Alexander多項式

$F$ はコンパクトで局所可縮である。Alexander 双対により $\tilde H_i(S^3\setminus F)\cong\tilde H^{2-i}(F)$ である（Hat02 Corollary 3.45、p. 255）。$F$ は $n$ 個の円周のウェッジ和とホモトピー同値なので $\tilde H^2(F)=0$、$H^1(F)\cong\mathbb{Z}^n$ であり、$S^3\setminus F$ は弧状連結で $H_1(S^3\setminus F)\cong\mathbb{Z}^n$ である。絡み数 の記事の命題「補空間の 1 次元ホモロジー」の証明と同じく、無限遠点を除いても基本群は変わらないので、$Y$ についても同じことが成り立つ。
各 $a_j$ は $F^\circ$ の中の結び目で、$Y\subset\mathbb{R}^3\setminus a_j$ なので、$\gamma\mapsto\operatorname{lk}(a_j,\gamma)$ は準同型 $H_1(Y)\to\mathbb{Z}$ を定める（絡み数 の記事の命題「補空間の 1 次元ホモロジー」の証明と同じ議論）。これらを並べた準同型を $\ell\colon H_1(Y)\to\mathbb{Z}^n$ とする。
帯 $B_j$ の芯の中点 $q_j$ で、芯に垂直な平面を考える。Seifert のアルゴリズムの帯は $\mathbb{R}^3$ のイソトピーでいくらでも細くできるので、帯は十分細いとしてよい。すると $q_j$ の近くでは、この平面と $F$ の交わりは帯を横切る弧だけで、その両端は $\partial F=K$ の上にある。この平面の中で、その弧を囲む小さな円周を $b_j$、それが囲む円板を $E_j$ とする。$b_j$ は $F$ と交わらず、$E_j\cap F$ はその弧である。$a_i$ は帯 $B_i$ の芯をちょうど $1$ 回通り、ほかの帯を通らないので、$E_j\cap a_i$ は $i=j$ のとき $1$ 点 $q_j$（$a_j$ は芯に沿って $E_j$ と横断的に交わる）、$i\ne j$ のとき空である。$E_j$ は $b_j$ の Seifert 曲面なので、絡み数 の記事の定理「Seifert 曲面による公式」と対称性により
$$ \operatorname{lk}(a_i,b_j)=\operatorname{lk}(b_j,a_i)=E_j\cdot a_i=\pm\delta_{ij} $$
で、$b_j$ の向きを選んで $+\delta_{ij}$ にできる。
よって $\ell(b_j)$ は $\mathbb{Z}^n$ の標準基底で、$\ell$ は全射である。$H_1(Y)\cong\mathbb{Z}^n$ から $\mathbb{Z}^n$ への全射準同型は、分裂して核が階数 $0$ の自由アーベル群になるので同型である。したがって $[b_j]$ は基底で、$\ell([\gamma])=(\operatorname{lk}(a_j,\gamma))_j$ から最後の式が従う。$\square$

空間の分割。 $Y=X\setminus F^\circ=\mathbb{R}^3\setminus F$ と $U=h(F^\circ\times(-1,1))$ はともに $X$ の開集合で、$X=Y\cup U$、
$$ Y\cap U=U^+\sqcup U^-,\qquad U^{\pm}:=h\bigl(F^\circ\times(0,\pm1)\bigr) $$
である（$(0,-1)$ は区間 $(-1,0)$ の意味）。$U,U^+,U^-$ はどれも $F^\circ$ とホモトピー同値で、$F^\circ$ は $F$ とホモトピー同値である（境界のカラーを縮める）。$H_1(U^\pm)$、$H_1(U)$ を $h$ で $H_1(F)$ と同一視すると、包含 $U^\pm\hookrightarrow U$ は恒等写像になる。包含 $U^\pm\hookrightarrow Y$ が引き起こす写像を $\iota_\pm\colon H_1(F)\to H_1(Y)$ とすると、$\iota_\pm[c]=[c^\pm]$ である。
持ち上げ。 $Y$ の閉曲線 $\gamma$ は $F$ と交わらないので、絡み数 の記事の系「Seifert 曲面と交わらない場合」により $\varphi(\gamma)=\operatorname{lk}(K,\gamma)=0$ である（その証明は $\gamma$ が自己交差してもそのまま通用する）。$U$ の閉曲線は $U^+$ の閉曲線にホモトピックなので、これも $\varphi=0$ である。よって $\pi_1(Y)$、$\pi_1(U)$ の像は $\ker\varphi=p_*\pi_1(X_\infty)$ に含まれ、持ち上げの判定法（Hat02 Proposition 1.33、p. 61）により $Y$ と $U$ は $X_\infty$ に持ち上がる。$Y$ の持ち上げを $\tilde Y$ とすると $p^{-1}(Y)=\bigsqcup_{k\in\mathbb{Z}}t^k\tilde Y$ で、各 $t^k\tilde Y$ は $p$ で $Y$ と同相である。$U$ についても同様である。
