な全単射で、$U^{-1}=U^*$ である。
また、有界な $V\colon H\to K$ について、$V^*V=1_H$（等長作用素であること）は、すべての $x,y$ で $\langle Vx,Vy\rangle=\langle x,y\rangle$ であることとも、すべての $x$ で $\|Vx\|=\|x\|$ であることとも同値である。
後半から示す。$V^*V=1_H$ なら $\langle Vx,Vy\rangle=\langle V^*Vx,y\rangle=\langle x,y\rangle$ であり、$y=x$ とおけば $\|Vx\|=\|x\|$ である。逆に $\|Vx\|=\|x\|$ がすべての $x$ で成り立てば、偏極の式 $(*)$ を $V$ の側と元の側の両方で書いて、線形性から $\langle Vx,Vy\rangle=\frac14\sum_ki^k\|V(x+i^ky)\|^2=\frac14\sum_ki^k\|x+i^ky\|^2=\langle x,y\rangle$ である。すると $\langle (V^*V-1_H)x,y\rangle=\langle Vx,Vy\rangle-\langle x,y\rangle=0$ がすべての $y$ で成り立つので、$V^*V=1_H$ である。
1 ⇒ 4：$U^*U=1_H$ から $U$ は単射、$UU^*=1_K$ から全射であり、$U^*$ が両側の逆写像である。
4 ⇒ 1：$U^*U=U^{-1}U=1_H$、$UU^*=UU^{-1}=1_K$ である。
1 ⇒ 2：$UU^*=1_K$ から $U$ は全射であり、$U^*U=1_H$ と後半から内積を保つ。
2 ⇒ 3：$y=x$ とおけばよい。
3 ⇒ 1：$\|Ux\|=\|x\|$ から $U$ は有界であり、後半により $U^*U=1_H$ である。$U$ は単射（$Ux=0$ なら $\|x\|=0$）かつ全射なので逆写像 $U^{-1}$ をもつ。$U^*U=1_H$ の右から $U^{-1}$ を掛けると $U^*=U^{-1}$ となり、$UU^*=UU^{-1}=1_K$ である。$\square$
3 の「全射」は省けない。省くと条件は等長作用素であることになり、ユニタリとは限らない（ex-uo-shift）。3 から 1 を導くところで、有界性は仮定せずに得られることにも注意する。
$V\in B(H,K)$ を等長作用素とする。
- 値域 $V(H)$ は $K$ の閉部分空間で、$VV^*$ はその上への直交射影である。
- $V$ がユニタリであることと、$V$ が全射であることと、$VV^*=1_K$ であることは同値である。
- $H=K$ が有限次元なら、$V$ はユニタリである。
1：$Vx_n\to y$ なら $\|x_n-x_m\|=\|Vx_n-Vx_m\|$ なので $(x_n)$ は Cauchy 列で、極限 $x$ について $Vx=y$ である。よって $V(H)$ は閉である。$P:=VV^*$ とおくと $P^*=P$、$P^2=V(V^*V)V^*=VV^*=P$ なので $P$ は直交射影である。$Py=V(V^*y)\in V(H)$ であり、$y=Vx$ なら $Py=V(V^*V)x=Vx=y$ なので、$P$ の値域は $V(H)$ である。
2：ユニタリなら全射である。全射なら 1 から $VV^*$ は $K$ 全体への直交射影、すなわち $1_K$ である。$VV^*=1_K$ なら $V^*V=1_H$ と合わせてユニタリである。
3：$V$ は単射なので、有限次元の線形代数の次元公式から全射でもある。2 によりユニタリである。$\square$
基本性質
$U\in\mathcal{U}(H)$、$H\neq\{0\}$ とする。
- $\|U\|=\|U^{-1}\|=1$ である。$\mathcal{U}(H)$ は作用素の合成について群をなし、$B(H)$ の作用素ノルムについて閉集合である。
- $U$ は正規作用素である（$U^*U=UU^*$）。
- $U$ の固有値 $\lambda$ は $|\lambda|=1$ を満たし、相異なる固有値の固有ベクトルは直交する。
- スペクトル $\sigma(U)$ は単位円周 $\mathbb{T}:=\{\lambda\in\mathbb{C}\mid|\lambda|=1\}$ に含まれる。
- $(e_i)_{i\in I}$ が $H$ の完全正規直交系なら、$(Ue_i)_{i\in I}$ も完全正規直交系である。
