弧状連結空間

同義語：道連結空間path-connected space

概要

前提知識: 位相空間, 連続写像, 相対位相, 連結空間

定義

道と弧状連結空間

$X$ を位相空間とする。$X$ の点 $x$ から点 $y$ への道（path）とは、閉区間 $[0,1]$（実数直線の部分空間）から $X$ への連続写像 $\gamma\colon[0,1]\to X$ で $\gamma(0)=x$、$\gamma(1)=y$ を満たすものをいう。$x$ を道の始点、$y$ を終点という。
$X$ が空でなく、$X$ の任意の二点 $x,y$ に対して $x$ から $y$ への道が存在するとき、$X$ を弧状連結空間（path-connected space、道連結空間）という。$X$ の部分集合 $A$ が弧状連結であるとは、相対位相を入れた $A$ が弧状連結空間であることをいう。

空空間の扱い

本記事では空空間を弧状連結としない。一方、連結空間の記事では空空間も連結である。この二つの約束は区別する必要があり、下の prop-path-connected-space-connected の含意「弧状連結 $\Rightarrow$ 連結」はどちらの約束でも成り立つ。空空間を弧状連結に含める文献もあるので、引用のさいには注意する。

弧状連結成分

位相空間 $X$ の点 $x,y$ に対し、$x$ から $y$ への道が存在するとき $x\sim y$ と書く。この関係は同値関係であり（prop-path-connected-space-components）、その同値類を $X$ の弧状連結成分（path component、道連結成分）という。弧状連結成分全体の集合を $\pi_0(X)$ と書く。

直感

連結性が「空間を二つの開集合に分離できない」という否定形の条件であるのに対し、弧状連結性は「任意の二点を連続な曲線で実際に結べる」という構成的な条件である。道で結べれば分離はできないので弧状連結空間は連結だが、逆は成り立たず、位相幾何学者の正弦曲線のように、ひと塊でありながら道では渡れない空間がある。多様体やCW複体のように各点の近くが十分よい空間では二つの条件は一致し（thm-path-connected-space-recovery）、弧状連結成分は空間を「道で行き来できる部分」に分ける最も細かい分割である。弧状連結成分の集合 $\pi_0(X)$ はホモトピー不変であり、ホモトピー群 $\pi_n$ の列の出発点になる。

例と反例

凸集合と球面

$\mathbb{R}^n$（Euclid空間）の空でない凸集合 $A$ は弧状連結である。実際、$x,y\in A$ に対し $\gamma(t):=(1-t)x+ty$ は $[0,1]$ から $A$ への連続写像で $x$ と $y$ を結ぶ。特に $[0,1]$、$\mathbb{R}^n$（$n\geq0$）、開球・閉球は弧状連結である。
$n\geq1$ のとき球面 $S^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}\mid\|x\|=1\}$ も弧状連結である。$x,y\in S^n$ が $y\neq-x$ ならば、線分 $(1-t)x+ty$ は原点を通らない（$(1-t)x+ty=0$ なら $\|(1-t)x\|=\|ty\|$ から $t=1/2$、$x=-y$ となる）ので、$\gamma(t):=((1-t)x+ty)/\|(1-t)x+ty\|$ が $S^n$ 内で $x$ と $y$ を結ぶ道である。$y=-x$ のときは、$n\geq1$ なので $x$ と直交する単位ベクトル $z$ をとり、$x$ から $z$ への道と $z$ から $y$ への道をつなげばよい（道のつなぎ方は prop-path-connected-space-components の証明を参照）。

