Jacobi行列

$A$ を $m\times n$ 行列、$b\in\mathbb{R}^m$ とし、$f(x):=Ax+b$ とする。$f$ の第 $i$ 成分は $f_i(x)=\sum_ka_{ik}x_k+b_i$ なので $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=a_{ij}$ であり、すべての点で $J_f(x)=A$ である。とくに $m=n$ なら Jacobi 行列式は定数 $\det A$ である。たとえば $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ なら $\det A=5$ であり、$f$ は単位正方形を、$Ae_1=(2,1)$ と $Ae_2=(1,3)$ が張る面積 $5$ の平行四辺形（を平行移動したもの）に写す（行列式の記事の例「面積としての行列式」）。

$F(r,\theta):=(r\cos\theta,\,r\sin\theta)$ について、$\frac{\partial}{\partial r}(r\cos\theta)=\cos\theta$、$\frac{\partial}{\partial\theta}(r\cos\theta)=-r\sin\theta$、$\frac{\partial}{\partial r}(r\sin\theta)=\sin\theta$、$\frac{\partial}{\partial\theta}(r\sin\theta)=r\cos\theta$ であり（三角関数の導関数）、
$$ J_F(r,\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix},\qquad\det J_F(r,\theta)=r $$
である。$r=0$ では Jacobi 行列式が $0$ になり、実際 $F(0,\theta)=(0,0)$ は $\theta$ によらない。

$S(\rho,\varphi,\theta):=(\rho\sin\varphi\cos\theta,\ \rho\sin\varphi\sin\theta,\ \rho\cos\varphi)$ の Jacobi 行列は
$$ J_S=\begin{pmatrix}\sin\varphi\cos\theta&\rho\cos\varphi\cos\theta&-\rho\sin\varphi\sin\theta\\ \sin\varphi\sin\theta&\rho\cos\varphi\sin\theta&\rho\sin\varphi\cos\theta\\ \cos\varphi&-\rho\sin\varphi&0\end{pmatrix} $$
である。第 3 行で余因子展開すると
$$ \det J_S=\cos\varphi\cdot\rho^2\sin\varphi\cos\varphi\,(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\rho\sin\varphi\cdot\rho\sin^2\varphi\,(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\rho^2\sin\varphi $$
となる（第 1 項は $(3,1)$ 成分 $\cos\varphi$ とその余因子 $\rho^2\sin\varphi\cos\varphi\cos^2\theta+\rho^2\sin\varphi\cos\varphi\sin^2\theta$、第 2 項は $(3,2)$ 成分 $-\rho\sin\varphi$ とその余因子 $-(\rho\sin^2\varphi\cos^2\theta+\rho\sin^2\varphi\sin^2\theta)$ の積）。$\rho=0$ または $\sin\varphi=0$（$z$ 軸の上）で $0$ になる。

$f(x,y):=(x^2-y^2,\,2xy)$ は、複素数 $z=x+iy$ を $z^2$ に写す写像を実部と虚部で書いたものである。
$$ J_f(x,y)=\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix},\qquad\det J_f(x,y)=4(x^2+y^2) $$
であり、点 $(1,2)$ では $\begin{pmatrix}2&-4\\4&2\end{pmatrix}$、行列式 $20$ である。Jacobi 行列は $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ の形、すなわち複素数 $a+ib=2z$ を掛ける写像の行列になっていて、行列式は $|2z|^2=4|z|^2$ である。一般に、複素微分可能な関数を $u+iv$（$u,v$ は実数値）と書くと、正則関数の記事の定理「Cauchy–Riemann の方程式」により $u_y=-v_x$、$v_y=u_x$ なので、Jacobi 行列は $\begin{pmatrix}u_x&-v_x\\v_x&u_x\end{pmatrix}$ の形になり、行列式は $u_x^2+v_x^2$、すなわち複素微分係数の絶対値の 2 乗になる。

ex-jm-polar の $F$ を開集合 $U:=(0,\infty)\times\mathbb{R}$ に制限すると、$U$ のすべての点で $\det J_F=r>0$ である。しかし $F(r,\theta+2\pi)=F(r,\theta)$ なので $F$ は $U$ 上で単射でない。
1 変数では、区間 $I$ 上の微分可能な関数 $g$ の微分係数がどこでも $0$ でなければ $g$ は単射である。実際、$a< b$ で $g(a)=g(b)$ なら、Rolleの定理により $g'(c)=0$ となる $c\in(a,b)$ があるからである。$F$ は「$U$ 上で $C^1$ 級で Jacobi 行列式がどこでも $0$ でない」を満たすが「$U$ 上で単射」を満たさず、この 1 変数の含意の多変数版は成り立たない。Jacobi 行列式が $0$ でないことから言えるのは、各点の近くでの単射性（逆関数定理）だけである。

ex-jm-polar の $F$ と ex-jm-complex-square の $f$ を合成すると $f\bigl(F(r,\theta)\bigr)=(r^2\cos2\theta,\ r^2\sin2\theta)$ となる。直接偏微分すると
$$ J_{f\circ F}(r,\theta)=\begin{pmatrix}2r\cos2\theta&-2r^2\sin2\theta\\2r\sin2\theta&2r^2\cos2\theta\end{pmatrix},\qquad\det J_{f\circ F}=4r^3 $$
であり、確かに $\det J_f(F(r,\theta))\cdot\det J_F(r,\theta)=4r^2\cdot r$ に等しい。点 $(r,\theta)=(2,\pi/6)$ では $F(2,\pi/6)=(\sqrt3,1)$ であり、
$$ J_f(\sqrt3,1)\,J_F(2,\tfrac\pi6)=\begin{pmatrix}2\sqrt3&-2\\2&2\sqrt3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}&-1\\ \frac12&\sqrt3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-4\sqrt3\\2\sqrt3&4\end{pmatrix} $$
は直接計算した $J_{f\circ F}(2,\pi/6)$ に一致する。

$r>0$ の点では $\det J_F=r\ne0$ なので、thm-jm-inverse-function により $F$ は局所的に $C^1$ 級の逆写像 $(x,y)\mapsto(r,\theta)$ をもち、その Jacobi 行列は
$$ J_F(r,\theta)^{-1}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\frac{\sin\theta}{r}&\frac{\cos\theta}{r}\end{pmatrix} $$
である。すなわち $\frac{\partial r}{\partial x}=\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$、$\frac{\partial\theta}{\partial x}=-\frac{\sin\theta}{r}=-\frac{y}{x^2+y^2}$ である。$x>0$ の範囲で $r=\sqrt{x^2+y^2}$、$\theta=\arctan(y/x)$ と書いて直接偏微分しても同じ値が得られる。$\frac{\partial r}{\partial x}=\cos\theta$ は $\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta$ と一致するが、$\frac{\partial\theta}{\partial x}$ は $1/\frac{\partial x}{\partial\theta}=-\frac{1}{r\sin\theta}$ ではない。多変数では偏微分係数の逆数をとっても逆写像の偏微分係数にはならず、行列全体の逆行列をとる必要がある。

$a,b>0$ とし、$g(x,y):=(ax,by)$ とする。$g$ は $\mathbb{R}^2$ 上で単射な $C^1$ 級写像で、ex-jm-linear により $\det J_g=ab\ne0$ である。単位円板 $S=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq1\}$ の像は楕円の周と内部 $g(S)=\{(u,v)\mid u^2/a^2+v^2/b^2\leq1\}$ である。thm-jm-change-of-variables で $f=1$ とすると、楕円の面積は $\int_Sab\,dx\,dy=ab\cdot\pi$ である（単位円板の面積 $\pi$ を使った）。