Hilbert関数

$R_m$ は単項式 $x_1^{a_1}\cdots x_r^{a_r}$（$\sum a_id_i=m$）で $R_0$ 上生成される。実際、$R$ の元は $x_i$ の $R_0$ 係数多項式であり、その次数 $m$ の斉次成分はこれらの単項式の $R_0$ 一次結合である。$d_i\ge1$ なので、このような単項式は有限個しかない。
$M$ を斉次元 $\omega_1,\dots,\omega_s$（$\deg\omega_j=e_j$）で生成すると、同じく斉次成分をとって
$$ M_n=\sum_{j=1}^sR_{n-e_j}\,\omega_j\qquad(R_m=0\ (m<0)) $$
となる。よって $M_n$ は有限生成 $R_0$ 加群であり、$n< \min_je_j$ なら $M_n=0$ である。Artin 環上の有限生成加群は有限の長さをもつので（Artin環）、主張が従う。$\square$

準同型が次数を保つので、各 $n$ で $0\to M'_n\to M_n\to M''_n\to0$ は $R_0$ 加群の完全列であり、長さの加法性から $\ell(M_n)=\ell(M'_n)+\ell(M''_n)$ である。後半は $M(-a)_n=M_{n-a}$ から $\sum_n\ell(M_{n-a})t^n=t^a\sum_m\ell(M_m)t^m$ となることによる。$\square$

生成元の個数 $r$ についての帰納法で示す。$R_0$ 上有限生成な次数付き環は Noether 環なので（Noether環 の記事の定理「基底定理（Hilbert）」とその商）、以下に現れる環はすべて定理の仮定を満たす。
$r=0$ なら $R=R_0$ であり、prf-hf-finite の式から $M_n=\sum_{e_j=n}R_0\omega_j$ は $n$ が生成元の次数 $e_1,\dots,e_s$ のどれかでなければ $0$ である。よって $\operatorname{HS}_M$ は Laurent 多項式である。
$r\ge1$ とし、$x=x_r$、$d=d_r$ とおく。$x$ 倍の写像 $M_{q-d}\to M_q$ の核と余核を集めて
$$ K=(0:_Mx)=\{m\in M\mid xm=0\},\qquad L=M/xM $$
とおくと、どちらも次数付き $R$ 加群であり、すべての整数 $q$ について
$$ 0\to K_{q-d}\to M_{q-d}\xrightarrow{\ x\ }M_q\to L_q\to0 $$
が完全である。$M$ は Noether 環上の有限生成加群なので Noether 加群であり、その部分加群 $K$ と商 $L$ はどちらも有限生成である。$x$ は $K$ と $L$ を $0$ にするので、$R$ の生成元のうち $x_r$ は $K,L$ に $0$ で作用し、$K,L$ は $R'=R_0[x_1,\dots,x_{r-1}]$ 上の有限生成な次数付き加群である（$R$ 上の生成元がそのまま $R'$ 上の生成元になる）。
完全列の長さから $\ell(K_{q-d})-\ell(M_{q-d})+\ell(M_q)-\ell(L_q)=0$ であり、これに $t^q$ を掛けてすべての整数 $q$ で足すと
$$ t^d\operatorname{HS}_K(t)-t^d\operatorname{HS}_M(t)+\operatorname{HS}_M(t)-\operatorname{HS}_L(t)=0, $$
すなわち
$$ (1-t^d)\operatorname{HS}_M(t)=\operatorname{HS}_L(t)-t^d\operatorname{HS}_K(t) $$
となる。各級数は負の冪を有限個しか含まないので、和と積は形式的 Laurent 級数として意味をもつ。帰納法の仮定により右辺の二つの級数は $\prod_{i< r}(1-t^{d_i})$ を分母とする形に書けるので、$\operatorname{HS}_M$ は求める形になる。
最後の主張について、$M_n=0$（$n<0$）なら $f=\operatorname{HS}_M\cdot\prod_i(1-t^{d_i})$ は形式的冪級数でもあり、Laurent 多項式で負の冪を含まないものは多項式である。$\square$

等比級数を $e-1$ 回微分する（または $e$ についての帰納法と Pascal の規則 $\sum_{j=0}^m\binom{j+e-2}{e-2}=\binom{m+e-1}{e-1}$）により
$$ \frac1{(1-t)^e}=\sum_{m\ge0}\binom{m+e-1}{e-1}t^m $$
である。よって $a_n=\sum_ic_i\,b_{n-i}$、ただし $b_m=\binom{m+e-1}{e-1}$（$m\ge0$）、$b_m=0$（$m<0$）である。多項式 $P(X)=\binom{X+e-1}{e-1}$ は $m\ge0$ で $b_m$ に等しく、$m=-1,-2,\dots,-(e-1)$ では因子 $(X+|m|)$ が $0$ になるので $P(m)=0=b_m$ である。したがって $m\ge-(e-1)$ のすべての整数で $P(m)=b_m$ である。$n\ge s-e+1$ なら、すべての $i\le s$ について $n-i\ge-(e-1)$ なので、$a_n=\sum_ic_iP(n-i)=\varphi(n)$ となる。各 $P(X-i)$ の $X^{e-1}$ の係数は $1/(e-1)!$ なので、$\varphi$ の先頭の係数は $\sum_ic_i/(e-1)!=g(1)/(e-1)!$ である。$\square$

