零環

同義語：zero ring

概要

前提知識: 環, 可換環, イデアル, 単元
零環は、ただ 1 つの元 $0$ からなる環である。単位元をもつ環では、零環であることは等式 $1=0$ と同じことであり、この等式が成り立つとすべての元が $0$ になってしまう。零環はそれ自体としては何の構造ももたないが、全体のイデアルで割る、$0$ を分母に許す、矛盾する方程式を課すといった操作の行き着く先として、いたるところに現れる。そのため体・整域・局所環などの定義は零環を除くように置かれ、多くの定理は「零環でない」を仮定に含む。本記事では、環は結合的で単位元 $1$ をもち、可換とは限らないものとし、環準同型は単位元を保つものとする（環・環準同型の記事の流儀）。

定義

零環

一元集合 $\{0\}$ に、加法 $0+0=0$ と乗法 $0\cdot0=0$ を入れたものは環である。これを零環（zero ring）といい、記号の濫用で $0$ と書く。この環の単位元は $0$ 自身なので、零環では $1=0$ である。
一般に、環 $R$ の台集合がただ 1 つの元からなるとき、$R$ は零環であるという。

環の公理（加法についてのアーベル群、乗法の結合法則、単位元、分配法則）は、ただ 1 つの元についての等式 $0=0$ に帰着するので、$\{0\}$ は確かに環であり、しかも可換環である。2 つの零環の間には、ただ 1 つの元をただ 1 つの元に送る写像しかなく、それは環の同型である。したがって零環は同型を除いて一意であり、同型も一意に定まる。

零環であることの判定

環 $R$ について、次は同値である。

$R$ は零環である。
$1=0$ である。
$0$ は $R$ の単元である。
$R$ のある冪零元が単元である。
左 $R$ 加群はすべて零加群 $\{0\}$ である。

（1 ⇒ 2）$R$ の元はただ 1 つなので、$1$ と $0$ は同じ元である。
（2 ⇒ 1）任意の $a\in R$ について、$a=a\cdot1=a\cdot0=0$ である。ここで $a\cdot0=0$ は $a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0$ の両辺から $a\cdot0$ を引いて得られる（環の記事の命題「環の基本計算規則」の 1）。よって $R=\{0\}$ である。
（2 ⇒ 3）$1=0$ なら $0\cdot0=0=1$ なので、$0$ は自分自身を逆元にもつ単元である。
（3 ⇒ 2）$0\cdot b=1$ となる $b\in R$ があれば、$1=0\cdot b=0$ である。
（3 ⇒ 4）$0$ は $0^1=0$ により冪零元であり、3 により単元である。
（4 ⇒ 2）$x^n=0$（$n\ge1$）かつ $xy=yx=1$ とする。$x^ny^n=x^{n-1}(xy)y^{n-1}=x^{n-1}y^{n-1}$ を繰り返すと $x^ny^n=1$ である。一方 $x^ny^n=0\cdot y^n=0$ なので、$1=0$ である。
（2 ⇒ 5）$M$ を左 $R$ 加群とすると、任意の $m\in M$ について $m=1m=0m=0$ である。ここで $0m=0$ は $0m=(0+0)m=0m+0m$ から従う。
（5 ⇒ 1）$R$ は左からの乗法によって左 $R$ 加群になる（加群の記事の例「正則加群とイデアル」）。5 によりこの加群は $\{0\}$ なので、$R=\{0\}$ である。

1 と 2 の同値は環の記事の命題「環の基本計算規則」の 4 と同じ内容である。5 は、零環の上では意味のある線形代数が何もできないことを表している。逆に、$0$ でない加群が 1 つでもあれば係数環は零環でない。
$1\neq0$ を環の公理に含める流儀もある。その流儀では零環は環でなく、剰余環 $R/R$ や $0$ を含む集合による局所化のような構成は「環にならない」として別扱いになる。本記事の流儀（AM69 Chapter 1 と同じ）では零環も環であり、そうした構成の結果を零環として一様に扱える。その代わり、体や整域の定義に $1\neq0$ を明示的に入れる。