1：thm-uo-equivalent の 3 から $\|Ux\|=\|x\|$ なので $\|U\|=1$ であり、$U^{-1}=U^*$ もユニタリなので $\|U^{-1}\|=1$ である。$U,W\in\mathcal{U}(H)$ なら $(UW)^*(UW)=W^*U^*UW=1$、$(UW)(UW)^*=1$ なので $UW\in\mathcal{U}(H)$ であり、逆元 $U^*$ も $\mathcal{U}(H)$ に入る。$U_n\to U$（作用素ノルム）なら $U_n^*\to U^*$（$\|T^*\|=\|T\|$、随伴作用素 の命題「ノルムと二重随伴」）であり、積は連続なので $U^*U=\lim U_n^*U_n=1$、$UU^*=1$ である。
2：$U^*U=1=UU^*$ である。
3：$Ux=\lambda x$、$x\neq0$ なら $\|x\|=\|Ux\|=|\lambda|\,\|x\|$ から $|\lambda|=1$ である。$Uy=\mu y$、$\mu\neq\lambda$ なら、$\langle x,y\rangle=\langle Ux,Uy\rangle=\lambda\overline\mu\langle x,y\rangle$ であり、$|\mu|=1$ から $\lambda\overline\mu=\lambda/\mu\neq1$ なので $\langle x,y\rangle=0$ である。
4：$|\lambda|>1$ なら $U-\lambda=-\lambda(1-\lambda^{-1}U)$ で $\|\lambda^{-1}U\|< 1$ なので、Neumann級数 により $U-\lambda$ は有界な逆をもつ。$0< |\lambda|< 1$ なら $U-\lambda=U(1-\lambda U^{-1})$ で $\|\lambda U^{-1}\|< 1$ なので、同じく可逆である。$\lambda=0$ では $U$ 自身が可逆である。よって $\sigma(U)\subset\mathbb{T}$ である。
5：$\langle Ue_i,Ue_j\rangle=\langle e_i,e_j\rangle$ なので正規直交系である。$y\in H$ がすべての $Ue_i$ と直交すれば、$\langle U^*y,e_i\rangle=\langle y,Ue_i\rangle=0$ なので、完全性から $U^*y=0$、$y=UU^*y=0$ である。$\square$
4 の逆は、正規作用素については成り立つ：正規作用素 $T$ で $\sigma(T)\subset\mathbb{T}$ なら $T$ はユニタリである（正規作用素 の系「スペクトルによる部分クラスの判定」の 3）。正規性を外すとこの逆は成り立たない（ex-uo-counterexamples の 4 行目）。5 から、ユニタリ作用素は正規直交基底を正規直交基底に写す。逆に、2 つの Hilbert 空間の正規直交基底の濃度が等しければ、一方を他方に写すユニタリ作用素がある（Hilbert次元 の定理「Hilbert次元による分類」）。この意味で、Hilbert 空間はユニタリ作用素を除いて Hilbert 次元だけで決まる。
例
$(X,\mu)$ を σ-有限な測度空間、$m\colon X\to\mathbb{C}$ を可測関数で、ほとんど至る所 $|m|=1$ を満たすものとする。$L^2(X,\mu)$ 上の $M_mf:=mf$ は $\|M_mf\|_2=\|f\|_2$ を満たし、$M_{\overline m}$ が逆写像なので全射である。thm-uo-equivalent の 3 により $M_m$ はユニタリで、$M_m^*=M_{\overline m}$ である。スペクトルは $m$ の本質的値域に等しい（正規作用素 の命題「掛け算作用素のスペクトル」）。たとえば $L^2(0,1)$ 上の $e^{2\pi it}$ を掛ける作用素のスペクトルは $\mathbb{T}$ 全体であり、固有値はない（$\{e^{2\pi it}=\lambda\}$ は高々 1 点で測度 $0$）。
$\ell^2(\mathbb{Z})$ の標準的な正規直交基底を $(e_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ とし、$Be_n:=e_{n+1}$、すなわち $(Bx)_k=x_{k-1}$ と定める。$B$ は基底を基底に全単射で写すので、ノルムを保つ全射であり、ユニタリである（Sun98 Example 2.4.15 (2)、p. 66）。