$\tilde Y$ の中の $U^-$ の持ち上げを $\tilde U^-$ とし、それを含む $U$ の持ち上げを $\tilde U$ とする。$\tilde U$ に含まれる $U^+$ の持ち上げ $\tilde U^+$ がどのシートにあるかを調べる。$x\in F^\circ$ から $h(x,-\tfrac12)$ から $h(x,\tfrac12)$ への道 $\delta$ は $F$ を $\nu$ の向きに $1$ 回横切り、それを $Y$ の中の道 $\varepsilon$ で閉じた閉曲線 $\gamma$ は、絡み数 の記事の定理「Seifert 曲面による公式」により $\varphi(\gamma)=F\cdot\gamma=+1$ である。$\gamma$ の持ち上げは $\tilde Y$ から出発し、$\tilde\delta\subset\tilde U$ を通って $\tilde U^+$ に入り、$\tilde\varepsilon$ は $p^{-1}(Y)$ の $1$ つのシートにとどまって終点 $t\cdot(\text{始点})\in t\tilde Y$ に着く。よって $\tilde U^+\subset t\tilde Y$ である。
Mayer–Vietoris 完全列。 $X_\infty=\mathcal{A}\cup\mathcal{B}$、$\mathcal{A}=p^{-1}(Y)$、$\mathcal{B}=p^{-1}(U)$ とすると、$\mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\bigsqcup_k t^k(\tilde U^+\sqcup\tilde U^-)$ である。$t$ が各項に作用するので、$\Lambda$ 加群として
$$ H_1(\mathcal{A})\cong\Lambda\otimes H_1(Y),\quad H_1(\mathcal{B})\cong\Lambda\otimes H_1(F),\quad H_1(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})\cong\Lambda\otimes\bigl(H_1(F)\oplus H_1(F)\bigr) $$
であり、$H_0$ についても同様に $H_0(\mathcal{A})\cong H_0(\mathcal{B})\cong\Lambda$、$H_0(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})\cong\Lambda^2$ である。Mayer–Vietoris 完全列（Mayer–Vietoris完全列 の定理「Mayer–Vietoris 完全列」、写像 $\Phi(\alpha)=(\alpha,-\alpha)$）
$$ H_1(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})\xrightarrow{\Phi}H_1(\mathcal{A})\oplus H_1(\mathcal{B})\to H_1(X_\infty)\to H_0(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})\xrightarrow{\Phi}H_0(\mathcal{A})\oplus H_0(\mathcal{B}) $$
の写像はすべて $t$ と可換である。$\tilde U^+\subset t\tilde Y$、$\tilde U^-\subset\tilde Y$、$\tilde U^\pm\subset\tilde U$ から
$$ \Phi(\alpha,\beta)=\bigl(t\,\iota_+\alpha+\iota_-\beta,\ -(\alpha+\beta)\bigr)\qquad(\alpha\in H_1(\tilde U^+),\ \beta\in H_1(\tilde U^-)) $$
で、$H_0$ でも同じ形 $\Phi(x,y)=(tx+y,-(x+y))$ である。後者は単射である：$tx+y=0$、$x+y=0$ なら $(t-1)x=0$ で、$\Lambda$ は整域なので $x=0$、$y=0$ である。よって $H_1(X_\infty)\cong\operatorname{coker}\Phi$ である。
