部屋が二つある家

アフィンな座標変換で $C=[-1,1]^2\times[0,1]$、$F=[-1,1]^2\times\{1\}$ としてよい。点 $x=(u,v,w)\in C$ について $m(x)=\max(\lvert u\rvert,\lvert v\rvert)$ とおき、
$$ \lambda(x)=\min\Bigl(\frac{2}{2-w},\ \frac{1}{m(x)}\Bigr)\quad(m(x)=0\text{ なら第 2 項は }+\infty),\qquad r(x)=p+\lambda(x)(x-p) $$
と定める。ここで $p=(0,0,2)$ である。$r(x)$ は $p$ から $x$ を通る半直線を延ばし、底面 $w=0$ か側面 $m=1$ に当たる点である。$2/(2-w)\in[1,2]$ と $1/m\in[1,+\infty]$ は連続なので $\lambda$ も連続で、$\lambda\ge1$ である。$r(x)=(\lambda u,\lambda v,2+\lambda(w-2))$ の第 3 成分は $0$ 以上かつ $w$ 以下、$\max(\lvert\lambda u\rvert,\lvert\lambda v\rvert)=\lambda m\le1$ であり、$\lambda$ の定義からどちらかの等号が成り立つので、$r(x)\in\partial C\setminus F^\circ$ である。$x$ が底面にあれば $2/(2-w)=1$、側面にあれば $1/m=1$ なので $\lambda=1$ で $r(x)=x$ である。$C$ は凸なので $(x,t)\mapsto(1-t)x+t\,r(x)$ は $C$ の中のホモトピーで、$\partial C\setminus F^\circ$ の点を動かさない。$\square$

$C$ の上では lem-bh-box のホモトピー、$Y'$ の上では恒等写像のままのホモトピーを考える。$C\cap Y'$ の上で両者は一致し（前者はそこで点を動かさない）、$C\times[0,1]$ と $Y'\times[0,1]$ は $Y\times[0,1]$ の閉集合なので、貼り合わせの補題により $Y\times[0,1]\to Y$ の連続写像が得られる。時刻 $1$ で $Y$ は $Y'$ に写り、$Y'$ の点は動かない。$\square$

$Y_i=X\cup K_i\cup K_{i+1}\cup\cdots\cup K_{22}$（$Y_{23}=X$）とおく。$22$ 個の箱は $S$ を内部が重ならないように覆うので $Y_1=S$ である。各 $i$ について、等式
$$ K_i\cap Y_{i+1}=\partial K_i\setminus F_i^\circ $$
（以下 $(\ast)$ と呼ぶ）を示せば、lem-bh-step を $i=1,\dots,22$ と順に使って、$Y_{i+1}$ が $Y_i$ の強変位レトラクトとなる。強変位レトラクトの合成は強変位レトラクトなので、$X$ は $S$ の強変位レトラクトである。
$(\ast)$ は次の三点から従う。(i) どの箱の内部も $X$ と交わらない。$X$ の各部分は整数座標の平面上の長方形で、表の箱の内部を通る格子平面の部分（たとえば $K_5$ の中の $y=1,2$、$K_6$ の中の $y=1,2$）は $X$ に入っていないからである。(ii) 入口の面の内部 $F_i^\circ$ は $X$ に入らず（穴か、壁のない仕切り）、その向こう側は $S$ の外か、表で先に潰した箱である。(iii) 入口以外の各面は、「後の箱と接する面」に挙げた部分を除いて $X$ に含まれる。たとえば $K_2$ の底面は外壁、$K_6$ の $x=3$ の面の $y\in[1,2]$ の部分は下の管の壁、$K_{10}$ の $y=2$ の面は支えの壁 $W_L$ である。(i) と、後の箱の内部が $K_i$ と交わらないことから $K_i\cap Y_{i+1}\subset\partial K_i$ であり、(ii) から $F_i^\circ$ は $Y_{i+1}$ と交わらない。(iii) から、$F_i$ 以外の閉じた面はすべて $Y_{i+1}$ に含まれ、$F_i$ の縁はそれらの面に含まれる。$i\ge12$ は $\rho$ で写して同じである。ただし、天井の穴から届く箱と床下の穴から届く箱は、$X$ の部分（中の床、管の壁）を挟んでしか接しないので、$i\le11$ の段で $K_{12},\dots,K_{22}$ は「後の箱」として $(\ast)$ を乱さない。
$S$ は凸なので可縮であり、その強変位レトラクト $X$ も可縮である。最後の主張を示す。$r\colon S\to X$ を上のレトラクション、$x_0\in X$ とし、$f_t(y)=(1-t)y+tx_0$ を $S$ の中の直線ホモトピーとする。$g_t=r\circ f_t|_X$ は $X$ の中のホモトピーで、$g_0=r|_X=\operatorname{id}_X$、$g_1$ は値 $r(x_0)=x_0$ の定値写像であり、$f_t(x_0)=x_0$ なので $g_t(x_0)=x_0$ がすべての $t$ で成り立つ。$\square$

正方形の構造。 長さ $1$ の辺 $\varepsilon\subset X$ をとる。$X$ の部分 (a)〜(e) の一つ $P$ が $\varepsilon$ を含み、$\varepsilon$ が $P$ の縁にないなら、$P$ の中で $\varepsilon$ の両側にある二枚の正方形が $X$ に入る（$S$ の稜の上の辺は (a) の縁でなく、稜を挟む二つの面に一枚ずつある。穴は稜に接しない）。$\varepsilon$ を含むどの部分でも $\varepsilon$ が縁にあるときは、縁の種類ごとに次のとおりである。

• 天井の穴・床下の穴の縁：外壁の正方形と管の壁の正方形がある。
• 中の床の穴の縁：中の床の正方形と管の壁の正方形がある。
• 中の床の外周（$z=1$ の外壁上）：$\varepsilon$ は外壁の側面の内部にあり、側面の二枚がある。
• 管の壁の縦の縁：管の角で、隣り合う二枚の壁がある。管の壁の横の縁は穴の縁である。
• $W_U$ の縁：$\{0\}\times\{2\}\times[1,2]$ は側面 $x=0$ の内部、$\{1\}\times\{2\}\times[1,2]$ は上の管の角、$[0,1]\times\{2\}\times\{2\}$ は天井の穴でない部分の内部、$[0,1]\times\{2\}\times\{1\}$ は中の床の内部にあり、いずれもそこに二枚ある。$W_L$ は $\rho$ で写して同じである。

細分。 $L$ を、各正方形を三角形に分けた三角形分割とし、$\delta$ を $L$ の辺とする。$\delta$ の中点 $q$ を含む $L$ の単体は $\delta$ と $\delta$ を辺にもつ三角形だけなので、$q$ の小さな近傍の $X$ との交わりはそれらの三角形で覆われる。$\delta$ がある正方形 $Q$ の内部を通るなら、$q$ のまわりの $Q$ の小円板は $\delta$ を含む直線の両側にまたがり、一枚の三角形はその直線の片側にしかないので、二枚以上の三角形が要る。$\delta$ が単位の辺 $\varepsilon$ に含まれるなら、$\varepsilon$ を辺にもつ各正方形 $Q$ について、$q$ のまわりの $Q$ の半円板を覆う三角形が $Q$ の中に一枚以上あり、正方形の構造の結果から $Q$ は二枚以上ある。
崩壊。 正方形・三角形はどれもその辺を含むので、辺は極大な胞体でなく、最初の基本崩壊は $2$ 胞体とその自由な辺の組でなければならない。自由な辺がないので一度も崩壊できず、$X$ は一点でないから崩壊可能でない。$\square$