反例：連結だが弧状連結でない空間

位相幾何学者の正弦曲線 $S:=\{(x,\sin(1/x))\mid0< x\leq1\}\cup(\{0\}\times[-1,1])$ は連結だが弧状連結でない。満たす性質は連結性、満たさない性質は弧状連結性であり、破る含意は「連結 $\Rightarrow$ 弧状連結」、すなわち prop-path-connected-space-connected の逆である。連結性と弧状連結でないことの証明は位相幾何学者の正弦曲線の記事の命題（連結である）と定理（弧状連結でない）にある。$S$ の弧状連結成分は、振動するグラフの部分と縦線分 $\{0\}\times[-1,1]$ の二つである。
同種の例として、くし空間から原点を除いた原点抜きくし空間がある（くし空間の記事の命題（原点抜きくし空間は連結だが弧状連結でない））。また、長い直線の記事で扱う拡張長い半直線 $\overline{R}=R\cup\{+\infty\}$ は連結だが弧状連結でない（同記事の定理）。長い直線 $L$ の両端を加えた順序空間（順序位相）$\overline{L}=\{-\infty\}\cup L\cup\{+\infty\}$ も同様である。実際、$\overline{L}$ は連結な $L$ の閉包なので連結である（両端のどの近傍も $L$ と交わる。連結集合の閉包が連結であることは連結空間の記事の命題（連結な集合の閉包も連結）による）。$\overline{L}$ の負の部分と $-\infty$ を $R$ の原点 $0_R$ に送り、非負の部分と $+\infty$ では恒等写像とする写像 $r\colon\overline{L}\to\overline{R}$ は連続である（$r$ は単調な全射で、開区間・開半直線の逆像が開区間・開半直線になるので連続）。もし $-\infty$ から $+\infty$ への道 $\gamma$ があれば、$r\circ\gamma$ は $\overline{R}$ 内で $0_R$ と $+\infty$ を結ぶ道となり、$\overline{R}$ が弧状連結でないことに反する。これらの空間は、thm-path-connected-space-recovery の対偶により局所弧状連結でもない。

反例：保存されない操作

弧状連結性は次の操作では保たれない。いずれも「$\mathbb{R}$ は弧状連結」（ex-path-connected-space-convex）と「二点離散空間 $\{-1,1\}$ は弧状連結でない」（$[0,1]$ は連結なので $[0,1]$ から離散空間への連続写像は定値であり、$-1$ から $1$ への道はない）を用いる。

部分空間：$\mathbb{R}$ の部分空間 $\{-1,1\}$ は弧状連結でない。逆に、弧状連結な部分空間 $\{1\}$ をもつ $\{-1,1\}$ は弧状連結でない。
共通点をもたない合併：$\{-1\}$ と $\{1\}$ はそれぞれ弧状連結だが、合併 $\{-1,1\}$ は弧状連結でない。prop-path-connected-space-union の共通点の仮定は落とせない。
共通部分：単位円周の閉上半円弧と閉下半円弧はそれぞれ弧状連結だが、共通部分は二点 $\{(-1,0),(1,0)\}$ で弧状連結でない。
連続写像による逆像：$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$f(t)=t^2$ に対し、弧状連結な $\{1\}$ の逆像は $\{-1,1\}$ である（連続像は保つ。prop-path-connected-space-image）。
直和：二つの空でない弧状連結空間の位相的直和（非交和）は弧状連結でない。

性質

弧状連結ならば連結

弧状連結空間は連結である。逆は成り立たない（rem-path-connected-space-sine-curve）。

この命題の証明は連結空間の記事の命題（弧状連結ならば連結）にある。要点を再掲する。基点 $x$ を固定すると、$x$ を始点とする各道の像は連結な $[0,1]$ の連続像として連結であり、それらはすべて $x$ を含むので、その合併は連結である（区間の連結性・連続像・共通点をもつ族の合併については同記事の定理（実数直線の連結部分集合）・（連続像は連結）・命題（共通点をもつ族の和））。弧状連結性からこの合併は $X$ 全体なので、$X$ は連結である。$\square$

弧状連結成分の基本性質

位相空間 $X$ について次が成り立つ。

関係 $\sim$（$x$ から $y$ への道が存在する）は同値関係である。
各弧状連結成分は弧状連結であり、$X$ の弧状連結な部分集合は一つの弧状連結成分に含まれる。すなわち弧状連結成分は、包含に関して極大な弧状連結部分集合である。
$X$ が弧状連結であることと、$\pi_0(X)$ が一点集合であることは同値である。
各弧状連結成分は一つの連結成分（連結空間の記事の定義）に含まれる。