1：thm-hf-serre により $\operatorname{HS}_M=f(t)/(1-t)^r$ である。$M\ne0$ なので $f\ne0$ であり、$f$ が $(1-t)$ で割り切れる限り約分して、$f(t)=(1-t)^{r-d}g(t)$、$g(1)\ne0$ と書く。ここで $d\ge0$ である。実際 $f$ が $(1-t)^{r+1}$ で割り切れたとすると、$\operatorname{HS}_M=(1-t)^mg(t)$（$m\ge1$）は Laurent 多項式で $t=1$ での値が $0$ になるが、$\operatorname{HS}_M(1)=\sum_n\ell(M_n)$ は $M\ne0$ により正なので矛盾する。Laurent 多項式環 $\mathbb Z[t,t^{-1}]$ でも $t=1$ に代入する準同型の核は $(1-t)$ なので、この約分は意味をもち、$d$ と $g$ は $f$ から一意に決まる。$\operatorname{HS}_M$ から $f$ も決まるので、組 $(d,g)$ は一意である。
2・3：$d\ge1$ なら lem-hf-series を $e=d$ で使うと、$n\ge s-d+1$ で $H_M(n)=\varphi(n)$、$\varphi$ は次数 $d-1$ で先頭の係数 $g(1)/(d-1)!\ne0$ の多項式である。$H_M(n)\ge0$ が無限個の $n$ で $\varphi(n)$ に等しいので、先頭の係数は正であり、$g(1)$ は正の整数である。$d=0$ なら $\operatorname{HS}_M=g$ は Laurent 多項式で、$n>s$ で $H_M(n)=0$ となり、$\varphi_M=0$ が条件を満たす。このとき $M$ は有限個の有限の長さの $M_n$ の直和なので有限の長さをもつ。逆に $M$ が有限の長さなら $M_n\ne0$ となる $n$ は有限個（各 $M_n\ne0$ が長さに $1$ 以上寄与する）なので $\operatorname{HS}_M$ は Laurent 多項式であり、1 の一意性から $d=0$ である。一意性：二つの多項式が無限個の整数で一致すれば、その差は無限個の根をもつので $0$ である。$\square$

1：$\mathfrak M$ の $n$ 個の元の積は次数 $n$ 以上の成分しかもたないので $\mathfrak M^n\subset\bigoplus_{m\ge n}R_m$ である。逆に $m\ge n$ なら、$R=k[R_1]$ により $R_m$ は $R_1$ の元 $m$ 個の積で張られ、それらは $\mathfrak M^m\subset\mathfrak M^n$ に入る。よって $R/\mathfrak M^{n+1}\cong\bigoplus_{j\le n}R_j$、$\mathfrak M^n/\mathfrak M^{n+1}\cong R_n$ である。
$\mathfrak M^c$ で消える $R$ 加群 $N$ について、$N\to N_{\mathfrak M}$ は同型である。実際 $u\in R\setminus\mathfrak M$ は $u=\lambda+v$（$\lambda\in k^\times$、$v\in\mathfrak M$）と書け、$v$ は $N$ 上で $v^c=0$ を満たすので、$u$ は $N$ 上で $\lambda^{-1}\sum_{i< c}(-\lambda^{-1}v)^i$ を逆にもち、全単射に作用するからである。局所化は完全なので $\mathfrak M^nA/\mathfrak M^{n+1}A\cong(\mathfrak M^n/\mathfrak M^{n+1})_{\mathfrak M}\cong R_n$ となる。$x\in\mathfrak M^n$ の類をその次数 $n$ の成分に送るこの同型は、類の積を成分の積に送るので、$\operatorname{gr}_{\mathfrak MA}(A)=\bigoplus_n\mathfrak M^nA/\mathfrak M^{n+1}A$ と $R$ は次数付き環として同型である。
2：$A/\mathfrak M^{n+1}A$ は商が $\mathfrak M^jA/\mathfrak M^{j+1}A\cong R_j$（$0\le j\le n$）となる部分加群の列をもつ。各商は剰余体 $A/\mathfrak MA\cong k$ 上のベクトル空間なので、その $A$ 加群としての長さは $k$ 上の次元 $H_R(j)$ である。長さの加法性から主張が従う。
3：$A$ は Noether 局所環で、極大イデアル $\mathfrak MA$ 自身は $\mathfrak MA$ 準素である。2 により $A$ の Hilbert–Samuel 関数 $n\mapsto\ell_A(A/\mathfrak M^{n+1}A)$ の母関数は
$$ \sum_{n\ge0}\Bigl(\sum_{j=0}^nH_R(j)\Bigr)t^n=\frac{\operatorname{HS}_R(t)}{1-t}=\frac{g(t)}{(1-t)^{d+1}}\qquad(d=d(R)) $$
である。$R\ne0$ なので thm-hf-polynomial の $g(1)$ は正（$d=0$ なら $g(1)=\sum_n H_R(n)>0$）であり、lem-hf-series を $e=d+1$ で使うと、Hilbert–Samuel 関数は十分大きい $n$ で次数 $d$ の多項式に一致する。Hilbert–Samuel関数 の記事の定理「Hilbert–Samuel 次元定理」によりその次数は $\dim A$ なので、$\dim A=d$ である。$d\ge1$ なら thm-hf-polynomial の 3 から $\deg\varphi_R=d-1$ である。$\square$