$\sigma(B)=\mathbb{T}$ であり、$B$ は固有値をもたない。実際、$|\lambda|=1$ とし $x_n:=n^{-1/2}\sum_{k=1}^{n}\overline\lambda^{\,k}e_k$ とおくと $\|x_n\|=1$ で、
$$
Bx_n-\lambda x_n=n^{-1/2}\Bigl(\sum_{k=1}^{n}\overline\lambda^{\,k}e_{k+1}-\sum_{k=1}^{n}\overline\lambda^{\,k-1}e_k\Bigr)=n^{-1/2}\bigl(\overline\lambda^{\,n}e_{n+1}-e_1\bigr)
$$
（$\lambda\overline\lambda=1$ を使った）なので $\|(B-\lambda)x_n\|=\sqrt{2/n}\to0$ である。$B-\lambda$ が有界な逆 $R$ をもてば $1=\|x_n\|\le\|R\|\sqrt{2/n}$ となり矛盾するので、$\lambda\in\sigma(B)$ である。prop-uo-basic の 4 と合わせて $\sigma(B)=\mathbb{T}$ である。$Bx=\lambda x$ なら $x_{k-1}=\lambda x_k$ がすべての $k$ で成り立ち、$|x_k|$ は $k$ によらないので、$x\in\ell^2(\mathbb{Z})$ から $x=0$ である。
$L^2(0,1)$ の正規直交基底 $\varepsilon_n(t):=e^{2\pi int}$（$n\in\mathbb{Z}$）を $e_n$ に写すユニタリ作用素を $W$ とすると、$e^{2\pi it}$ を掛ける作用素 $M$ は $\varepsilon_n$ を $\varepsilon_{n+1}$ に写すので、$W M W^{-1}=B$ である（Sun98 Example 2.4.15 (3)、pp. 66–67）。2 つの例は「同じ作用素を別の座標で見たもの」であり、スペクトルが一致するのはそのためである（下の prop-uo-equivalence）。
$\ell^2=\ell^2(\mathbb{N})$ 上の $S(x_1,x_2,\ldots):=(0,x_1,x_2,\ldots)$ はノルムを保つので等長作用素であり、$S^*(x_1,x_2,\ldots)=(x_2,x_3,\ldots)$ である。$S^*S=1$ だが、$SS^*$ は第 1 成分を $0$ にする直交射影で、$e_1$ は $S$ の値域に入らない。よって $S$ は全射でなく、ユニタリでない（Sun98 Example 2.4.15 (1)、pp. 65–66）。等長作用素はユニタリ作用素と片側シフトの重複度つきの直和に分解される（片側シフト作用素 の定理「Wold 分解」）。
Fourier 変換もユニタリ作用素である。ここでは $L^2(\mathbb{R})$ 上で $(\mathcal{F}f)(\xi):=(2\pi)^{-1/2}\int_{\mathbb{R}}e^{-ix\xi}f(x)\,dx$（$f\in L^1\cap L^2$）を延長したものを使う。これは Plancherelの定理 の定理「Plancherelの定理（$\mathbb{R}^n$）」の Fourier 変換（核 $e^{-2\pi ix\xi}$）の変数を取り替えて定数倍したもので、やはりユニタリである。
$g(x):=e^{-x^2/2}$ とおく。$\mathcal{F}g=g$ であり、急減少関数 $f$ について $\mathcal{F}(xf)=i\,\frac{d}{d\xi}\mathcal{F}f$（積分記号の下で微分する）である。これを繰り返すと
$$
\mathcal{F}(xg)=-i\,\xi g,\qquad\mathcal{F}(x^2g)=(1-\xi^2)g,\qquad\mathcal{F}(x^3g)=i(\xi^3-3\xi)g
$$
なので、
$$
\mathcal{F}g=g,\quad\mathcal{F}(xg)=-i\,(xg),\quad\mathcal{F}\bigl((2x^2-1)g\bigr)=-(2x^2-1)g,\quad\mathcal{F}\bigl((2x^3-3x)g\bigr)=i\,(2x^3-3x)g
$$
