位相空間のPoincaré級数
概要
位相空間のPoincaré級数（Poincaré series of a space）とは、体 $F$ を係数とするコホモロジーの各次数の次元がすべて有限な空間 $X$ について、次元 $\dim_FH^i(X;F)$ を $t^i$ の係数に並べた形式的冪級数 $p^F_X(t)$ である。直積について乗法的で、$F$ 上有限型（各次数の次元が有限）の任意の位相空間について $p^F_{X\times Y}=p^F_Xp^F_Y$ が成り立つ。整数係数ホモロジーが各次数で有限生成なら、標数 $p$ の体での値は有理数係数の値に $p$ 捩れの母関数の $(1+t)$ 倍を足したものになり、有限 CW 複体では $p^F_X(-1)$ が体によらず Euler 標数に等しい。
前提知識: 特異コホモロジー, 普遍係数定理, Künnethの公式, Betti数, 胞体ホモロジー
体 $F$ を係数とする位相空間 $X$ のPoincaré級数（Poincaré series of a space）とは、各次数のコホモロジー $H^i(X;F)$ の次元を係数に並べた形式的冪級数
$$
p^F_X(t)=\sum_{i\ge0}\dim_FH^i(X;F)\,t^i
$$
である（すべての次元が有限であるとき）。有限 CW 複体では多項式になり、$F=\mathbb Q$ のときが Betti数 の記事の Poincaré 多項式である。$\mathbb{RP}^\infty$ や $\mathbb{CP}^\infty$ のような無限次元の CW 複体では本当の冪級数になり、有理式 $1/(1-t)$、$1/(1-t^2)$ で表される。
Poincaré 級数の基本性質は、直積について乗法的であること $p^F_{X\times Y}=p^F_X\,p^F_Y$ である。これは体係数の Künneth の公式の言い換えで、CW 近似を使うと、各次数の次元が有限な任意の位相空間で成り立つ。また、Poincaré 級数は係数体の標数によって変わり、その差は整数係数ホモロジーの捩れで正確に決まる。この記事では、この 2 つを証明し、球面・射影空間などの値を計算する。可換環論の Poincaré 級数（自由分解の Betti 数の母関数）とは別の概念である。
定義
$H^i(X;F)$、$H_i(X;F)$ は $F$ 係数の特異コホモロジー・特異ホモロジーである（特異コホモロジー）。
$F$ を体、$X$ を位相空間とする。すべての $i\ge0$ で $\dim_FH^i(X;F)<\infty$ のとき、$X$ は $F$ 上有限型であるといい、形式的冪級数
$$
p^F_X(t):=\sum_{i\ge0}\dim_FH^i(X;F)\,t^i\in\mathbb Z[\![t]\!]
$$
を $X$ の（$F$ 係数の）Poincaré級数という。
ホモトピー同値写像、さらに弱ホモトピー同値写像は、任意の係数の特異コホモロジーに同型を誘導する（CW近似 の注意「特異ホモロジーと直積」）。したがって $p^F_X$ は $X$ の弱ホモトピー型だけで決まる。空集合では $p^F_\emptyset=0$、一点では $p^F_{\mathrm{pt}}=1$ である。
ホモロジーで定義しても同じ級数になる。
体 $F$、位相空間 $X$、$i\ge0$ について、$\dim_FH^i(X;F)$ が有限であることと $\dim_FH_i(X;F)$ が有限であることは同値であり、そのとき両者は等しい。
特異鎖複体は自由鎖複体なので、普遍係数定理 の系「体を係数とする場合」により $H^i(X;F)\cong\operatorname{Hom}_F(H_i(X;F),F)$ である。$V:=H_i(X;F)$ が有限次元なら、双対空間 $V^*$ は同じ次元をもつ。$V$ が無限次元なら、基底 $B$ は無限集合で、各 $b\in B$ の座標関数 $b^*\in V^*$（$b^*(b)=1$、$b^*(b')=0$（$b'\ne b$））は、$\sum_kc_kb_k^*=0$ を $b_l$ で評価すると $c_l=0$ となるので一次独立である。よって $V^*$ も無限次元である。$\square$
直積と Poincaré 級数
