標準加群

十分な単射加群。 まず $\mathbb Q/\mathbb Z$ は可除群なので単射 $\mathbb Z$ 加群である。零イデアル上の写像は零写像として全体へ延長する。非零イデアルは $n\mathbb Z$（$n\ge1$）であり、その準同型は $n$ の像を $n$ で割ることで $\mathbb Z$ へ延長できる。このイデアル延長条件が単射性を与える理由も確認する。部分加群からの写像について延長可能な定義域をZornの補題で極大化する。定義域 $U$ の外に元 $x$ があれば、$J=\{a:ax\in U\}$ はイデアルで、$a\mapsto f(ax)$ の延長を $a\mapsto ae$ と書ける。すると $f(u+ax)=f(u)+ae$ は良定義で、定義域を真に広げる。したがって極大定義域は全加群である。これがBaerの判定の証明である。
任意の非零アーベル群の元は $\mathbb Q/\mathbb Z$ へのある準同型で検出される。巡回部分群上では有限位数の場合は同じ位数の元へ、無限位数の場合は非零の元へ送ればよく、単射性によって全群へ延長する。$I=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(S,\mathbb Q/\mathbb Z)$ に $(a h)(b)=h(ab)$ で $S$ 作用を入れると、評価写像によって
$$ \operatorname{Hom}_S(N,I)\simeq\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(N,\mathbb Q/\mathbb Z) $$
となる。逆は文字 $\chi$ に対して $n\mapsto(a\mapsto\chi(an))$ である。したがって $I$ は単射である。十分多くの文字を使った評価写像により任意の $N$ は $I$ の直積に埋め込まれる。単射加群の直積も、各座標へ写像を延長することで単射である。
極大本質拡大。 単射加群 $I_0$ 内へ $k$ を埋め込み、$k$ の本質拡大である部分加群の極大元 $E$ を取る。鎖の合併も本質拡大である。非零元は鎖の一段階に属し、その巡回部分加群が既に $k$ と交わるためである。
$E$ が単射であることをイデアル延長条件で示す。$f:J\to E$ に対して
$$ V=(E\oplus S)/\{(f(a),-a):a\in J\} $$
を作る。$E\to V$ は単射である。$E$ と交わらない部分加群 $T\subset V$ を極大に取り、$W=V/T$ とする。$E\subset W$ は本質拡大である。もし非零部分加群が $E$ と交わらなければ、その逆像が $T$ を真に広げるからである。本質拡大の推移性により $k\subset W$ も本質拡大となる。$I_0$ の単射性によって $E\hookrightarrow I_0$ を $W\to I_0$ へ延長する。その核は $E$ と交わらないので零である。像は $E$ を含む本質拡大であり、極大性から $E$ に等しい。従って $W=E$ と同一視でき、$S\to V\to W=E$ が $f$ の延長となる。
同型類の一意性。 二つの単射包 $E,E'$ を考える。$E'$ の単射性によって $k$ 上の恒等写像を $f:E\to E'$ へ延長する。核は $k$ と交わらず、本質性から零である。$E$ の単射性で $f(E)\to E$ を $r:E'\to E$ へ延長すれば $rf=1$ となる。$\ker r$ は $k$ と交わらず、$E'$ の本質性から零である。従って $f$ は同型である。

$z\in E$ に対し $N=Sz$ は有限加群である。全ての $r$ で $\mathfrak m^rN\ne0$ なら、本質性により $\mathfrak m^rN\cap k\ne0$ である。$k$ は単純なので $k\subset\mathfrak m^rN$ が全ての $r$ で成り立つ。しかし有限加群のKrull交叉は $\bigcap_r\mathfrak m^rN=0$ であり、矛盾する。
この交叉の必要な証明は次の通りである。$L=\bigcap_r\mathfrak m^rN$ はNoether性により有限である。Artin–Reesにより、ある $c$ に対し $L\cap\mathfrak m^{c+1}N=\mathfrak m(L\cap\mathfrak m^cN)$ となる。両交叉は $L$ なので $L=\mathfrak mL$ である。有限生成元についてこの等式を係数行列 $C$ で表せば、$\det(1-C)$ は $1+\mathfrak m$ に属する単元であり、随伴行列の積から $L=0$ を得る。