余核の計算。 $\Phi(0,\beta)=(\iota_-\beta,-\beta)$ を使うと、$H_1(\mathcal{A})\oplus H_1(\mathcal{B})$ の元 $(y,z)$ は $\operatorname{im}\Phi$ を法として $(y+\iota_-z,0)$ と合同である。したがって $\operatorname{coker}\Phi$ は、$H_1(\mathcal{A})$ を $\{t\iota_+\alpha+\iota_-\beta:\alpha+\beta=0\}$ で割ったもの、すなわち
$$ A_K\cong\operatorname{coker}\Bigl(\Lambda\otimes H_1(F)\to\Lambda\otimes H_1(Y),\quad\alpha\mapsto t\,\iota_+\alpha-\iota_-\alpha\Bigr) $$
である。
行列の計算。 lem-alex-dual と lem-alex-seifert-basic により
$$ \iota_+[a_i]=[a_i^+]=\sum_j\operatorname{lk}(a_j,a_i^+)[b_j]=\sum_jV_{ji}[b_j],\qquad \iota_-[a_i]=[a_i^-]=\sum_j V_{ij}[b_j] $$
である。よって基底 $[a_i]$、$[b_j]$ について、写像 $\alpha\mapsto t\iota_+\alpha-\iota_-\alpha$ の行列の $(j,i)$ 成分は $tV_{ji}-V_{ij}$、すなわち行列は $tV-V^{\mathsf T}$ である。正方行列による表示なので $\Delta_K\doteq\det(tV-V^{\mathsf T})$ である。$\square$

鎖複体の短完全列。 特異 $q$ 単体 $\sigma\colon\Delta^q\to X$ は、$\Delta^q$ が単連結なので $X_\infty$ に持ち上がり、その持ち上げの全体は $\{t^k\tilde\sigma\}_{k\in\mathbb{Z}}$ である（Hat02 Proposition 1.33、p. 61）。よって特異鎖群 $C_q(X_\infty)$ は、各 $\sigma$ の持ち上げを $1$ つずつ選んだものを基底とする自由 $\Lambda$ 加群で、$p_\sharp\colon C_q(X_\infty)\to C_q(X)$ は $t\mapsto1$ で $\Lambda$ を $\mathbb{Z}$ に移す写像と同じ形をしている。$t\mapsto1$ の核は $(t-1)\Lambda$ で、$\Lambda$ は整域なので $t-1$ の掛け算は単射である。したがって鎖複体の短完全列
$$ 0\to C_\bullet(X_\infty)\xrightarrow{\,t-1\,}C_\bullet(X_\infty)\xrightarrow{\,p_\sharp\,}C_\bullet(X)\to0 $$
があり、ホモロジーの長完全列
$$ H_1(X_\infty)\xrightarrow{t-1}H_1(X_\infty)\xrightarrow{p_*}H_1(X)\xrightarrow{\ \partial\ }H_0(X_\infty)\xrightarrow{t-1}H_0(X_\infty) $$
が得られる。
$t-1$ の全射性。 $X_\infty$ は弧状連結なので $H_0(X_\infty)\cong\mathbb{Z}$ で、$t$ は自明に作用し、最後の $t-1$ は $0$ である。よって $\partial\colon H_1(X)\cong\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ は全射で、したがって同型である。完全性から $p_*=0$ で、最初の $t-1$ は $A_K=H_1(X_\infty)$ の上で全射である。
行列式へ。 thm-alex-seifert の表示 $\Lambda^n\xrightarrow{M}\Lambda^n\to A_K\to0$（$M=tV-V^{\mathsf T}$）に $\otimes_\Lambda\mathbb{Z}$（$t\mapsto1$）を施すと、右完全性により $A_K/(t-1)A_K$ は整数行列 $M(1)$ で表示される。これが $0$ なので $M(1)\colon\mathbb{Z}^n\to\mathbb{Z}^n$ は全射で、$\det M(1)=\pm1$ である。$\Delta_K\doteq\det M$ なので $\Delta_K(t)=\pm t^k\det M(t)$ で、$\Delta_K(1)=\pm\det M(1)=\pm1$ である。$M(1)=V-V^{\mathsf T}$ である。$\square$