$F$ を体、$X,Y$ を $F$ 上有限型の位相空間とする。このとき直積 $X\times Y$（積位相）も $F$ 上有限型であり、
$$
p^F_{X\times Y}(t)=p^F_X(t)\,p^F_Y(t)
$$
が成り立つ。すなわち $\dim_FH^n(X\times Y;F)=\sum_{i+j=n}\dim_FH^i(X;F)\,\dim_FH^j(Y;F)$ である。
$a_i:=\dim_FH^i(X;F)$、$b_j:=\dim_FH^j(Y;F)$ とおく。ps-lem-dual により $\dim_FH_i(X;F)=a_i$、$\dim_FH_j(Y;F)=b_j$ である。
1．CW 複体の場合． $X,Y$ が CW 複体なら、Künnethの公式 の定理「体係数のホモロジーの Künneth の公式」により、積位相の $X\times Y$ について
$$
H_n(X\times Y;F)\cong\bigoplus_{i+j=n}H_i(X;F)\otimes_FH_j(Y;F)
$$
である。右辺は $i,j\ge0$ の $n+1$ 個の有限次元空間の直和で、$\dim(V\otimes_FW)=\dim V\cdot\dim W$ なので、次元は $\sum_{i+j=n}a_ib_j$ である。ps-lem-dual により $\dim_FH^n(X\times Y;F)$ も同じ値である。
2．一般の場合． CW近似 の定理「CW 近似の存在」により、CW 複体 $Z,W$ と弱ホモトピー同値 $f\colon Z\to X$、$g\colon W\to Y$ がある。弱ホモトピー同値 の命題「直積」の 2 により、$f\times g\colon Z\times W\to X\times Y$（積位相）も弱ホモトピー同値である。弱ホモトピー同値は $F$ 係数の特異コホモロジーに同型を誘導するので（Hat02 Proposition 4.21、p. 356）、$X,Y,X\times Y$ のコホモロジーの次元は $Z,W,Z\times W$ のものと等しく、1 に帰着する。$\square$
この定理は Hat02 Section 3.2 の演習 15（p. 230）の主張である。有限 CW 複体で $F=\mathbb Q$ の場合は Betti数 の命題「直積の Betti 数」と同じ内容であり、上の定理はそれを任意の体・任意の有限型の空間に広げたものである。
係数体の標数による違い
有限生成アーベル群 $H$ の捩れ部分群は、素数冪の位数の巡回群の直和に分解する。素数 $p$ について、そのうち位数が $p$ の冪である直和因子の個数を $s^{(p)}(H)$ と書く（分解によらない）。
$X$ を、すべての $k$ で $H_k(X;\mathbb Z)$ が有限生成であるような位相空間とし、$b_k$ をその階数、$s^{(p)}_k:=s^{(p)}(H_k(X;\mathbb Z))$ とする。$F$ を体とする。
- $F$ の標数が $0$ なら $\dim_FH^k(X;F)=b_k$ であり、$p^F_X=p^{\mathbb Q}_X$ である。
- $F$ の標数が素数 $p$ なら $\dim_FH^k(X;F)=b_k+s^{(p)}_k+s^{(p)}_{k-1}$ であり（$s^{(p)}_{-1}:=0$）、
$$ p^F_X(t)=p^{\mathbb Q}_X(t)+(1+t)\,S^{(p)}_X(t),\qquad S^{(p)}_X(t):=\sum_{k\ge0}s^{(p)}_k\,t^k $$
が成り立つ。
普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」により、分裂する短完全列から
$$
H^k(X;F)\cong\operatorname{Hom}(H_k(X;\mathbb Z),F)\oplus\operatorname{Ext}(H_{k-1}(X;\mathbb Z),F)
$$