商環の単射包。 $E_r=\operatorname{Hom}_S(G_r,E)$ と評価 $h\mapsto h(1)$ で同一視する。任意の $G_r$ 加群 $N$ について、評価と $f(n)(a)=f(an)$ という逆写像により $\operatorname{Hom}_{G_r}(N,E_r)\simeq\operatorname{Hom}_S(N,E)$ となる。後者は完全なので $E_r$ は単射である。$E_r$ の非零部分加群は $E$ 内で $k$ と交わるから、本質性も継承する。従って先の同型類一意性から $G_r\simeq E_r$ である。
単元による修正。 $\alpha_r:G_r\to E_r$ を選んだ後、任意の $\beta:G_{r+1}\to E_{r+1}$ を取る。$J_ru\subset J_{r+1}$ は、各生成元 $x_i^ru$ が $x_i^{r+1}$ の倍であることから従う。従って $\beta i_r$ の像は $E_r$ に入る。これは単射であり、その像は単射 $G_r$ 加群なので $E_r$ の直和因子である。本質性から補因子は零で、像は $E_r$ 全体である。よって $\alpha_r^{-1}\beta i_r$ は $G_r$ の自己同型で、ある単元 $a_r\in G_r$ の乗算となる。局所環 $G_{r+1}\to G_r$ で $a_r^{-1}$ を持ち上げれば、その持上げも単元である。この単元を $\beta$ に前合成して $\alpha_{r+1}$ とすれば両立する。
合併と自己準同型。 各元が極大イデアルのある冪で零化されることから $E=\bigcup_rE_r$ である。従って両立同型の直極限は $E$ となる。自己準同型は各 $E_r$ を保ち、その制限は $G_r$ のある元 $b_r$ の乗算である。包含との両立は $(b_{r+1}-b_r)u=0$ を意味する。$i_r$ の単射性から $b_{r+1}$ の $G_r$ への像は $b_r$ である。逆に、このような両立乗数列は合併全体の自己準同型を定めるので
$$ \operatorname{End}_S(E)=\varprojlim_r S/J_r. $$
$J_r\subset\mathfrak m^r$ であり、鳩の巣原理で $\mathfrak m^{n(r-1)+1}\subset J_r$ である。従って両位相は同値で、完備性からこの逆極限は $S$ に等しい。$n=0$ では全段階が $S=k$、写像が恒等なので同じ結論が直接成立する。

二つの比較。 $Q^j\otimes_SF_t$ の全複体を次数 $j-t$ に置く。$Q^j$ は有限直和の局所化であり平坦なので、$F\to A$ の核の完全性を各列で保つ。両方向とも有限個の項しかないので、完全な列を一列ずつ消去することにより $\operatorname{Tot}(Q\otimes F)\to Q\otimes A$ は擬同型となる。一方 $Q\to E[-n]$ は最高商への写像であり、各 $F_t$ は有限自由なので、その核の完全性も保つ。従って
$$ H^i(Q\otimes A)\simeq H_{n-i}(F\otimes E). $$
ここで $H^i_{\mathfrak m_A}(A)$ は最大イデアルを根基にもつ有限列のČechコホモロジーである。その生成列非依存は lem-canonical-cech-invariance で証明する。
完全な双対を取る。 $E$ の単射性から $D=\operatorname{Hom}_S(-,E)$ は反変完全である。任意の複体 $C_\bullet$ について、サイクル $Z_t$、境界 $B_t$ に対する二つの短完全列を双対化すると
$$ D(H_t(C))\simeq H^t(D(C)) $$
となる。具体的には $D(C_t)$ のサイクルは $B_t$ 上零となる写像であり、境界は $Z_t$ 上零となる写像である。後者の記述は $C_t/Z_t\simeq B_{t-1}$ 上の写像を $C_{t-1}$ へ延長できることから従う。従って商はちょうど $D(Z_t/B_t)$ である。
有限自由項に対して、写像 $h:F_t\otimes E\to E$ を $v\mapsto(e\mapsto h(v\otimes e))$ に送れば
$$ \operatorname{Hom}_S(F_t\otimes E,E) \simeq\operatorname{Hom}_S(F_t,\operatorname{End}_S(E)) \simeq\operatorname{Hom}_S(F_t,S) $$
となる。この対応は微分とも可換なので、右辺のコホモロジーは $\operatorname{Ext}_S^{n-i}(A,S)$ である。
作用環を変える随伴。 $E_A$ の $A$ 作用は $(a h)(b)=h(ab)$ である。$A$ 加群 $N$ について
$$ \operatorname{Hom}_A(N,E_A)\longrightarrow\operatorname{Hom}_S(N,E), \qquad g\longmapsto(n\mapsto g(n)(1)) $$
の逆は $f\mapsto(n\mapsto(a\mapsto f(an)))$ である。$A$ 線形性、釣合い、両合成が恒等であることはこの式から直接分かる。従って $E_A$ は単射 $A$ 加群である。評価により $E_A=\operatorname{Ann}_E(\ker(S\to A))$ と同一視され、非零部分加群が $k$ と交わることから $k$ の単射包でもある。これらの対応を上の計算へ接続して結論を得る。