定値写像 $t\mapsto x$ は $x$ から $x$ への道なので反射的である。$\gamma$ が $x$ から $y$ への道なら $\bar\gamma(t):=\gamma(1-t)$ は $y$ から $x$ への道なので対称的である。$\alpha$ が $x$ から $y$ への道、$\beta$ が $y$ から $z$ への道のとき、
$$(\alpha\cdot\beta)(t):=\begin{cases}\alpha(2t)&(0\leq t\leq1/2)\\ \beta(2t-1)&(1/2\leq t\leq1)\end{cases}$$
は $t=1/2$ で両方の定義が $y$ に一致し、閉集合 $[0,1/2]$ と $[1/2,1]$ の上でそれぞれ連続なので、貼り合わせの補題により連続である。これは $x$ から $z$ への道であり、推移的である。
$C$ を弧状連結成分とし、$x,y\in C$ とする。$x$ から $y$ への道 $\gamma$ をとると、各 $s\in[0,1]$ について $t\mapsto\gamma(st)$ は $x$ から $\gamma(s)$ への道なので $\gamma(s)\sim x$、すなわち $\gamma([0,1])\subset C$ である。したがって $\gamma$ は $C$ 内の道（相対位相について連続）であり、$C$ は弧状連結である。$A$ を弧状連結な部分集合とすると、$A$ の二点は $A$ 内の道で結ばれ、それは $X$ 内の道でもあるので、$A$ の二点は同値であり、$A$ は一つの成分に含まれる。
$X$ が弧状連結なら、$X$ は空でなく任意の二点が同値なので同値類はちょうど一つである。逆に同値類がちょうど一つなら $X$ は空でなく、任意の二点が同値なので弧状連結である。
各弧状連結成分は (2) により弧状連結、したがって連結（prop-path-connected-space-connected）なので、その各点の連結成分に含まれる。$\square$

連続像

$X$ が弧状連結で $f\colon X\to Y$ が連続写像ならば、像 $f(X)$ は $Y$ の弧状連結な部分集合である。特に弧状連結性は位相的性質（同相で不変）である。

$f(X)$ は空でない。$f(x),f(x')\in f(X)$ に対し、$x$ から $x'$ への道 $\gamma$ をとると、$f\circ\gamma$ は $f(X)$ に値をとる連続写像で $f(x)$ と $f(x')$ を結ぶ。$\square$

共通点をもつ族の合併

$\{A_i\}_{i\in I}$（$I\neq\emptyset$）を位相空間 $X$ の弧状連結な部分集合の族とし、共通の点 $p\in\bigcap_{i\in I}A_i$ が存在するとする。このとき合併 $\bigcup_{i\in I}A_i$ は弧状連結である。

合併は $p$ を含むので空でない。合併の二点 $x\in A_i$、$y\in A_j$ に対し、$A_i$ 内で $x$ から $p$ への道と、$A_j$ 内で $p$ から $y$ への道をとってつなげば（prop-path-connected-space-components の証明）、合併内で $x$ と $y$ を結ぶ道が得られる。$\square$

直積

選択公理の下で、弧状連結空間の族 $(X_i)_{i\in I}$ の直積 $\prod_{i\in I}X_i$（直積位相）は弧状連結である。$I$ が有限の場合は選択公理を要しない。

各 $X_i$ は空でないので、選択公理により直積は空でない。直積の二点 $x=(x_i)$、$y=(y_i)$ に対し、各 $i$ について $x_i$ から $y_i$ への道 $\gamma_i$ を一つずつ選ぶ（$I$ が有限なら有限回の選択である）。$\gamma(t):=(\gamma_i(t))_{i\in I}$ は、各射影との合成 $\gamma_i$ が連続なので直積位相について連続であり、$x$ から $y$ への道である。$I=\emptyset$ のときの直積は一点空間で弧状連結である。$\square$