である。$H_k(X;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^{b_k}\oplus\bigoplus_l\mathbb Z/q_l^{e_l}$（$q_l$ は素数）と分解し、$\operatorname{Hom}$ と $\operatorname{Ext}$ が有限直和と両立すること（同記事の命題「Ext の計算」の 3）を使って直和因子ごとに計算する。$\operatorname{Hom}(\mathbb Z,F)=F$、$\operatorname{Ext}(\mathbb Z,F)=0$（同命題の 1）である。$m:=q^e$ について、$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/m,F)$ は $mx=0$ となる $x\in F$ の全体と同一視され、$\operatorname{Ext}(\mathbb Z/m,F)\cong F/mF$ である（同命題の 2）。$m$ が $F$ で可逆（$q$ が標数と異なる、または標数 $0$）なら両方とも $0$、$q$ が標数 $p$ に等しいなら $mF=0$ なので両方とも $F$ である。よって $\dim_F\operatorname{Hom}(H_k,F)=b_k+s^{(p)}_k$、$\dim_F\operatorname{Ext}(H_{k-1},F)=s^{(p)}_{k-1}$ であり（標数 $0$ では $s$ の項を $0$ とする）、2 つの主張が従う。冪級数の式は、$\sum_ks^{(p)}_{k-1}t^k=t\,S^{(p)}_X(t)$ から従う。$\square$
$s^{(p)}_k\ge0$ なので、係数ごとに $\dim_FH^k(X;F)\ge b_k$ である。$p^F_X$ がすべての体 $F$ で一致するための必要十分条件は、整数係数ホモロジーに捩れがないことである。また $1+t$ は $t=-1$ で $0$ になるので、$p^F_X$ が多項式であるとき、$p^F_X(-1)=p^{\mathbb Q}_X(-1)$ である。
$X$ が有限 CW 複体なら、すべての体 $F$ について $p^F_X(-1)=\chi(X)$ である。
有限 CW 複体の整数係数ホモロジーは有限生成で、次数が $\dim X$ を超えると $0$ なので（胞体ホモロジー の系「胞体の個数から従うこと」の 1・2）、$p^F_X$ と $S^{(p)}_X$ は多項式である。ps-thm-torsion により $p^F_X(-1)=p^{\mathbb Q}_X(-1)$ であり、Betti数 の定理「Euler 標数と Betti 数」によりこれは $\chi(X)$ である。$\square$
ウェッジ和・懸垂・直積への分解
空でない空間 $X$ について、被約コホモロジー $\tilde H^i(X;F)$ の次元の母関数を $\tilde p^F_X(t)$ と書く。一点への写像が $H^*(\mathrm{pt};F)$ を $H^*(X;F)$ の直和因子として与えるので（一点 $x_0$ への包含が左逆を与える）、$p^F_X=1+\tilde p^F_X$ である。
$F$ を体とする。
- $X,Y$ を $0$ 胞体を基点とする CW 複体で、$F$ 上有限型とすると、$p^F_{X\vee Y}=p^F_X+p^F_Y-1$ である。
- $X$ を空でない $F$ 上有限型の空間、$SX$ をその懸垂とすると、$p^F_{SX}(t)=1+t\bigl(p^F_X(t)-1\bigr)$ である。
1：特異コホモロジーは楔公理を満たし、包含が誘導する $\tilde H^n(X\vee Y;F)\to\tilde H^n(X;F)\oplus\tilde H^n(Y;F)$ は同型である（Hat02 Section 3.1、p. 202）。よって $\tilde p^F_{X\vee Y}=\tilde p^F_X+\tilde p^F_Y$ で、両辺に $1$ を足せばよい。2：懸垂 の注意「係数とコホモロジー」により $\tilde H^{k+1}(SX;F)\cong\tilde H^k(X;F)$（$k\ge0$）であり、$SX$ は弧状連結なので $\tilde H^0(SX;F)=0$ である（特異コホモロジー の命題「0 次コホモロジーと弧状連結成分」）。したがって、$\tilde p^F_{SX}=t\,\tilde p^F_X$ である。$\square$