隣接交換。 $x,y$ が $M$ 上の正則列なら、$ym=0$ から $m=xm_1$ を得る。$x$ を取消して $ym_1=0$ とし反復すると $m\in\bigcap_jx^jM=0$ なので $y$ は単射である。また $xm=ym'$ なら $M/xM$ 上で $ym'=0$ だから $m'=xm''$、取消から $m=ym''$ となる。従って $x$ は $M/yM$ 上で単射である。隣接交換を反復する。
冪への置換。 $M/x^rM$ の有限濾過の各商 $x^jM/x^{j+1}M$ は $M/xM$ と同型である。短完全列の両端である元の乗算が単射なら、中央でも単射であり、その元で割った列も短完全である。核の元を右へ送り、右端の単射性で左へ戻し、左端の単射性で零とする元計算がこの主張を与える。これを濾過と列の元に順次適用すると、$x_2,\ldots,x_n$ は $M/x_1^rM$ 上で正則となる。各変数について反復すれば冪列の主張を得る。
他の変数の冪で割った後も $x_i$ は単射なので、$x_i^bc\in(x_i^a)$ なら $c\in(x_i^{a-b})$ である。これを $i=1,\ldots,n$ について一回ずつ適用すると $(J_{r+1}:x_1\cdots x_n)=J_r$ となる。

基底 $e_1,\ldots,e_n$ を用い、次数 $j$ を $\bigwedge^jS^n$、微分を
$$ \partial(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_j}) =\sum_{h=1}^j(-1)^{h-1}a_{i_h} e_{i_1}\wedge\cdots\widehat e_{i_h}\cdots\wedge e_{i_j} $$
とする。二回微分の各項は異なる順序で二度現れ符号が逆なので $\partial^2=0$ である。列の長さで帰納する。最後の元を加えた複体は、それまでの複体への $a_n$ 乗算の写像錐である。帰納仮定による唯一のホモロジーは次数零の商環であり、その上の $a_n$ 乗算は単射だから、錐の正次数ホモロジーは零、次数零はさらに $a_n$ で割った商となる。空列では複体は $S$ のみである。
外積 $\bigwedge^jS^n\times\bigwedge^{n-j}S^n\to\bigwedge^nS^n=S$ は完全な対である。基底の補集合を順列符号付きで対応させれば、双対微分は同じKoszul微分に次数による符号を付けたものとなる。この符号は各次数の基底に単元 $-1$ を掛けて調整できる。従って双対の次数 $j$ のコホモロジーは鎖複体の次数 $n-j$ のホモロジーであり、主張が従う。