直感

零環は「$0=1$ が成り立つ世界」である。環に関係式を課していくとき、関係式どうしが矛盾すると $1=0$ が導かれ、環は零環につぶれる。たとえば多項式環 $k[x]$ に $x=0$ と $x=1$ を同時に課すと $1=x-(x-1)=0$ となる。可換環 $A$ を、その素スペクトル $\operatorname{Spec}A$ という空間の上の関数の環と思う見方では、零環は点を 1 つももたない空間、すなわち空集合に対応する（prop-zero-ring-maximal）。矛盾する方程式系の解の集合が空であることと、その方程式系で割った環が零環であることは、この対応のもとで同じことを言っている。

例と反例

剰余環と局所化として現れる零環

環 $R$ の両側イデアル $I$ について、剰余環 $R/I$ が零環であることと $I=R$ であることは同値である。実際、$R/I$ の単位元は $1+I$、零元は $0+I$ であり、prop-zero-ring-criteria により $R/I$ が零環であることは $1+I=0+I$、すなわち $1\in I$ と同値である。$1\in I$ なら任意の $r\in R$ について $r=r\cdot1\in I$ なので $I=R$ である。とくに $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ は零環である。
可換環では、生成元の間の関係式が矛盾すると剰余環は零環になる。体 $k$ 上の多項式環では $1=x-(x-1)\in(x,x-1)$ なので $k[x]/(x,x-1)=0$ である。同様に $1=3-2$ なので $\mathbb{Z}/(2,3)=0$ である。
可換環 $A$ の積閉集合 $S$ による局所化 $S^{-1}A$ が零環であることは $0\in S$ と同値である（局所化の記事の命題「標準写像の基本性質」の 4）。とくに $f\in A$ の冪による局所化 $A_f$ が零環であることは、$f$ が冪零元であることと同値である。たとえば $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の $\bar2$ は $\bar2^2=\bar0$ を満たすので $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})_{\bar2}=0$ である。一方 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の $\bar2$ は冪零でないので $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})_{\bar2}\neq0$ である。

空な族の直積と零環の上の構成

空な族の直積環は、ただ 1 つの元（空な族）からなるので零環である（直積環の記事の定義の後の段落）。また、任意の環 $R$ について $R\times0\cong R$（$(r,0)\mapsto r$）である。
零環 $0$ を係数とする構成はすべて零環になる。$0$ 上の $n$ 次の行列環 $M_n(0)$ は零行列だけからなり（行列環の記事の例「1次の行列環と零環上の行列環」）、$0$ 上の多項式環 $0[x]$ も、係数がすべて $0$ の多項式、すなわち $0$ だけからなる。
一般に、零環でない環 $R$ の上の構成が零環になることもある。$\mathbb{Z}$ の $2$ による局所化 $\mathbb{Z}[1/2]$ を $2$ で割ると、$2$ が単元なので $(2)=\mathbb{Z}[1/2]$ であり、1 により $\mathbb{Z}[1/2]/(2)=0$ である。

零環の元と境界の場合

零環のただ 1 つの元 $0$ は、単元であり（prop-zero-ring-criteria）、冪零元であり、冪等元でもある（$0^2=0$）。一方、零因子を「$0$ でない元 $b$ があって $ab=0$ となる元 $a$」と定める流儀（環の記事の定義「零因子」）では、零環には $0$ でない元がないので、$0$ は零因子でない（零因子の記事の定義の後の段落）。
このため、零環は次の性質をもつ。