たとえば $S^n$ は $S^{n-1}$ の懸垂なので、$p_{S^0}=2$ から帰納的に $p_{S^n}=1+t^n$ が得られる。
積公式は、空間が直積に分解しないことを示すのにも使える。
$n\ge1$ とし、弧状連結な空間 $X,Y$ について $S^n$ と $X\times Y$ がホモトピー同値であるとする。このとき、各体 $F$ について、$X,Y$ の少なくとも一方は $\tilde H^*(\,\cdot\,;F)=0$ を満たす。
$y_0\in Y$ について $x\mapsto(x,y_0)$ と射影 $X\times Y\to X$ の合成は恒等写像なので、$H^i(X;F)$ は $H^i(X\times Y;F)\cong H^i(S^n;F)$ の直和因子であり有限次元である。$Y$ も同様なので、ps-thm-product により $1+t^n=p^F_X\,p^F_Y$ である。$X,Y$ は弧状連結なので $p^F_X=1+\sum_{i\ge1}a_it^i$、$p^F_Y=1+\sum_{j\ge1}b_jt^j$（$a_i,b_j\ge0$）と書ける。両方に正の次数の $0$ でない係数があるとして、最小の次数をそれぞれ $i_0,j_0$（$i_0\le j_0$ としてよい）とする。積の $t^{i_0}$ の係数は $a_{i_0}$ 以上なので $i_0=n$ であり、$t^{i_0+j_0}$ の係数は $a_{i_0}b_{j_0}>0$ 以上だが、$i_0+j_0>n$ なのでこれは $0$ のはずで、矛盾する。よって一方は $1$ に等しい。$\square$
$\tilde H^*(\,\cdot\,;F)$ がすべての体で $0$ になっても、空間が可縮とは限らない（非輪状空間）。
例
| 空間 $X$ | 標数 $2$ の体 | 標数が $2$ でない体 |
|---|---|---|
| 球面 $S^n$（$n\ge1$） | $1+t^n$ | $1+t^n$ |
| トーラス $T^n=(S^1)^n$ | $(1+t)^n$ | $(1+t)^n$ |
| $\mathbb{RP}^n$（$n$ は偶数） | $1+t+\cdots+t^n$ | $1$ |
| $\mathbb{RP}^n$（$n$ は奇数） | $1+t+\cdots+t^n$ | $1+t^n$ |
| $\mathbb{RP}^\infty$ | $1/(1-t)$ | $1$ |
| $\mathbb{CP}^n$ | $1+t^2+\cdots+t^{2n}$ | $1+t^2+\cdots+t^{2n}$ |
| $\mathbb{CP}^\infty$ | $1/(1-t^2)$ | $1/(1-t^2)$ |
| $\mathbb{CP}^\infty/\mathbb{CP}^1$ | $1+t^4/(1-t^2)$ | $1+t^4/(1-t^2)$ |
| 向き付け可能な閉曲面 $M_g$ | $1+2gt+t^2$ | $1+2gt+t^2$ |
| 向き付け不可能な閉曲面 $N_g$（$g\ge1$） | $1+gt+t^2$ | $1+(g-1)t$ |
どの行も ps-thm-torsion を整数係数ホモロジーに当てて計算できる。
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球面：$H_k(S^n;\mathbb Z)$ は $k=0,n$ で $\mathbb Z$、ほかは $0$ で捩れがない（胞体ホモロジー の例「球面のホモロジー」）。トーラス：$S^1$ の値 $1+t$ と ps-thm-product による。
$\mathbb{RP}^n$：実射影空間 の定理「実射影空間のホモロジー」により、$b_0=1$、$n$ が奇数なら $b_n=1$ で、ほかの $b_k$ は $0$、捩れは奇数の $k< n$ での $\mathbb Z/2$ だけである。よって $s^{(2)}_k=1$（$k$ は奇数、$k< n$）、ほかの $s^{(p)}_k$ は $0$ である。標数が $2$ でなければ $p^F=p^{\mathbb Q}$ である。標数 $2$ では、$n$ が偶数なら $1+(1+t)(t+t^3+\cdots+t^{n-1})=1+t+\cdots+t^n$、奇数なら $1+t^n+(1+t)(t+t^3+\cdots+t^{n-2})=1+t+\cdots+t^n$ である。