長さ有限の単射分解。 十分な単射加群へ順次埋め込んで $S$ の単射分解を作る。$n$ 段後の余核を $C$ とする。任意のイデアル $L\subset S$ に対して $S/L$ は有限であるから、自由分解の仮定により $\operatorname{Ext}_S^{n+1}(S/L,S)=0$ である。各短完全列を $\operatorname{Hom}_S(S/L,-)$ で計算すると、単射項の高次Extが零なので $\operatorname{Ext}_S^1(S/L,C)=0$ となる。ここでExtの次数移動は、自由分解の各項から得た短完全列の核・像を順に追ったものである。$0\to L\to S\to S/L\to0$ に適用すると $C\to\operatorname{Hom}_S(L,C)$ が全射、すなわち各イデアル写像を延長できる。Baerにより $C$ は単射である。従って $S$ には次数 $0,\ldots,n$ だけの単射分解 $I^\bullet$ がある。$n=0$ でも同じBaer計算が直接 $S$ の単射性を与える。
変更環と縮約。 $X^j=\operatorname{Hom}_S(G,I^j)$ は単射 $G$ 加群である。随伴の両逆は $g\mapsto(n\mapsto g(n)(1))$ と $f\mapsto(n\mapsto(a\mapsto f(an)))$ である。従って $\operatorname{Hom}_G(N,X^\bullet)=\operatorname{Hom}_S(N,I^\bullet)$ が複体として成立する。$X$ のコホモロジーは仮定により次数 $n$ の $G$ のみである。
下からこの複体を分裂して消去する。次数零の核が零なら $X^0\to X^1$ は単射であり、$X^0$ が単射なのでその像は直和因子になる。像と $X^0$ の二項複体を取り除く。次の残項は単射の直和因子であり、同じ手続を反復できる。次数 $n$ には単射加群の直和因子だけが残り、それが $H^n(X)=G$ である。従って $G$ は単射である。各取り除いた二項複体は微分の逆を収縮として持つので、任意の $N$ に $\operatorname{Hom}_G(N,-)$ を施しても可縮である。残る項から表示された同型を得る。

$\mathfrak m^{n(r-1)+1}\subset J_r$ なので $G_r$ は有限長である。前の冪列とKoszul計算により $\operatorname{Ext}_S^j(G_r,S)$ は次数 $n$ の $G_r$ に集中する。正則局所環上の有限加群の有限自由分解の基盤を変更環補題へ適用して自己単射性を得る。同じ変更環で $N=k$ とすれば
$$ \operatorname{Soc}(G_r)=\operatorname{Hom}_{G_r}(k,G_r) \simeq\operatorname{Ext}_S^n(k,S)\simeq k $$
である。最後の同型はパラメータ $x_1,\ldots,x_n$ のKoszul双対計算である。非零部分加群は、極大イデアルの最後の非零冪を作用させればソクルと交わる。従って $G_r$ 自身が $k$ の単射包であり、段階接合補題の前提が全て満たされる。空パラメータの場合は $G_r=S=k$ で同じ結論となる。

列 $a_1,\ldots,a_t$ のČech余鎖複体は次数零に $M$、次数 $j$ に $j$ 個の元の積を逆にした局所化の直和を置き、微分は添字を追加する交代符号の局所化写像とする。二回追加した各添字対は逆符号で現れるので微分の二乗は零である。これは冪列 $a_1^r,\ldots,a_t^r$ のKoszul余鎖複体の直極限である。添字集合 $U$ の項を分数 $m/(\prod_{i\in U}a_i)^r$ に送る。段階射は $\prod_{i\in U}a_i$ 乗算で、微分と可換であり、分数の等号はある後段階での等号と一致する。
$(a_1,\ldots,a_t)$ が単位イデアルなら、その冪列も単位イデアルである。そうでなければ冪列を含む極大イデアルが全ての $a_i$ を含んで矛盾する。$1=\sum c_i a_i^r$ を取れば、Koszul複体の外積と収縮の恒等式により係数 $c_i$ を使った演算 $h$ は $dh+hd=1$ を満たす。従ってČech複体も完全である。直極限の完全性は、核の元を一段階へ代表させ、微分が零という等号を後段階で実現し、そこで境界の原像を取る元計算から従う。
二つのČech複体のテンソル二重複体 $Q(a)\otimes Q(b)\otimes M$ を取る。$b$ の正次数項では少なくとも一つの $b_j$ が逆になり、$b_j\in\sqrt{(a)}$ だから $a$ のイデアルは単位になる。従ってこの各列は完全である。$Q(b)\to S$ の次数零恒等・正次数零という射が誘導する全複体から $Q(a)\otimes M$ への射の核は、この正次数列だけである。有限個の列を端から消去すれば核は完全となる。具体的にサイクルの最後の非零列成分をその列での境界として戻し、全境界を引いて列を一つ減らす操作を反復する。逆に境界の検出も同じ操作で行える。対称に $Q(b)\otimes M$ へも比較できるので主張を得る。