可換であり、冪零元は $0$ だけなので被約環であり、すべての元が冪等なのでBoole環である。
イデアルは零環自身だけなので、Noether環でありArtin環でもある。
標数は $1$ である（標数の記事の注意「定義についての注意」の 2）。
素イデアルをもたないので、Krull次元は本記事では $-\infty$ とする（$-1$ とする流儀もある。Krull次元の記事の定義の後の段落）。
逆に、零環は次のものでない。
整域でない。整域の定義は $1\neq0$ を含む（整域の記事の定義「零因子と整域」と注意「反例：整域でない可換環」）。
体でない。体の定義は $1\neq0$ を含む。
局所環でない。零環は真のイデアルをもたないので極大イデアルをもたない（極大イデアルの記事の例「体と零環」）。
体の定義から条件 $1\neq0$ を外すと、零環は「$0$ でない元はすべて単元」という条件を（確かめるべき元がないので）満たしてしまう。しかし零環は、体がもつ「イデアルがちょうど 2 つある」「加群の基底の元の個数（次元）が基底によらない」といった性質をもたない。実際、零環の上の零加群 $\{0\}$ では、空集合も $\{0\}$ も基底である（$0=r\cdot0$ を満たす係数 $r$ は零環の元 $0$ ただ 1 つなので、$\{0\}$ による表示も一意である）。定義に $1\neq0$ を入れるのは、この境界の場合を除くためである。

反例：零イデアルは部分環でない

$\mathbb{Z}$ の部分集合 $\{0\}$ は加法・減法・乗法で閉じており、それ自身は零環である。しかし $\mathbb{Z}$ の単位元 $1$ を含まないので、$\mathbb{Z}$ の部分環ではない（部分環の定義は単位元を含むことを求める。環の記事の例「反例：単位元の異なる部分集合」と同じ理由である）。一般に、零環でない環 $R$ について $\{0\}$ は $R$ のイデアルであるが部分環でない。
この例が満たす性質は「演算で閉じていて、それ自身が単位元をもつ環である」こと、満たさない性質は「$R$ の単位元を含む」ことであり、破る含意は「演算で閉じていて自身が環であれば部分環である」である。後の prop-zero-ring-terminal の 2 は、これを環準同型の言葉で述べ直したものである。零環から $R$ への包含写像は $1=0$ を $0\neq1_R$ に送るので、環準同型ではない。

反例：零乗法をもつ擬環

$G$ を $0$ でないアーベル群とし、すべての $a,b\in G$ について $ab:=0$ と定める。この乗法は結合法則と分配法則を満たすので、$G$ は単位元を仮定しない意味での環（擬環）になる。しかし $G$ は単位元をもたない。実際、$e\in G$ が単位元なら、任意の $a\in G$ について $a=ea=0$ となり、$G\neq0$ に反する。
したがって、この $G$ は本記事の意味の環ではなく、零環でもない。零環は、乗法が恒等的に $0$ である環のうち単位元をもつ唯一のものである。この例は「乗法がすべて $0$ になる環は零環である」という言い方が、単位元を仮定しない流儀では成り立たないことを示す。単位元を仮定しない流儀の文献では、この種の擬環を trivial ring と呼ぶことがある（rem-zero-ring-sources）ので、「自明環」「trivial ring」という語を読むときは流儀を確かめる必要がある。

性質

環の圏における位置

環の圏の終対象

任意の環 $R$ に対し、$R$ から零環への環準同型はただ 1 つ存在する。
零環から環 $R$ への環準同型が存在することと、$R$ が零環であることは同値である。
したがって、環と環準同型の圏において、零環は終対象であるが、始対象ではない。可換環の圏でも同じである。

$R$ から $\{0\}$ への写像は、すべての元を $0$ に送る写像 $z$ ただ 1 つである。$z(a+b)=0=z(a)+z(b)$、$z(ab)=0=z(a)z(b)$ であり、$z(1_R)=0$ は零環の単位元である。よって $z$ は環準同型であり、ほかに写像はないので一意である。
$f\colon0\to R$ を環準同型とする。零環では $1=0$ なので、$1_R=f(1)=f(0)=0_R$ である。ここで $f(0)=0_R$ は $f$ が加法を保つこと（$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$）から従う。prop-zero-ring-criteria により $R$ は零環である。逆に $R$ が零環なら、恒等写像は零環から $R$ への環準同型である。
1 は終対象の定義そのものである。零環でない環（たとえば $\mathbb{Z}$）へは 2 により零環からの環準同型がないので、零環は始対象でない。零環は可換環なので、可換環の圏でも 1・2 はそのまま成り立つ。