$\mathbb{RP}^\infty$：$\mathbb{RP}^{k+1}$ は $\mathbb{RP}^\infty$ の $(k+1)$ 骨格で（実射影空間 の例「無限次元実射影空間」）、包含は $H_k(\mathbb{RP}^{k+1};\mathbb Z)\cong H_k(\mathbb{RP}^\infty;\mathbb Z)$ を誘導する（Hat02 Lemma 2.34 (c)、p. 137）。よって $b_0=1$、$k\ge1$ で $b_k=0$、奇数の $k$ で $H_k\cong\mathbb Z/2$ である。標数 $2$ では $1+(1+t)(t+t^3+t^5+\cdots)=1+(1+t)\frac{t}{1-t^2}=\frac1{1-t}$ である。
$\mathbb{CP}^n$、$\mathbb{CP}^\infty$、$\mathbb{CP}^\infty/\mathbb{CP}^1$：胞体はそれぞれ次元 $0,2,\dots,2n$、すべての偶数次元、$0,4,6,8,\dots$ に 1 つずつあり（CW複体 の命題「射影空間の CW 構造」、$\mathbb{CP}^\infty$ はその和集合、商の胞体は Hat02 p. 8）、隣り合う次元に胞体がない。胞体ホモロジー の系「胞体の個数から従うこと」の 3 により $H_k(X;\mathbb Z)$ は $k$ 胞体を基底とする自由アーベル群なので、どの体でも $p^F_X(t)=\sum_kc_kt^k$（$c_k$ は $k$ 胞体の個数）である。
閉曲面：胞体ホモロジー の例「閉曲面」により、$M_g$ のホモロジーは $\mathbb Z,\mathbb Z^{2g},\mathbb Z$ で捩れがなく、$N_g$ は $\mathbb Z,\mathbb Z^{g-1}\oplus\mathbb Z/2,0$ である。$N_g$ では $s^{(2)}_1=1$ なので、標数 $2$ で $1+(g-1)t+(1+t)t=1+gt+t^2$ である。
標数 $2$ と標数 $0$ の差は、ps-thm-torsion のとおり $(1+t)$ の倍数になっている。たとえば $\mathbb{RP}^2$ では $1+t+t^2=1+(1+t)t$ である。$\mathbb{RP}^\infty$ は、標数が $2$ でない体では一点と同じ Poincaré 級数 $1$ をもち、整数係数ホモロジーの $2$ 捩れは $\mathbb F_2$ 係数でだけ見える。一方 $\mathbb{CP}^\infty$ の値はどの体でも同じで、これは整数係数ホモロジーに捩れがないことと同値である（ps-thm-torsion の後の注意）。向き付け不可能な閉曲面 $N_g$ でも、標数 $2$ の体でだけ $2$ 次の係数が $1$ になり、ps-cor-euler のとおり $t=-1$ での値 $2-g$ はどちらの列でも同じである。
Poincaré 級数はコホモロジーの次元だけを見るので、ホモトピー型を決めない。$\mathbb{CP}^2$ と $S^2\vee S^4$ はどの体でも $1+t^2+t^4$ だが、カップ積で区別され、ホモトピー同値でない（カップ積 の系「コホモロジー群が同じで環が異なる空間」）。コホモロジー環 $H^*(X;F)$ を次数付き代数とみると、$p^F_X$ はその Hilbert 級数にあたる（Hilbert関数）。たとえば $H^*(\mathbb{CP}^\infty;F)$ は $2$ 次の元 $1$ つで生成される多項式環で、$1/(1-t^2)$ はその Hilbert 級数である。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 係数が体（$\mathbb Z$ 係数に替え、$\dim$ を最小生成元の個数 $\mu$ に替える） | $X=Y=\mathbb{RP}^2$ | 積公式 ps-thm-product |