冪パラメータKoszul余鎖複体は正則性から次数 $n$ の $G_r$ にだけコホモロジーを持つ。その直極限はČech複体であり、有限段階の核・境界の元計算で直極限とコホモロジーは交換する。最高項の段階射は $u=x_1\cdots x_n$ の乗算だから
$$ H^n(Q)=\varinjlim_r(G_r,i_r)=E. $$
他の次数は零である。$n=0$ は $Q=S=E=k$ を次数零に置いた複体である。従って内在的比較命題のČechに関する前提も満たされ、$\operatorname{Ext}_S^{n-d}(A,S)$ の同型類の表示非依存が得られる。

有限生成元を選んで有限自由全射を作り、その核に同じ操作を施す。Noether環の有限加群の部分加群は有限である。有限自由加群については座標数で帰納し、最後の座標像が有限イデアルであることと残りの座標の核の有限性から示せる。一般の有限加群へは有限自由全射の逆像を取る。このため各段階を有限自由にできる。
各核の最小生成元を剰余体上の基底から持ち上げると、得た自由分解 $F_\bullet$ の全ての微分係数は極大イデアルに入る。生成全射の核を剰余体で見ると零となるからである。$F\otimes k$ の微分は零なので、その次数 $i$ のホモロジーは $F_i\otimes k$ そのものである。
パラメータKoszul鎖複体 $K$ は $k$ の長さ $n$ の自由分解である。二重複体 $F_i\otimes K_j$ の総次数を $i+j$ とする。各方向の増大の核は自由項によって完全性を保つ。任意の固定総次数では対角線に有限個の項しかなく、サイクルの端成分を完全な行又は列で戻して一つずつ除去する操作が有限回で終わる。従って全ホモロジーは、片方から計算すれば $H_i(F\otimes k)$、もう片方から計算すれば $H_i(M\otimes K)$ となる。後者は $i>n$ で零なので $F_i\otimes k=0$ である。有限自由項について剰余体階数が零なら項自体が零である。従って $F_i=0$ （$i>n$） で、主張が従う。$n=0$ では $S=k$ である。

Rees環 $R=\bigoplus_{r\ge0}I^rt^r$ は、$I$ の有限生成元 $a_i$ に対する多項式環 $S[T_1,\ldots,T_s]$ の商である。この多項式環がNoetherであることを確認する。一変数の場合、イデアルの多項式の最高係数全体はイデアルをなし、その有限生成元を最高係数にもつ多項式を選ぶ。その最大次数を $c$ とする。次数 $c$ 以上では最高項をこれらで消去できる。次数 $c$ 未満のイデアル部分は有限自由 $S$ 加群の部分加群なので有限である。その生成元を追加すれば全イデアルを生成する。零イデアルの場合は生成元選択前に終了する。変数数の帰納により一般の場合も従う。
$\bigoplus I^rM t^r$ は有限 $R$ 加群である。その斉次部分加群 $U=\bigoplus(L\cap I^rM)t^r$ も有限であり、有限斉次生成元を選べる。$U=0$ なら $c=0$ とすれば結論は自明である。そうでなければ生成次数の最大を $c$ とする。次数 $r\ge c$ の元は、次数 $j\le c$ の生成元に $I^{r-j}$ を掛けた和である。各 $I^{c-j}(L\cap I^jM)$ は $L\cap I^cM$ に入るから、左辺は右辺に含まれる。逆包含は積が $L$ と $I^rM$ の双方に入ることから従う。