環の圏の始対象は整数環 $\mathbb{Z}$ である（始対象の記事の例「始対象が終対象でない例」）。$\mathbb{Z}\not\cong0$ なので、環の圏は零対象をもたない。アーベル群の圏や加群の圏では零加群が始対象かつ終対象（零対象）であることと対照的である。また、終対象は積の単位になる（終対象の記事の命題「積の単位」）ので、ex-zero-ring-constructions の 1 の $R\times0\cong R$ は、この命題の環の圏での例である。
環準同型 $f\colon A\to B$ について、$f$ の核が $A$ 全体であることと $B$ が零環であることは同値である（環準同型の記事の命題「核と像の基本性質」の 4）。これは 2 と同じく、「単位元を保つ」という条件が零環への準同型と零環からの準同型を強く制限することの現れである。

極大イデアルと素スペクトル

極大イデアルの存在による判定

環 $R$ が零環であることと、$R$ が極大イデアル（両側イデアルの意味で）をもたないことは同値である。
可換環 $A$ について、(a)「$A$ は零環である」、(b)「$A$ は素イデアルをもたない。すなわち $\operatorname{Spec}A=\emptyset$ である」、(c)「$A$ から体への環準同型が存在しない」は同値である。

零環のイデアルは $\{0\}=R$ だけで、これは真のイデアルでないので、極大イデアルはない。逆に $R$ が零環でなければ、極大イデアルの記事の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」（Zornの補題を使う）により極大イデアルがある。
（a ⇒ b）零環のイデアルは零環自身だけで、素イデアルは真のイデアルなので、素イデアルはない。（b ⇒ a）対偶を示す。$A$ が零環でなければ 1 により極大イデアル $\mathfrak{m}$ があり、極大イデアルは素イデアルである（可換環の記事の命題「極大イデアルは素イデアル」）。（a ⇒ c）体は零環でないので、prop-zero-ring-terminal の 2 により零環から体への環準同型はない。（c ⇒ a）対偶を示す。$A$ が零環でなければ極大イデアル $\mathfrak{m}$ があり、$A/\mathfrak{m}$ は体である（極大イデアルの記事の命題「剰余環が体であることとの同値」）。標準全射 $A\to A/\mathfrak{m}$ は体への環準同型である。

1 の「零環でなければ極大イデアルがある」の証明には、選択公理と同値な Zorn の補題を使う（極大イデアルの記事の注意「単位元と選択公理の役割」）。これに対し、「零環は極大イデアルも素イデアルももたない」は定義から直ちに従う。多くの定理が「零環でない可換環 $A$」を仮定するのは、$\operatorname{Spec}A\neq\emptyset$ や、剰余体 $A/\mathfrak{m}$ が存在することを使うためである。
アフィンスキームの言葉では、2 は「$\operatorname{Spec}A$ が空であるのは $A=0$ のときに限る」と述べている。$\operatorname{Spec}0$ は空集合を台とするスキーム（空スキーム）であり、空集合からの写像はただ 1 つなので、スキームの圏の始対象である。prop-zero-ring-terminal の 1 は、この事実を環の側から見たものにあたる。

方程式系が解をもたないこと

prop-zero-ring-maximal と ex-zero-ring-quotients の 1 を合わせると、可換環 $A$ のイデアル $I$ について
$$ A/I=0\iff 1\in I\iff I\text{ を含む素イデアルがない} $$
である。2 つ目の同値は、prop-zero-ring-maximal の 2 を $A/I$ に適用し、$A/I$ の素イデアルが $I$ を含む $A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の像 $\mathfrak{p}/I$ と一対一に対応することを使う。この対応は剰余環の記事の定理「イデアルの対応定理」の 1 で与えられ、同じ定理の 2 の $(A/I)/(\mathfrak{p}/I)\cong A/\mathfrak{p}$ により素イデアルは素イデアルに対応する（剰余環が整域であることが素イデアルの条件だからである。素イデアルの記事）。$A=k[x_1,\dots,x_n]$ の場合、左辺は「方程式系 $f=0$（$f\in I$）を $k$ 上の多項式の計算だけで矛盾に導ける」ことを、右辺は「方程式系が解をもつ点が $\operatorname{Spec}A$ にない」ことを表す。
$k$ が代数閉体なら、これはさらに $k^n$ の点での解の有無と一致する。すなわち、$I$ の元の共通零点が $k^n$ にないことと、$k[x_1,\dots,x_n]/I$ が零環であることは同値である（Hilbertの零点定理の記事の定理「Hilbertの零点定理」の 2、弱零点定理）。代数閉体の仮定は外せない。$\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ は複素数体 $\mathbb{C}$ と同型で零環でないが、$x^2+1$ は実数の零点をもたない（Hilbertの零点定理の記事の例「反例：代数閉でない体」の 1）。この例で破れている仮定は「$k$ が代数閉体である」ことであり、破れている含意は「$k^n$ に共通零点がなければ剰余環は零環である」である。