| 次元が有限 | 可算無限個の点からなる離散空間 $D$、$F=\mathbb F_2$ | $\dim H_0(D;F)=\dim H^0(D;F)$（ps-lem-dual） |
1 行目では $\sum_k\mu(H^k)t^k$ が $X\times Y$ で $1+2t^2+t^3+t^4$、$X$ と $Y$ でそれぞれ $1+t^2$ になり、積と一致しない。2 行目では $H_0$ は可算次元、$H^0$ は非可算次元である。
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1 行目：$H_*(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z)$ は $\mathbb Z,\mathbb Z/2,0$ で（実射影空間 の定理「実射影空間のホモロジー」）、普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」と命題「Ext の計算」により $H^*(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z)$ は $\mathbb Z,0,\mathbb Z/2$ なので、$\mu$ の列は $1,0,1$ である。整数係数の Künneth の短完全列（Künnethの公式、Hat02 Theorem 3B.6、p. 275）は分裂し、$\operatorname{Tor}(\mathbb Z/2,\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2$ なので、$H_*(\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2;\mathbb Z)$ は次数 $0$ から順に $\mathbb Z$、$(\mathbb Z/2)^2$、$\mathbb Z/2$（$H_1\otimes H_1$）、$\mathbb Z/2$（$\operatorname{Tor}(H_1,H_1)$）、$0$ である。普遍係数定理により $H^*(\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2;\mathbb Z)$ は $\mathbb Z$、$0$、$(\mathbb Z/2)^2$、$\mathbb Z/2$、$\mathbb Z/2$ であり、$\mu$ の列は $1,0,2,1,1$ である。一方 $(1+t^2)^2=1+2t^2+t^4$ で、$t^3$ の係数が異なる。体 $F=\mathbb F_2$ では $(1+t+t^2)^2$ が正しい値である。
2 行目：$H_0(D;F)$ は $D$ の点を基底とするベクトル空間 $F^{(D)}$ で可算次元、$H^0(D;F)\cong\operatorname{Hom}_F(F^{(D)},F)=F^D$ は $D$ から $\mathbb F_2$ への写像全体で、非可算集合である。可算次元の $\mathbb F_2$ ベクトル空間は可算集合なので、$H^0(D;F)$ は可算次元でなく、2 つの次元は等しくない（どちらも無限なので $D$ は有限型でない）。
補足
- 可換環論の Poincaré 級数：局所環 $R$ 上の加群の極小自由分解の Betti 数 $\dim_k\operatorname{Tor}^R_i(M,k)$ の母関数も Poincaré 級数とよばれる（最小重複度Cohen–Macaulay局所環 の節「自由分解とPoincaré級数」）。次数付き加群の次元の母関数は Hilbert 級数ともよばれる（Hilbert関数）。位相空間の Poincaré 級数とは定義が異なる。
- 整数係数と体係数：ps-thm-torsion は、Poincaré 級数を素数ごとに比べると、整数係数ホモロジーの捩れが「次数 $k$ と $k+1$ に 1 つずつ」現れることを示す。$\mathbb F_p$ 係数の級数が $\mathbb Q$ 係数の級数より大きいことが、$p$ 捩れの存在の判定になる。
関連項目
参考文献
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