一つの次数への集中。 lem-canonical-cm-parameters により、極大イデアルを根基にもつ正則列 $a_1,\ldots,a_d$ を選ぶ。冪列KoszulとČechの直極限の計算により、$H^i_{\mathfrak m_A}(A)$ は $i=d$ 以外で零である。従って内在的比較から $\operatorname{Ext}_S^j(A,S)$ は $c=n-d$ 以外で零である。有限自由分解 $F$ の双対複体 $D=\operatorname{Hom}_S(F,S)$ は、唯一のコホモロジー $\omega_A$ を次数 $c$ に持つ。
単射次元。 $S$ の長さ $n$ の単射分解を $I$ とすると、$X=\operatorname{Hom}_S(A,I)$ は単射 $A$ 加群からなる複体であり、同じ唯一のコホモロジーを持つ。変更環補題で使った下からの分裂縮約を次数 $c$ まで行うと、$X^c/\operatorname{im}d^{c-1}$ は単射の直和因子になる。そこへ $\omega_A$ を埋め込んで、以降の $X^{c+1},\ldots,X^n$ を続けた列は完全である。従って $\operatorname{id}_A\omega_A\le n-c=d$ である。
自己準同型と高次Ext。 有限自由複体の二重双対評価は項ごとに同型で、微分の通常の符号を入れれば複体同型である。従って $\operatorname{Hom}_S(D,S)$ のコホモロジーは次数零の $A$ だけである。$D$ の唯一のコホモロジーが次数 $c$ の $\omega_A$ であることを使うと
$$ \operatorname{Ext}_S^j(\omega_A,S)= \begin{cases}A&j=c,\\0&j\ne c.\end{cases} $$
この置換は普通Homへ擬同型を無条件に代入する操作ではない。$\omega_A$ の有限自由分解を取り、$D$ への比較写像を次数 $c$ に持ち上げる。有限自由分解の持上げは全射への射影性で一段ずつ作り、二つの持上げの差は同じ操作で鎖ホモトピーにする。比較の錐は完全な有界射影複体であり、端から核を分裂して可縮にできるため、双対後も完全である。これで上のExt計算が正当化される。
一方 $X$ を上で縮約して得た $\omega_A$ の単射分解を使い、任意の $A$ 加群 $N$ に対して随伴と同じ縮約を施せば
$$ \operatorname{Ext}_A^i(N,\omega_A) \simeq\operatorname{Ext}_S^{i+c}(N,S). $$
$N=\omega_A$ とすると正次数の自己Extは零で、自己準同型環は $A$ となる。この次数零の同型は、二重双対評価と随伴の評価公式によって $a\in A$ を $w\mapsto aw$ に送るので、単に抽象的な加群同型ではなく準同型 $A\to\operatorname{End}_A(\omega_A)$ の同型である。$\omega_A$ は有限自由複体のコホモロジーなので有限であり、有限性・準同型同型・高次自己Ext零・有限単射次元という双対化加群の四条件を満たす。

鎖の最小素点で割れば長さは減らず、元の環の商の長さ以下なので、整域の場合へ帰着する。$d=0$ は長さが少なくとも $1$ である。$d>0$ の鎖を $0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_d$ とし、$0\ne x\in P_1$ を選ぶ。$R/(x)$ は $R/P_1$ へ全射するので、帰納仮定によりその長さ関数は定数倍 $r^{d-1}$ 以上である。Artin–Reesによって $(x)\cap\mathfrak m^r\subset x\mathfrak m^{r-a}$ となる固定 $a\ge1$ を取る。$x$ の単射性から
$$ \ell(R/\mathfrak m^r)\ge \ell(R/\mathfrak m^{r-a})+ \ell((R/(x))/\mathfrak m^r(R/(x))) $$
である。最初の項は $xR/(xR\cap\mathfrak m^r)$ の長さの下界であり、二番目は商の長さである。$r,r-a,\ldots$ のうち $r/2$ 以上の項についてこの不等式を加えると、少なくとも定数倍 $r$ 個の項が各々定数倍 $r^{d-1}$ を与える。従って下界は定数倍 $r^d$ となる。