弧状連結成分のホモトピー不変性

連続写像 $f\colon X\to Y$ は $[x]\mapsto[f(x)]$ により写像 $\pi_0(f)\colon\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$ を矛盾なく定め、$\pi_0(g\circ f)=\pi_0(g)\circ\pi_0(f)$、$\pi_0(\mathrm{id}_X)=\mathrm{id}_{\pi_0(X)}$ が成り立つ。ホモトピック（homotopic）な写像 $f\simeq g$ は同じ写像 $\pi_0(f)=\pi_0(g)$ を誘導する。したがって $X$ と $Y$ がホモトピー同値（ホモトピー同値）ならば $\pi_0(X)$ と $\pi_0(Y)$ の間に全単射があり、特に弧状連結性と弧状連結成分の個数はホモトピー不変である。

$x\sim x'$ なら、結ぶ道 $\gamma$ に $f$ を合成した $f\circ\gamma$ が $f(x)$ と $f(x')$ を結ぶので $f(x)\sim f(x')$ であり、$\pi_0(f)$ は代表元の取り方によらない。合成と恒等写像に関する式は代表元の式から直ちに従う。$H\colon X\times[0,1]\to Y$ を $f$ から $g$ へのホモトピー（$H(x,0)=f(x)$、$H(x,1)=g(x)$）とすると、各 $x$ に対し $t\mapsto H(x,t)$ は $f(x)$ から $g(x)$ への道なので $[f(x)]=[g(x)]$ である。$f\colon X\to Y$ と $h\colon Y\to X$ が $h\circ f\simeq\mathrm{id}_X$、$f\circ h\simeq\mathrm{id}_Y$ を満たせば、$\pi_0(h)\circ\pi_0(f)=\pi_0(h\circ f)=\pi_0(\mathrm{id}_X)=\mathrm{id}$、同様に $\pi_0(f)\circ\pi_0(h)=\mathrm{id}$ なので $\pi_0(f)$ は全単射である。$\square$

局所弧状連結性

位相空間 $X$ が局所弧状連結（locally path-connected）であるとは、各点 $x\in X$ とその任意の開近傍 $U$ に対し、弧状連結な開集合 $V$ で $x\in V\subset U$ となるものが存在することをいう。空空間はこの条件を空虚に満たす。

連結性からの回復

$X$ を空でない位相空間とする。$X$ が連結かつ局所弧状連結ならば、$X$ は弧状連結である。より一般に、局所弧状連結空間では各弧状連結成分は開かつ閉（開かつ閉集合）であり、弧状連結成分と連結成分は一致する。

$X$ を局所弧状連結、$C$ を弧状連結成分とする。$x\in C$ に対し、$x$ を含む弧状連結な開集合 $V$ をとると（$U=X$ として定義を適用する）、$V$ は一つの弧状連結成分に含まれ（prop-path-connected-space-components (2)）、それは $x$ を含むので $C$ である。よって $C$ は開集合である。$C$ の補集合は他の弧状連結成分の合併なので開であり、$C$ は閉でもある。
$D$ を連結成分とし、$x\in D$ の弧状連結成分を $C$ とすると $C\subset D$ である（prop-path-connected-space-components (4)）。$C$ は $X$ で開かつ閉なので、$D$ の中でも（相対位相について）開かつ閉であり、空でない。$D$ は連結なので $C=D$ である。
$X$ が空でなく連結なら、連結成分は $X$ 自身だけであり、それが弧状連結成分に等しいので、$X$ は弧状連結である。$\square$

大域と局所の違い

弧状連結性と局所弧状連結性の間に含意はなく、四通りの組み合わせがすべて実現する。

$[0,1]$ は弧状連結かつ局所弧状連結である（相対開区間が凸なので、弧状連結な開近傍の基本近傍系をなす）。
$\{0\}\cup[1,2]$ は局所弧状連結だが弧状連結でない。
くし空間 $C$ は弧状連結だが局所弧状連結でない（くし空間の記事の命題（くし空間は弧状連結である）・（くし空間は極限の歯の上の各点で局所連結でない）。局所弧状連結なら局所連結である）。
$S:=\{0\}\cup\{1/n\mid n\geq1\}\subset\mathbb{R}$ は弧状連結でも局所弧状連結でもない。実際、$S$ の相異なる二点の間には $S$ に属さない実数があるので、中間値の定理により $S$ 内の道は定値に限られる。したがって $S$ の弧状連結成分は一点集合であり、$0$ は $S$ の孤立点でないので、$0$ を含む弧状連結な開集合はない。
弧状連結性は大域的な条件、局所弧状連結性は各点の近傍に関する条件であり、thm-path-connected-space-recovery は連結性という大域的な仮定の下で後者から前者を回復する。