テンソル積が零環になる場合

零環になる環のテンソル積

$A,B$ を可換環とし、ある正の整数 $n$ について、$A$ では $n\cdot1_A=0$ であり、$B$ では $n\cdot1_B$ が単元であるとする。このとき、環のテンソル積 $A\otimes_{\mathbb{Z}}B$ は零環である。

$A\otimes_{\mathbb{Z}}B$ は $(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ を積とし、$1_A\otimes1_B$ を単位元とする可換環である（テンソル積の記事の注意「多元環のテンソル積と随伴」を $\mathbb{Z}$ 上の多元環に適用する）。$u\in B$ を $n\cdot1_B$ の逆元とすると、$1_B=n\cdot u$ なので、テンソル積の双線形性により
$$ 1_A\otimes1_B=1_A\otimes(n\cdot u)=(n\cdot1_A)\otimes u=0\otimes u=0 $$
である。単位元が $0$ に等しいので、prop-zero-ring-criteria により $A\otimes_{\mathbb{Z}}B$ は零環である。

たとえば、相異なる素数 $p,q$ について、$\mathbb{F}_p$ では $p\cdot1=0$、$\mathbb{F}_q$ では $p\cdot1$ が $0$ でないので単元である。よって $\mathbb{F}_p\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_q=0$ であり、これはテンソル積の記事の例「有限巡回群のテンソル積」の $\gcd(p,q)=1$ の場合と一致する。$n\ge1$ について $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=0$、$\mathbb{F}_2\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[1/2]=0$ も同じ理由による。幾何学的には、テンソル積 $A\otimes_{\mathbb{Z}}B$ は $\operatorname{Spec}A$ と $\operatorname{Spec}B$ の $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 上のファイバー積にあたる。$\mathbb{F}_2\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[1/2]=0$ は、「$2$ を可逆にした $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[1/2]$ の上には、素数 $2$ に対応する点がない」ことを表している。

零環の上の加群

prop-zero-ring-criteria の 5 により、零環の上の加群は零加群だけである。したがって、零環の上ではすべての $m,n\ge0$ について $0^m\cong0^n$（どちらも零加群）であり、自由加群の基底の元の個数（階数）が定まらない。零環でない可換環の上では、自由加群の基底の濃度は基底の取り方によらない（自由加群の記事の定理「可換環上の階数の一意性」）。階数や次元の理論が「零環でない」を仮定するのはこのためである。

補足

流儀と文献

単位元をもつ環の定義で $1=0$ を排除せず、そのとき環がただ 1 つの元からなることを示して零環と呼ぶ扱いは AM69 Chapter 1 の冒頭にある。零環でない可換環が極大イデアルをもつことの Zorn の補題による証明も同じ章にある。環に単位元を仮定しない DF04 §7.1 は、任意のアーベル群に零乗法を入れた擬環を trivial ring と呼び、そのうち台が $\{0\}$ のものを zero ring と呼んでいる（ex-zero-ring-zero-multiplication）。
零環を環から除く流儀では、prop-zero-ring-terminal の環の圏は終対象をもたず、剰余環 $R/R$ や空な族の直積が定義されない。零環を環に含める流儀は、こうした構成を例外なく扱える代わりに、体・整域・局所環・単純環などの定義と、極大イデアルの存在や階数の一意性のような定理に「零環でない」を付ける必要がある。どちらの流儀でも数学の内容は変わらず、境界の場合をどこで処理するかの違いである。