弧状連結空間

さらに異なる2点に対しては $\gamma$ として単射な道が取れるとき弧連結(arc-connected,arcwise connected)という。弧連結 $\Longrightarrow$ 弧状連結であるがハウスドルフでは同値となる。弧状連結であるが弧連結でない例として二つの原点を持つ直線(ハウスドルフでなく $T_1$ である。）が有名である。しかしながら上で述べたように弧連結はハウスドルフである場合には弧状連結と同値となることから幾何においては扱われることは少ない。

弧状連結成分

位相空間 $X$ にの2点に対して「それらを繋ぐ道が存在する」という関係は同値関係となる。この同値関係による同値類を弧状連結成分(path-connected component) と呼ぶ。連結成分同様、弧状連結成分全体の濃度は位相不変量となりさらにホモトピー不変量となる。$X$ の弧状連結成分全体はしばしば $\pi_0(X)$ と書かれる。詳しくはホモトピー群を参照されたい。

直感との乖離

長い直線に最大元 $M$ と最小元 $m$ を加えてコンパクト化した位相空間を $X$ とすると直感的にはつながっているように思えるが $m$ と $M$ を結ぶ道が存在しないため弧状連結ではない(連結ではある。)。これは定義域の $[0,1]$ の開集合に比べて $X$ の開集合は余りにも多すぎるために起こる現象であり、弧状連結性は単位閉区間 $[0,1]$ の位相に深く依存しているということを示唆している。
しかしながら連結空間よりも直感的ではあり、例えば原点を抜いたくし空間は連結だが弧状連結でない例として有名である。弧状連結でないことは $(0,1)$ と $(1,0)$ を繋ぐには原点を通らなければならないからということは直感的にも納得できるであろう。連結だが弧状連結でない例として位相幾何学者の正弦曲線も有名である。これが弧状連結でないことは本質的に $\sin(1/x)$ の原点での非連続性である。

位相的性質

遺伝性

• 弧状連結性は部分空間に遺伝しない。
• 部分空間の弧状連結性は全空間の弧状連結性を誘導しない。
• 弧状連結な部分空間同士の和集合は一般に弧状連結でないが、共通部分が空でなければ弧状連結である。
• 弧状連結な部分空間同士の共通部分は弧状連結とは限らない。
• 弧状連結空間の連続写像による像は再び弧状連結である。
• 弧状連結空間の連続写像による逆像は弧状連結とは限らない。
• 2つの弧状連結空間の直和は必ず弧状連結でない。
• 2つの弧状連結空間の直積は再び弧状連結である。

他の位相的性質との関連

• 可縮空間 $\Longrightarrow$ 弧状連結空間 $\Longrightarrow$ 連結空間
• 弧連結 $\Longrightarrow$ 弧状連結空間 $\Longrightarrow$ 連結空間

局所弧状連結空間

一般に弧状連結性と局所弧状連結性に包含はない。代表的な例を以下に挙げる

• 単位閉区間 $[0,1]$ (弧状連結かつ局所弧状連結)
• $\{0\}\cup[1,2]$ (弧状連結ではないが局所弧状連結)
• くし空間 (弧状連結であるが局所弧状連結ではない)
• $\{\frac{1}{n}\in \mathbb{R}\mid n\in \mathbb{N}\}\cup\{0\}$ (弧状連結でも局所弧状連結でもない)

位相的性質(局所版)

遺伝性(局所版)

• 局所弧状連結性は部分空間に遺伝しない。
• 部分空間の局所弧状連結性は全空間の局所弧状連結性を誘導しない。
• 局所弧状連結な部分空間同士の和集合は局所弧状連結とは限らない。
• 局所弧状連結な部分空間同士の共通部分は局所弧状連結であるとは限らない。
• 局所弧状連結空間の連続写像による像は局所弧状連結であるとは限らない。
• 局所弧状連結空間の連続写像による逆像は局所弧状連結とは限らない。
• 2つの局所弧状連結空間の直和は再び局所弧状連結である。
• 2つの局所弧状連結空間の直積は再び局所弧状連結である。

他の位相的性質との関連(局所版)

• 局所可縮 $\Longrightarrow$ 局所弧状連結 $\Longrightarrow$ 局所連結
• 連結かつ局所弧状連結 $\Longrightarrow$ 弧状連結

関連項目

• 連結空間
• 単連結空間
• !FORMULA[36][38042][0]-連結空間
• ホモトピー群