局所弧状連結性を保つ構成

局所弧状連結空間の族の位相的直和は局所弧状連結である。有限個の局所弧状連結空間の直積は局所弧状連結である。局所弧状連結空間の開部分集合は局所弧状連結である。

直和では、各点 $x$ の開近傍 $U$ と $x$ の属する成分 $X_i$ に対し、$U\cap X_i$ は $X_i$ の開集合なので、$X_i$ 内の弧状連結な開集合 $V$ で $x\in V\subset U\cap X_i$ となるものがあり、$V$ は直和の開集合でもある。直積 $X\times Y$ では、$(x,y)$ の開近傍は基本開集合 $U\times U'$ を含み、$x\in V\subset U$、$y\in V'\subset U'$ なる弧状連結な開集合をとれば、$V\times V'$ は開集合で、prop-path-connected-space-product により弧状連結である。有限個の因子についても同様である。開部分集合 $W$ では、$x\in W$ の $W$ における開近傍は $X$ の開近傍でもあるので、$X$ で得られる弧状連結な開集合 $V\subset U\subset W$ がそのまま $W$ の開集合になる。$\square$

反例：局所弧状連結性が保存されない操作

rem-path-connected-space-local-comparison の収束列空間 $S=\{0\}\cup\{1/n\mid n\geq1\}$ を用いる。

部分空間：$S$ は局所弧状連結な $\mathbb{R}$ の部分空間だが局所弧状連結でない。したがって局所弧状連結性は（開でない）部分空間に遺伝しない。逆に、$S$ の一点部分空間は局所弧状連結なので、部分空間から全空間への含意も成り立たない。
合併：$A:=\{0\}\times[0,1]$ と $B:=([0,1]\times\{0\})\cup\bigcup_{n\geq1}\{1/n\}\times[0,1]$ はそれぞれ局所弧状連結（$A$ は区間、$B$ の各点は線分の合併の中に弧状連結な小近傍をもつ）だが、合併 $A\cup B$ はくし空間なので局所弧状連結でない。
共通部分：$d(x,S):=\inf\{|x-s|\mid s\in S\}$ とし、$P:=\{(x,y)\mid y\leq0\}$、$Q:=\{(x,y)\mid y\geq d(x,S)\}$ とおく。$P$ は閉半平面であり、$Q$ は同相写像 $(x,y)\mapsto(x,y+d(x,S))$ による閉上半平面の像なので、いずれも局所弧状連結である。しかし $P\cap Q=S\times\{0\}$ は $S$ と同相であり、局所弧状連結でない。
連続像：離散位相を入れた $S$ から通常の相対位相をもつ $S$ への恒等写像は連続全射だが、始域は局所弧状連結で終域はそうでない。
逆像：包含写像 $S\hookrightarrow\mathbb{R}$ による局所弧状連結な $\mathbb{R}$ の逆像は $S$ である。

補足：単射な道と弧

弧連結性

位相空間 $X$ の弧（arc）とは、$[0,1]$ からその像の上への同相写像を与える連続写像 $\gamma\colon[0,1]\to X$、すなわち $[0,1]$ の $X$ への埋め込み（埋め込み）をいう。空でない $X$ の相異なる任意の二点が弧で結べるとき、$X$ を弧連結（arc-connected、arcwise connected）という。

単射な道と弧の差

弧は道なので、弧連結な空間は弧状連結である（同じ点どうしは定値道で結ぶ）。逆に単射な道は弧とは限らない。通常の位相をもつ $[0,1]$ から、同じ集合に密着位相を入れた空間への恒等写像は単射な道だが、像の位相では $[0,1/2)$ は開でないのに通常の位相では開なので、逆写像は連続でなく、埋め込みでない。ただし $X$ がHausdorff空間なら、単射な道はコンパクト空間 $[0,1]$ から Hausdorff 空間への連続な単射なので像の上への同相写像であり（Mun00 §26 Theorem 26.6）、弧である。