対角成分。 ねじれがないとき、$D_0$ と帯の平らな部分では $a_i^+$ は $a_i$ を真上に少し持ち上げたものである。$a_i^+$ をさらに水平に少しずらすと（高さが違うので $a_i$ と交わらないまま）、$a_i$ と $a_i^+$ の射影は交わらない平行な $2$ つの曲線になる（$a_i$ の射影は自己交差のない閉曲線である）。交差がないので 絡み数 の記事の定理「交差の符号による公式」により $\operatorname{lk}(a_i,a_i^+)=0$ である。帯に全ねじれを $1$ 回入れると、$a_i$ と $a_i^+$ はそこで互いに $2$ 回交差し、$2$ つの交差の符号は等しい。絡み数 の記事の系「交差の入れ替えと偶奇」と同じく $\frac12\sum\varepsilon$ の式により、絡み数は $\pm1$ 変わる。ねじれの向きを選んで $+1$ ずつ変わるようにすると、$V_{11}=m$、$V_{22}=n$ である。ねじれは半円の部分にあるので、非対角成分の計算には影響しない。
非対角成分。 $a_1$ と $a_2$ の射影が交わるのは原点と点 $(0,2)$ だけである。原点で $a_1$ は向き $(1,0)$、$a_2$ は向き $(0,1)$ で通り、$(0,2)$ では $a_1$ は向き $(-1,0)$（半円を反時計回り）、$a_2$ は向き $(0,1)$ で、$a_2$ が上を通る。
$V_{12}=\operatorname{lk}(a_1,a_2^+)$：$a_2^+$ は原点で $a_1$ の上にあり、$(0,2)$ でも上にある。符号は原点で $\det_2((0,1),(1,0))=-1$、$(0,2)$ で $\det_2((0,1),(-1,0))=+1$ なので、「第 $2$ 成分が上」の和は $0$ である。
$V_{21}=\operatorname{lk}(a_2,a_1^+)$：$a_1^+$ は原点で $a_2$ の上にあり、符号は $\det_2((1,0),(0,1))=+1$ である。$(0,2)$ では持ち上げた帯 $B_2$ の上の $a_2$ が $a_1^+$ の上にあるので数えない。よって $V_{21}=1$ である。
行列式。 $tV-V^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}m(t-1)&-1\\t&n(t-1)\end{pmatrix}$ の行列式は $mn(t-1)^2+t$ である。$\square$

$G$ の可換化は $\langle a,b\mid 2a=3b\rangle\cong\mathbb{Z}$ で、$\varphi(a)=3$、$\varphi(b)=2$ が全射準同型 $G\to\mathbb{Z}$ を与える（$\varphi$ は符号を除いて一意で、符号の違いは $t\leftrightarrow t^{-1}$ の入れ替えにあたる）。$G$ の表示複体 $Z$（$0$ 胞体 $v$ が $1$ つ、$1$ 胞体 $a,b$、関係 $r=aab^{-1}b^{-1}b^{-1}$ に沿ってつけた $2$ 胞体 $1$ つ）は $\pi_1(Z)\cong G$ をみたす（Hat02 Corollary 1.28 の証明、p. 52）。$\ker\varphi$ に対応する被覆 $Z_\infty$ の胞体は $t^kv$、$t^k\tilde a$（$t^kv$ から $t^{k+3}v$ へ）、$t^k\tilde b$（$t^kv$ から $t^{k+2}v$ へ）、$t^k\tilde r$ である。$\tilde r$ の境界は、語 $r$ を $v$ から持ち上げてたどった道で、$\tilde a$、$t^3\tilde a$ を進み、$t^4\tilde b$、$t^2\tilde b$、$\tilde b$ を逆にたどって $v$ に戻る。よって胞体鎖複体は
$$ \partial\tilde r=(1+t^3)\tilde a-(1+t^2+t^4)\tilde b,\qquad \partial\tilde a=(t^3-1)v,\qquad\partial\tilde b=(t^2-1)v $$
である。$x\tilde a+y\tilde b$ が $1$ 次元の輪体であるのは $x(t^3-1)+y(t^2-1)=0$、すなわち $x(t^2+t+1)=-y(t+1)$ のときである。$t^2+t+1=t(t+1)+1$ なので $t^2+t+1$ と $t+1$ は $\Lambda$ で互いに素で、一意分解性から $x=(t+1)z$、$y=-(t^2+t+1)z$（$z\in\Lambda$）となる。よって輪体の加群は $w:=(t+1)\tilde a-(t^2+t+1)\tilde b$ で生成される自由加群である。
$$ (t+1)(t^2-t+1)=t^3+1,\qquad(t^2+t+1)(t^2-t+1)=t^4+t^2+1 $$
なので $\partial\tilde r=(t^2-t+1)w$ で、$H_1(Z_\infty)\cong\Lambda/(t^2-t+1)$ である。prop-alex-group によりこれが $A_K$ である。$\square$