となり（右辺の変数は $\xi$ を $x$ と書き直した）、$1,-i,-1,i$ はどれも $\mathcal{F}$ の固有値である。
一方、$\mathcal{F}^2f(x)=f(-x)$ なので $\mathcal{F}^4=1$ である。$\lambda^4\neq1$ なら、互いに可換な作用素の積として
$$
(1-\lambda^4)\cdot1=\mathcal{F}^4-\lambda^4=(\mathcal{F}-\lambda)(\mathcal{F}^3+\lambda\mathcal{F}^2+\lambda^2\mathcal{F}+\lambda^3)
$$
と書けるので、$\mathcal{F}-\lambda$ は有界な逆 $(1-\lambda^4)^{-1}(\mathcal{F}^3+\lambda\mathcal{F}^2+\lambda^2\mathcal{F}+\lambda^3)$ をもつ。したがって $\sigma(\mathcal{F})=\{1,-i,-1,i\}$ である。
微分の公式の計算
$\mathcal{F}g=g$ は、Fourier変換 の記事の Gauss 関数の変換 $\int e^{-\pi x^2}e^{-2\pi ix\xi}\,dx=e^{-\pi\xi^2}$ で $x=u/\sqrt{2\pi}$、$\xi=v/\sqrt{2\pi}$ と置き換えれば得られる（$(2\pi)^{-1/2}\int e^{-u^2/2}e^{-iuv}\,du=e^{-v^2/2}$）。$\frac{d}{d\xi}(\mathcal{F}f)(\xi)=(2\pi)^{-1/2}\int(-ix)e^{-ix\xi}f(x)\,dx=-i\,\mathcal{F}(xf)(\xi)$ から $\mathcal{F}(xf)=i\,(\mathcal{F}f)'$ である。$\mathcal{F}g=g$ を使うと、$\mathcal{F}(xg)=i\,g'=-i\xi g$、$\mathcal{F}(x^2g)=i\,(-i\xi g)'=(\xi g)'=(1-\xi^2)g$、$\mathcal{F}(x^3g)=i\,\bigl((1-\xi^2)g\bigr)'=i(-2\xi-\xi+\xi^3)g=i(\xi^3-3\xi)g$ である。たとえば $\mathcal{F}\bigl((2x^3-3x)g\bigr)=2i(\xi^3-3\xi)g+3i\xi g=i(2\xi^3-3\xi)g$ である。$\mathcal{F}^2f(x)=f(-x)$ は、急減少関数では反転公式（Fourier変換 の定理「Fourier反転公式」の変数を取り替えたもの）から従い、$\mathcal{F}^2$ が有界なので $L^2$ 全体へ延びる。
ユニタリ同値
$T\in B(H)$、$S\in B(K)$ とする。ユニタリ作用素 $W\colon H\to K$ で $S=WTW^{-1}$ となるものがあるとき、$T$ と $S$ は ユニタリ同値（unitarily equivalent）であるという。
$S=WTW^{-1}$（$W\colon H\to K$ はユニタリ）とする。
- $S^*=WT^*W^{-1}$ であり、$\|S\|=\|T\|$ である。
- $\sigma(S)=\sigma(T)$ であり、$\lambda$ が $T$ の固有値であることと $S$ の固有値であることは同値で、固有空間は $W$ で互いに写る。
- $T$ が自己共役・正規・ユニタリ・等長であることは、$S$ がそれぞれ同じ性質をもつことと同値である。
1：$\langle Sx,y\rangle=\langle TW^{-1}x,W^{-1}y\rangle=\langle W^{-1}x,T^*W^{-1}y\rangle=\langle x,WT^*W^{-1}y\rangle$（$W^{-1}=W^*$ を使った）である。$\|Sx\|=\|TW^{-1}x\|$ で、$W^{-1}x$ は $x$ と同じノルムをもって $H$ の全体を動くので、$\|S\|=\|T\|$ である。
2：$S-\lambda=W(T-\lambda)W^{-1}$ なので、$T-\lambda$ が有界な逆 $R$ をもつことと、$S-\lambda$ が有界な逆 $WRW^{-1}$ をもつことは同値である。$Tx=\lambda x$ と $S(Wx)=\lambda Wx$ も同値である。