Hausdorff 空間での一致

空でない Hausdorff 空間について、弧状連結であることと弧連結であることは同値である。

一致の定理の出典

弧連結ならば弧状連結であることは上に述べた。逆に、Hausdorff 空間で相異なる二点を結ぶ道から、それらを結ぶ弧を取り出せることの証明は本記事の範囲を超えるので、Bra21 Theorem 1 に譲る（証明はZornの補題を用いる）。

二つの原点をもつ直線

二つの実数直線 $\mathbb{R}\times\{a\}$、$\mathbb{R}\times\{b\}$ の直和で、$t\neq0$ について $(t,a)$ と $(t,b)$ を同一視した商空間 $D$（二重原点直線）を考え、二つの原点を $0_a,0_b$ と書く。$D$ は $T_1$ だが Hausdorff でない（分離公理）。$D$ は弧状連結である：各点は自分の属する直線の像の中で $0_a$ または $0_b$ と結べ、$0_a$ から $0_b$ へは、$0< t<1$ で実数値 $t(1-t)>0$ をとり $\gamma(0)=0_a$、$\gamma(1)=0_b$ とする道がある（各原点の近傍は原点を除いた実数の開区間の像を含むので、この $\gamma$ は両端で連続である）。
しかし $0_a$ と $0_b$ を結ぶ単射な道は存在しない。実際、そのような単射な道 $\gamma$ があれば、$0< t<1$ で $\gamma(t)$ は二つの原点を避ける。二つの原点をともに $0$ に送る連続写像 $r\colon D\to\mathbb{R}$ を合成した $h:=r\circ\gamma$ は、両端で $0$、内部では非零である。$t_0\in(0,1)$ で $c:=h(t_0)\neq0$ とすると、中間値の定理により $h$ は $(0,t_0)$ と $(t_0,1)$ のそれぞれで値 $c/2$ をとる。非零の実数値に対応する $D$ の点は一つなので、$\gamma$ は二つの異なる時刻で同じ点をとり、単射性に反する。したがって $D$ は弧状連結だが弧連結でなく、thm-path-connected-space-arc-hausdorff の Hausdorff の仮定は落とせない。

可縮でも弧連結でない例

二点集合 $E=\{a,b\}$ に密着位相を入れた空間は可縮空間である。$H(x,0)=x$、$H(x,t)=a$（$t>0$）とおくと、$E\times[0,1]$ の開集合は $\emptyset$、$E\times U$（$U$ は $[0,1]$ の開集合）の形なので $H\colon E\times[0,1]\to E$ は連続であり、恒等写像を定値写像へ結ぶ。$E$ は可縮なので弧状連結でもある（rem-path-connected-space-implications）。しかし $[0,1]$ から二点集合への単射は存在しないので、$E$ は弧連結でない。Hausdorff 性なしに可縮性から弧連結性を結論することはできない。

他の連結条件との関係

可縮空間は弧状連結である。証明は単連結空間の記事の命題（可縮ならば単連結）にあり、収縮の終点を経由する道が与えられる。局所可縮な空間（局所可縮空間）は局所弧状連結である（可縮空間の記事の命題（局所可縮性と道））。局所弧状連結空間は局所連結空間である（同記事の命題（局所弧状連結ならば局所連結）。弧状連結な開近傍は連結でもある）。
空でない多様体は、各点の座標近傍内の小さい球が弧状連結な開近傍の基本近傍系をなすので局所弧状連結であり、thm-path-connected-space-recovery により連結性と弧状連結性が同値になる。空でない CW複体も局所可縮であり（Hat02 Appendix, Proposition A.4）、同じ同値が成り立つ。$\mathbb{R}^n$ の開集合についても同様である。単連結空間は定義により弧状連結であり、被覆空間の理論では底空間の弧状連結性と局所弧状連結性が標準的な仮定になる。