$n=0$ なら中山の行列証明で $\mathfrak m=0$、従って $S=k$ である。$n\ge1$ とする。最小生成系の初項は随伴次数環への全射
$$ k[X_1,\ldots,X_n]\twoheadrightarrow\operatorname{gr}_{\mathfrak m}S $$
を与える。核に次数 $e\ge1$ の非零斉次元 $g$ があれば、$g$ 乗算が多項式環で単射であるため、次数 $r$ 未満の累積次元は
$$ \binom{r+n-1}{n}-\binom{r-e+n-1}{n}=O(r^{n-1}) $$
で抑えられる。一方、$\dim S=n$ なので長さ $n$ の素鎖が存在し、鎖成長補題は同じ長さを定数倍 $r^n$ 以上とする。矛盾から核は零である。
Krull交叉が零なので、各非零元には有限の初項次数がある。$x_1$ 乗算の初項は多項式環内の $X_1$ 乗算であり単射であるから、$x_1$ は零因子でない。さらに $x_1a\in\mathfrak m^r$ なら初項次数から $a\in\mathfrak m^{r-1}$ である。従って $(x_1)\cap\mathfrak m^r=x_1\mathfrak m^{r-1}$ となり、商の随伴次数環は正確に $k[X_2,\ldots,X_n]$ である。商もNoether局所環で分離的なので、同じ初項議論を $x_2$ に適用できる。これを反復すると全列が正則になる。ここでは大域次元や標準加群の構成を使っていない。

まずNoether局所環で正則列の長さが次元以下であることを示す。零次元Noether局所環では唯一の素イデアルが極大イデアルなので、それは冪零である。実際、零根基は全素の交叉であり、ある元が冪零でなければその冪の乗法集合と交わらないイデアルの極大元をZornで取って素イデアルを作れる。従って零根基の各元は冪零である。Noether性による有限生成元の冪零指数を取れば鳩の巣原理で零根基全体のある冪が零になる。零次元局所環の極大イデアル内の元は冪零であり、非零環で単射乗算を与えられない。
正則元 $x$ は極小素イデアルに入らない。もし入ればその素点で局所化した零次元Noether局所環内で非単元の単射乗算となり、上の結果に反する。長さ $r$ の正則列がある場合、$A/(x_1)$ 内で帰納的に長さ $r-1$ の素鎖が得られる。元の環へ持ち上げた最小の素イデアルは $x_1$ を含む。さらにその下の極小素を選ぶと、それは $x_1$ を含まないので真に小さい。こうして長さ $r$ の鎖を得る。この帰納は局所環の正則列にも適用できる。
Cohen–Macaulayという定義は深さが $d$ ということである。長さは整数で上限 $d$ があるので、長さ $d$ の正則列 $a_1,\ldots,a_d$ を実際に選べる。$J=(a_1,\ldots,a_d)$ を含む素イデアル $\mathfrak p$ で局所化すると、列は引き続き正則であり、各元は局所最大イデアルに入る。局所化の単射保持は、像が零の分数にある分母を掛けて源で零にする元計算による。途中商は最大イデアル内の元で割るので非零である。従って $\dim A_{\mathfrak p}\ge d$ となる。局所化の素対応によりこの次元は $\mathfrak p$ 以下の素鎖の長さの上限である。もし $\mathfrak p\ne\mathfrak m$ なら、長さ $d$ の鎖へ $\mathfrak m$ を付加して $\dim A\ge d+1$ となり矛盾する。従って $J$ を含む素は $\mathfrak m$ のみで、$\sqrt J=\mathfrak m$ である。$d=0$ では空列と零イデアルを使う。

二重余鎖複体 $\operatorname{Hom}_S(F_i,I^j)$ の全次数を $i+j$ とする。$F_i=\bigoplus_{\lambda\in\Lambda_i}S$ なら $\operatorname{Hom}_S(F_i,V)=\prod_{\lambda\in\Lambda_i}V$ である。単射は座標ごとに保たれ、全射の原像は各座標で選べるので、この直積関手は完全である。ここでは選択公理を用いる。従って任意階数でも $N\to I$ の完全性は $\operatorname{Hom}_S(F_i,-)$ の下で保たれる。単射項の単射性によって、無限長でも $F\to M$ の完全性は $\operatorname{Hom}_S(-,I^j)$ の下で保たれる。二重複体は $i,j\ge0$ にあり、単射側 $I$ は有界なので、固定した総次数とその次の総次数の対角線には有限個の項しかない。サイクルの端成分を完全な行又は列の原像で戻し、全境界を引いて残る成分を一つずつ除去する比較は、その有限対角線上で有限回で終わる。自由分解全体を有限長と仮定する必要はない。従って二つの増大は全複体への擬同型となる。写像の自然性は、各項の評価と合成が増大と可換であることから従う。