3：$T\mapsto WTW^{-1}$ は積と和を保ち、1 により随伴も保ち、$1_H$ を $1_K$ に写す。定義の等式（$T=T^*$、$T^*T=TT^*$、$T^*T=1$ など）はこの写像で互いに移る。$\square$
自己共役作用素との関係
$A\in B(H)$ が自己共役なら、指数関数の冪級数で定めた $e^{iA}:=\sum_{n\ge0}(iA)^n/n!$ はユニタリである。実際、$(e^{iA})^*=e^{-iA}$ であり、可換な作用素の指数法則から $e^{iA}e^{-iA}=e^{-iA}e^{iA}=1$ である。有限次元の対角化で見れば、実数の固有値 $a$ が単位円周上の固有値 $e^{ia}$ に変わる。
有界でない自己共役作用素 $A$ についても、スペクトル定理による関数計算で $e^{itA}$（$t\in\mathbb{R}$）が定まり、強連続な一径数ユニタリ群になる。逆に、強連続な一径数ユニタリ群はすべてこの形に書ける（Stoneの定理(一径数ユニタリ群)）。量子力学の時間発展 $e^{-itH}$ がユニタリであることは、確率（状態ベクトルのノルムの 2 乗）が保存されることを意味する。ほかに、自己共役作用素 $A$ から $(A-i)(A+i)^{-1}$ でユニタリ作用素を作る対応があり（Cayley変換）、ユニタリ作用素の平均 $\frac1n\sum_{k< n}U^k$ の極限は $U$ の不動点の部分空間への直交射影になる（エルゴード定理 の定理「平均エルゴード定理」）。
仮定を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 全射（thm-uo-equivalent の 3） | $\ell^2$ の片側シフト $S$ | $UU^*=1$、ユニタリであること |
| ノルムを保つこと（thm-uo-equivalent の 3） | $\ell^2$ 上の $2\cdot1$ | $U^*U=1$、ユニタリであること |
| 複素線形性（thm-uo-equivalent の 3） | $\ell^2$ の成分ごとの複素共役 $J$ | 内積を保つこと（3 ⇒ 2） |
| 正規性（prop-uo-basic の 4 の逆） | $T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ | $\sigma(T)\subset\mathbb{T}$ からユニタリであること |
| 有限次元（prop-uo-isometry の 3） | $\ell^2$ の片側シフト $S$ | 等長作用素がユニタリであること |
1 行目・5 行目：ex-uo-shift のとおり、$S$ はノルムを保つが全射でなく、$SS^*\neq1$ である。
2 行目：$2\cdot1$ は全射な有界線形作用素だが $\|2x\|=2\|x\|$ であり、$(2\cdot1)^*(2\cdot1)=4\cdot1\neq1$ である。全単射で逆も有界なので、「位相線形空間としての同型」であってもユニタリとは限らない。
3 行目：$(Jx)_k:=\overline{x_k}$ は全射で $\|Jx\|=\|x\|$ を満たし、実数倍と和は保つが、$J(ix)=-iJx$ なので複素線形でない。内積については $\langle Jx,Jy\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}$ となり、内積そのものは保たない（このような写像は反ユニタリ作用素と呼ばれる）。
4 行目：$T$ の固有多項式は $(\lambda-1)^2$ なので $\sigma(T)=\{1\}\subset\mathbb{T}$ だが、$Te_2=e_1+e_2$ のノルムは $\sqrt2$ でありノルムを保たないので、ユニタリでない。$T^*T=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\neq TT^*=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ なので $T$ は正規でない。
関連項目
- 前提: Hilbert空間, 随伴作用素
- 例: ユニタリ行列, 片側シフト作用素, Plancherelの定理
- 比較: 自己共役作用素, 正規作用素, 等長写像
- 発展: Stoneの定理(一径数ユニタリ群), スペクトル定理, Cayley変換, ユニタリ群, 局所コンパクト群のユニタリ表現
参考文献
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